Скользящее отражение пространства

Литература

Таблица8

Композиция симметрии относительно плоскости и параллельного переноса на вектор а, где называется скользящим отражением(СО).

Свойства: 1. СО сохраняет расстояния между любыми точками. 2. СО сохраняет простое отношение трех точек. 3. СО переводит плоскость в плоскость, причем параллельные плоскости в параллельные; полупространство в полупространство; прямую в прямую, причем параллельные прямые в параллельные; полуплоскость в полуплоскость, отрезок в отрезок, луч в луч. 4. СО переводит линейный угол в равный ему линейный угол. 5. СО переводит двугранный угол в равный ему двугранный угол. 6. СО переводит ортонормированный репер R в ортонормированный репер R`. При этом точка М(x,y,z) относительно репера R переходит в точку M` с теми же координатами (x,y,z), но относительно репера R`. 7. СО меняет ориентацию пространства 8. СО пространства можно представить в виде композиции трех зеркальных отражений.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Какое преобразование пространства называется скользящим отражением? [6]

2. Доказать, что скользящее отражение пространства является движением.

3. Вывести формулы, задающие скользящее отражение, определяемое

координатной плоскостью Oxy и вектором a(a , a , 0) относительно прямоугольной декартовой системы координат Охуz в пространстве.

4. В какую фигуру переходит прямая (плоскость) при скользящем отражении? Обоснуйте свой ответ.

5. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и ее образа

при скользящем отражении? Ответ обосновать.

6. Что может служить образом середины отрезка при скользящем отражении?

7. Доказать, что при скользящем отражении сохраняется простое отношение трех точек.

8. В какую фигуру при скользящем отражении преобразуется отрезок;

луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.

9. Что можно сказать об угле и его образе, двугранном угле и его образе при скользящем отражении?

10. Сколько инвариантных точек имеет скользящее отражение?

11. Имеет ли скользящее отражение инвариантные прямые; инвариантные плоскости? [10]

12. Составить формулы скользящего отражения, определяемого вектором

А (1, 1, - 8) и плоскостью, проходящей через точку А (1, –2, 1) и перпендикулярной прямой АВ, если В (4, 3, 2). (Система координат прямоугольная декартова).

13. Найти прообраз точки Р (2, –1, 1) при скользящем отражении, определяемом вектором а ( 2, 3, 1) и плоскостью, проходящей через точку

К (2, –1, 1) и перпендикулярной двум плоскостям 2 x - z + 1 = 0 и y = 0 . (Система координат – прямоугольная декартова).

14. Найти прообраз плоскости x + y - z = 0 при скользящем отражении,

определяемом вектором а (1, - 2, 1) и плоскостью, проходящей через точку

А(7,–5, 1) и отсекающей на осях прямоугольной декартовой системы координат равные отрезки. (Система координат – прямоугольная декартова).

15. Найти образ плоскости x + 2 y - z + 1 = 0 при скользящем отражении

пространства, определяемом вектором а (3, - 2, 2) и плоскостью, проходящей

через точку А (3, –2, –7) и параллельной плоскости 2 x -3 z + 5 = 0 . (Система

координат – прямоугольная декартова).

16. Во сколько раз увеличится объем правильной четырехугольной

призмы при скользящем отражении пространства, определяемом плоскостью,

перпендикулярной высоте призмы и проходящей через ее середину и вектором, параллельным стороне основания и имеющем длину, равную длине стороны основания?

Винтовое движение

Литература

Таблица 57

Винтовым движением называется композиция поворота вокруг оси на заданный угол и параллельного переноса на вектор, параллельного оси поворота.

Свойства: 1. Винтовое движение сохраняет расстояния между любыми точками. 2. Винтовое движение сохраняет простое отношение трех точек. 3. Винтовое движение переводит отрезок в отрезок, луч в луч. 4. При винтовом движении плоскость переходит в плоскость, параллельные плоскости – в параллельные, полупространство – в полупространство. 5. Винтовое движение переводит прямую в прямую, параллельные прямые – в параллельные, полуплоскость в полуплоскость. 6. Винтовое движение переводит линейный угол в равный ему линейный угол. 7. При винтовом движении двугранный угол переходит в равный ему двугранный угол. 8. При винтовом движении плоскость, проходящая через ось поворота, переходит в плоскость, также проходящую через ось поворота, которая со своим прообразом образует двугранный угол величины равной величине угла поворота. 9. Композиция двух винтовых движений с одной и той же осью поворота есть винтовое движение. 10. Всякое винтовое движение может быть представлено в виде композиции двух осевых симметрий. 11. Множество всех винтовых движений пространства с одной и той же осью поворота образует коммутативную группу.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Какое преобразование пространства называется винтовым движением?

2. Доказать, что винтовое движение сохраняет расстояние между точками.

3. Вывести формулы, задающие винтовое движение, определяемое

осью Ox, углом поворота 60º и вектором a (a , 0, 0) относительно прямоугольной декартовой системы координат Охуz в пространстве.

4. В какую фигуру переходит прямая (плоскость) при винтовом движении? Обоснуйте свой ответ.

5. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и ее образа

при винтовом движении? Ответ обосновать.[6]

6. Что может служить образом середины отрезка при винтовом движении?

7. Доказать, что при винтовом движении сохраняется простое отношение трех точек.

8. В какую фигуру при винтовом движении преобразуется отрезок;

луч; полуплоскость? Ответ обоснуйте.

9. Что можно сказать об угле и его образе, двугранном угле и его образе при винтовом движении?

10. Имеет ли инвариантные точки винтовое движение?

11. Имеет ли винтовое движение инвариантные прямые; инвариантные

плоскости? [10]

12. Найти уравнение образа точки А (1, –2, 1) при винтовом движении пространства, определяемом:

а) осью Oz, углом поворота 45° и вектором переноса a (0, 0, - 4);

б) осью Oy, углом поворота 30° и вектором переноса a (0, -2, 0);

в) осью Ox, углом поворота 60° и вектором переноса a (-3, 0, 0) . (Система

координат – прямоугольная декартова).

13. Найти уравнение прообраза точки М(–1, 2, –3) при винтовом движении

пространства, определяемом:

а) осью Oz, углом поворота 60° и вектором переноса a (0, 0, 6) ;

б) осью Oy, углом поворота 45° и вектором переноса a (0, 3, 0) ;

в) осью Ox, углом поворота 30° и вектором переноса a(-2, 0, 0) . (Система

координат – прямоугольная декартова).

14. Найти уравнение прообраза плоскости, проходящей через точки

М₁(2,3, 1), М₂(4, 1, –2) и М₃(6, 3, 7) при винтовом движении пространства, определяемом осью Oz, углом поворота 60° и вектором переноса a (0, 0, 4) . (Система координат – прямоугольная декартова).

15. Найти уравнение образа плоскости, проходящей через точки М₁(2, –1,3), М₂(3, 1, 2) и параллельной вектору а (3, - 1, 4) , при винтовом движении пространства, определяемом осью Oz, углом поворота 90° и вектором переноса A (0, 0, 3) . (Система координат – прямоугольная декартова).

16. Найти уравнение прообраза плоскости, проходящей через точку

М₁ (2, –3, –5) и параллельной векторам m (3, 1, - 1) и n(1, -2, 1) , при винтовом движении пространства, определяемом осью Oz, углом поворота 30° и вектором переноса a (0, 0, - 1) . (Система координат – прямоугольная декартова).

17. Найти образ точки, лежащей на оси Oy и отстоящей от плоскости

x + 2 y - 2 z - 2 = 0 на расстоянии d = 4, при винтовом движении пространства, определяемом осью Oz, углом поворота 45° и вектором переноса a (0, 0, 6) .

(Система координат – прямоугольная декартова)

18. Найти прообраз точки, лежащей на оси Oz и равноудаленной от точки

М(1, –2, 0) и от плоскости 3 x - 2 y + 6 z - 9 = 0 , при винтовом движении пространства, определяемом осью Ox, углом поворота 45° и вектором переноса a (-4, 0, 0) . (Система координат – прямоугольная декартова).

19. Найти уравнение образа геометрического места точек, удаленных от

плоскости 4 x - 4 y +2 z + 3 = 0 на расстоянии, равном 2, при винтовом движении пространства, определяемом осью Oу, углом поворота –90° и вектором переноса a (0,-2,0) . (Система координат – прямоугольная декартова).

20. Найти образ точки Р, лежащей на плоскости 2 x -3 y + 3 z - 17 = 0 , сумма расстояний которой до точек М (3, –4, 7) и М (–5, –14, 17) наименьшая при винтовом движении пространства, определяемом осью Oу, углом поворота –90° и вектором переноса a (0, - 6, 0) . (Система координат – прямоугольная декартова).