Дана правильная четырехугольная пирамида

Решить все задачи для четырёхугольной пирамиды.

ЦИЛИНДР

Построить на чертеже

Ось ОО₁

Осевое сечение АВСЕ

Высоту КР

Образующую НТ

Радиус и диаметр основания

Сечение плоскостью, параллельной основанию

Рассмотрим две параллельные плоскости. В одной из них возьмем окружность с центром в точке О и радиусом r. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную другой плоскости Отрезки этих прямых, заключенные между плоскостями, образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндра.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность – боковая поверхность цилиндра, круги – основания цилиндра. Прямая ОО₁, соединяющая центры кругов – ось цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой. Образующая является высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то полученное сечение называется осевым сечением.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания.

Объём цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на высоту.

S_бок = 2ПRh

S_пол = S_бок + 2S_осн = 2ПR(R + h)

V = S_осн · h = ПR²h

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
A B C	№1 АВ – диаметр. Угол САВ равен 300. АС = 4. Найти высоту и радиус основания.
E K B A	№2 АВКЕ – осевое сечение. Площадь сечения 35 см2. Найти объём, площадь полной поверхности, если КВ = 7см.
O1 O A	№4   АО – радиус цилиндра. АО1 = 8, угол ОАО1 = 600. Найти Sпол, Vцил.
E K B A	№4   АВ – диаметр. Угол KАВ равен 450. Площадь сечения 64 см2. Найти Sпол, Vцил.

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

1. Высота цилиндра 10см. Радиус основания – 2см. Найти площадь полной поверхности и объём цилиндра.

2. Диаметр цилиндра 6см. Угол между диагональю осевого сечения и основанием 30⁰. Найти площадь полной поверхности.

3. Диагональ осевого сечения 8см. Угол между диагональю и основанием 60⁰. Найти образующую и радиус.

4. Радиус равен 5см. Угол между диагональю осевого сечения и образующей 45⁰. Найти объём цилиндра.

5. Образующая 12см. Площадь осевого сечения 48см². Найти объём цилиндра и угол между диагональю осевого сечения и основанием.

6. Длина окружности основания 6π см. Диагональ осевого сечения 10см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

7. Высота цилиндра 9см. Площадь основания 4π см². Найти площадь полной поверхности цилиндра.

8. Площадь основания 9π см². Площадь осевого сечения 36 см². Найти объём цилиндра.

9. Диаметр цилиндра 16см. Площадь боковой поверхности 56π см². Найти объём цилиндра.

КОНУС

Построить на чертеже Вершину Ось Радиус, диаметр Высоту Образующую Осевое сечение Угол между образующей и основанием

Рассмотрим окружность с центром в точке О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с точкой Р отрезком. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической, а сами отрезки – образующими конуса.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется конусом. Коническая поверхность – боковая поверхность конуса, круг – основание конуса, точка Р– вершина конуса, образующие конической поверхности – образующие конуса. Все образующие конуса равны друг другу. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину конуса, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то полученное сечение называется осевым сечением.

Проведём секущую плоскость перпендикулярно к оси конуса. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом. (Изобразите усечённый конус самостоятельно. Постройте образующую, высоту.)

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основания.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин оснований на образующую.

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

S_бок = ПRl

S_пол = S_бок + S_осн = ПR(R + l)

V = ⅓S_осн · h = ⅓ПR²h

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ
C A B	№ 1 АС – диаметр, угол АВС равен 1200. АВ = 12. Найти Sпол пов и V.
O1 C B1 O B	№ 2   СО = 16, СО1 = 4, ОВ = 20. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через точку О1 параллельно основанию конуса, площадь осевого сечения.
C O K B	№ 3   СО – высота. СО = 8см. < СКО = 45о, < КСВ = 60о. Найти площадь треугольника СКВ, объём конуса
C O B H A F	№ 4   <НВА = 60о, <AHF = 90o, АН = 6 см. Найти объём и площадь полной поверхности конуса.
O B A C	№ 5   <CАВ = 30о, СВ = 12см. Найти объём и площадь полной поверхности конуса.
O A B C	№ 6 <ОСВ = 30о, SАВС = см2. Найти объём и площадь полной поверхности конуса.

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

1. Образующая конуса 6см, радиус – 3см. Найти объём и площадь полной поверхности конуса.

2. Диаметр конуса 12см, высота – 8см. Найти площадь полной поверхности конуса и площадь осевого сечения.

3. Длина окружности основания 4π см, высота конуса – 6см. Найти объём и образующую конуса.

4. Образующая конуса – 5см, площадь основания - 9π см². Найти объём и площадь осевого сечения.

5. Образующая конуса – 12см, угол наклона образующей к плоскости основания 30^о. Найти площадь основания, радиус и высоту конуса.

6. Радиус конуса 3см, угол между образующей и высотой конуса 30^о. Найти площадь полной поверхности конуса.

7. Образующая конуса – 6см, угол при вершине осевого сечения 60^о. Найти площадь боковой поверхности, высоту и объём.

8. Угол между образующей и основанием 45^о, высота 2см. Найти образующую и площадь полной поверхности конуса.

9. Образующая конуса – 9см, площадь боковой поверхности 27π см². Найти объём конуса.

10. Высота конуса – 8см, объём конуса 12π см³. Найти площадь полной поверхности конуса.

СФЕРА ШАР

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром. Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

S_сферы = 4πR² V_шара = ∙πR³

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

1. Площадь сферы – 225π см². Найти объём шара.

2. Диаметр сферы – 16 см. Найти площадь сферы и объём шара.

3. Площадь осевого сечения 20π см². Найти площадь сферы.

4. Радиус сферы – 10 см, расстояние от центра шара до секущей плоскости 3 см. Найти площадь сечения.

5. Диаметр шара – 24 м, радиус сечения шара 10 м. Найти расстояние от центра до секущей плоскости.

6. Длина окружности осевого сечения 28π см. Найти площадь сферы и объем шара.

7. Расстояние от центра шара до секущей плоскости 3 см. Длина окружности сечения 8π см. Найти объем шара.

8. Расстояние от центра шара до секущей плоскости 6 см. Площадь сечения 64π см². Найти объем шара.

9. Радиус сферы – 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найти расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы. Радиус сферы – 10 см.