Решение: Серёже-15, Вове 5 через 5 лет
Задача 38:Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3 × 3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.
Решение:
Задача 39:Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как ее зовут? Имеет ли задача однозначный ответ? Почему?
Задача 40: Школьники посадили вдоль дороги (по прямой) 25 деревьев. Расстояние между двумя любыми соседними деревьями одинаковое. Найдите это расстояние, если между крайними деревьями 600 дм.
. Тем более, что подобные задачи мы с детьми решаем на моем математическом кружке в Новых Черемушках.
Решение:600:24 = 25 дм – расстояние между двумя любыми соседними деревьями
ЗАДАЧА 41
Вася может получить число 100, используя десять двоек, скобки и знаки арифметических действий:
100 = (22 : 2 — 2 : 2) · (22 : 2 — 2 : 2)
Улучшите его результат: используйте меньшее число двоек и получите число 100.
В шестом классе вместо двоек были тройки, в седьмом — семерки. Но на решение задачи это никак не влияло.
Решение задачи
Один из вариантов, не самый короткий, предусматривает использование 8 двоек:
(22 — 2) : 2 · (22 — 2) : 2 = 100
Аналогично для троек и семерок:
(33 — 3) : 3 · (33 — 3) : 3 = 100
(77 — 7) : 7 · (77 — 7) : 7 = 100
На занятиях математического кружка в Новых Черемушках мои четвероклассники и даже третьеклассники нашли вариант из 6 двоек:
(222 — 22) : 2 = 100
Аналогично: (333 — 33) : 3 = 100, (777 — 77) : 7 = 100
ЗАДАЧА 42
разрежьте фигуру на 3 равные части.
Задача № 43 . Составьте квадрат, используя ровно четыре из пяти изображенных ниже фигур. Каждую из четырех выбранных Вами фигур можно использовать только один раз.
Задача 44 . Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) — со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит Шаг 1. Посчитаем, сколько клеточек содержится в фигуре.Их 12.
Шаг 2. Определим, сколько клеточек должна содержать каждая полученная в результате разрезания часть. 12:3 = 4.
Шаг 3. Нарисуем все возможные комбинации из 4 клеточек. Их я насчитал 5 (не рассматриваем фигуры, где клеточки соединяются только «углом»).
Шаг 4. Исследуем все варианты и отбрасываем те, что не подходят. В итоге получаем возможное решение:
ЗАДАЧА 45:
Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (8 л воды должно получиться в одном ведре).
Решение задачи
Запишем последовательность действий в таблицу, указывая в первом столбце действие, а во втором и третьем – результат, т.е. сколько воды остается в каждом ведре после действия.
| Действие | Ведро 10 л | Ведро 6 л |
| Изначально оба ведра пустые | ||
| Наполним большое ведро из речки | ||
| Перельем из большого в маленькое 6 л | ||
| Выльем всю воду из маленького | ||
| Перельем из большого в маленькое всю воду, т.е. 4 л | ||
| Наполним большое ведро из речки | ||
| Отольем из большого ведра столько, чтобы наполнить маленькое до краев, т.е. 2 л. |
В результате в большом ведре останется ровно 8 литров.
ЗАДАЧА 46:
Белоснежка вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 30 стульев. На некоторых из стульев сидели гномы. Оказалось, что Белоснежка не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гномов могло быть за столом?
(Объясните, как должны были сидеть гномы и почему, если бы гномов было меньше, Белоснежка нашла бы стул, рядом с которым никто не сидит).
Решение задачи
Каждый гном может сделать недоступными для Белоснежки 3 стула — тот, на котором он сидит, а также стулья справа и слева. Поэтому наименьшее число гномов 30 : 3 = 10. Гномы могут сидеть, например, на стульях с номерами 3, 6, 9, … 30 – через каждые два стула на третьем. При таком расположении любой пустой стул оказывается рядом с занятым (либо справа, либо слева).
Докажем, что при меньшем числе гномов Белоснежка найдет свободный стул без соседей. Пусть гномов за столом 9. Назначим любого гнома старшим и начнем отсчет стульев с него – т.е «старший» гном сидит на стуле №1. При этом Белоснежка уже не сможет занять стулья №30 и №2. Следующий гном должен сесть не дальше, чем на стул № 4, иначе Белоснежка сядет на стул № 3 – и рядом с ней окажутся свободными оба соседних стула — №2 и №4. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что третий гном сядет на стул №7, четвертый – на стул №10 и т.д. Девятому гному достанется стул №25. А это означает, что в распоряжении Белоснежки будут стулья №27, 28 и 29, на любом из которых она сможет расположиться без соседей по бокам.
ЗАДАЧА 47:
Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?
(Напишите решение задачи, а не только ответ).
Решение задачи
Рассмотрим отрезок пути, на котором Маша делает 3 шага, а Яша – 5 шагов. Вместе они делают на таком отрезке 8 шагов. Значит, они прошли 400 : 8 = 50 таких отрезков. И Маша сделала 50 · 3 = 150 шагов.
Теперь рассмотрим другой отрезок – на котором уже папа делает 3 шага, а Маша – 5 шагов. Таких отрезков было 150 : 5 = 30. Отсюда легко вычислить, сколько шагов сделал папа: 30 · 3 = 90 шагов.
Ответ: папа сделал 90 шагов
задача 48: 1. На ступеньках дома сидят рядышком мальчик и девочка.
– Я мальчик, – говорит ребёнок с чёрными волосами.
– А я девочка, – говорит ребёнок с рыжими волосами.
Если по крайней мере один из детей говорит неправду, то кто из них мальчик, а кто девочка?
Решение
Для двух произвольных высказываний существуют четыре возможные комбинации типа «истина – ложь», а именно:
И – И, И – Л, Л – И, Л – Л.
Первая из них исключается, поскольку в условии оговаривается, что по крайней мере одно из высказываний является ложным. Вторая и третья комбинации также исключается, потому что если один ребёнок врал, то и другой не мог говорить правду, иначе мы бы имели дело с двумя мальчиками или с двумя девочками, что противоречит условию. Следовательно, оба говорили неправду.
Итак, у мальчика рыжие волосы, а у девочки чёрные.
Задача 49:
Можно ли расставить по окружности 20 красных и несколько синих фишек так, чтобы в каждой точке, диаметрально противоположной красной фишке, стояла синяя и никакие две синие фишки не стояли рядом?
Решение
Из условия следует, что красные и синие фишки должны чередоваться (на окружности), значит, всего их 40. Фишки по окружности размещаются равномерно в том смысле, что две диаметрально противоположные фишки делят множество оставшихся 38 фишек на две части по 19 фишек, расположенные в одной и другой полуокружностях относительно двух данных фишек. Это так, потому что согласно условию, каждая фишка имеет диаметрально противоположную. Диаметрально противоположные фишки имеют разный цвет, поэтому 19 фишек, расположенные в одной из полуокружностей должны чередоваться по цвету и начинаться и заканчиваться фишками разного цвета, что невозможно при нечётном 19. Следовательно, указанная в задаче расстановка фишек не возможна.
Ответ: нельзя.
Задача 50:
Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.
Браун: «Я не делал этого. Джонс не делал этого.»
Джонс: «Браун не делал этого. Смит сделал это.»
Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это.»
Было установлено далее, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий – раз солгал, раз сказал правду. Кто совершил преступление?
Решение
Если вор – Смит, то и Браун, и Джонс оба сказали правду. Если вор – Джонс, то и Браун, и Смит одновременно сказали и правду, и ложь. Итак, Браун – преступник. Джонс оба раза солгал, Смит оба раза сказал правду, Браун один раз солгал, второй раз сказал правду.
Задача 51:
Шурик, Трус, Балбес и Бывалый участвовали в турнире по домино и заняли первые четыре места. Сумма мест, занятых Шуриком, Трусом и Балбесом, равна 6, сумма мест Труса и Бывалого тоже равна 6. Какое место занял каждый из них, если Трус занял более высокое место, чем Шурик? Объясните, как вы получили ответ.
Решение.
Ответ: 1. Балбес; 2. Трус; 3. Шурик; 4. Бывалый. Из первого условия следует, что Шурик, Трус и Балбес заняли первые три места в каком-то порядке, а из второго, – что Трус и Бывалый заняли второе и четвертое места. Значит, Трус – второй, Бывалый – четвертый. Из последнего условия следует, что Балбес – первый, а Шурик – третий.
Задача 52.
В бочке находится не менее 13 литров молока. Как отлить из нее 8 литров молока с помощью пустых пятилитрового и девятилитрового ведер?
Решение.
Наполняем из бочки девятилитровое ведро и отливаем из него 5 л в пятилитровое. Эти 5 л выливаем обратно в бочку, а в пятилитровое ведро выливаем оставшиеся 4 л из девятилитрового. Далее снова наполняем девятилитровое ведро из бочки и отливаем 1 л в пятилитровое. Теперь в девятилитровом ведре находится 8 литров молока.
Задача 53.
Количество цифр, потребовавшихся для нумерации всех страниц энциклопедического словаря, не превосходит 2009 (первая страница имеет номер 1). Если бы в словаре было на одну страницу больше, то это количество превысило бы 2009. Сколько страниц в словаре? Объясните, как вы получили ответ.
Решение. На однозначные номера потрачено 9 цифр, на двузначные – 90×2 = 180 цифр. Поэтому на трехзначные номера остается не более 2009 – 9 – 90×2 = 1820 цифр. Так как 1820 : 3 = 606 (ост. 2), то страниц с трехзначными номерами в словаре 606, а всего страниц – 9 + 90 + 606 = 705.
Ответ: 705 страниц.
Задача 54.
Коля заплатил 115 руб за четыре тетради, два карандаша и резинку, Саша – 140 руб за две тетради, семь карандашей и две резинки. Сколько заплатил Антон за две тетради, три карандаша и резинку? Объясните, как вы получили ответ.
Решение.
Так как покупки Коли и Саши вместе составляют утроенную покупку Антона, то Антон потратил (115 + 140) : 3 = 85 руб.
Ответ: 85 руб.
Задача 55.
Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трёхзначное.
Решение.
9 + 99п = 999
99п = 990
п = 10
Значит нужно прибавить 10 раз.
Ответ: 10 раз
Задача № 56 : В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2000, а сумма больше второго слагаемого на 6. Восстановите пример.
. Ответ: 6+2000 = 2006. Если из суммы двух чисел вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Из условия следует, что второе слагаемое равно 2000, а первое - равно 6.
Задача № 57 :В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.
Ответ : Федору 11 лет. Заметим, что если не ошибся Шарик, то не ошибся и Матроскин, что противоречит условию. Значит, Шарик сказал неправду, в отличие от кота Матроскина. Таким образом, дяде Федору больше 10 лет, но не меньше 11. Следовательно, дяде Федору исполнилось 11 лет.
Задача № 58 :. В забеге от Воробьевых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем — Саша, и последней — Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена — 6 раз, Саша — 4 раза, причем все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время? Ответ обоснуйте.
. Ответ: первым финишировал Гриша, затем - Саша, и последней - Лена.
Гриша стартовал первым. Чтобы он смог совершить 10 обгонов, необходимо чтобы Саша и Лена обогнали его хотя бы 10 раз. Так как общее количество обгонов Саши и Лены равно 6 + 4 = 10, то они обгоняли только Гришу и не обгоняли друг друга. После того, как Гриша совершил все 10 обгонов, он опять оказался первым. Значит, спортсмены финишировали в том же порядке, в котором и стартовали.
Гриша стартовал первым. Чтобы он смог совершить 10 обгонов, необходимо чтобы Саша и Лена обогнали его хотя бы 10 раз. Так как общее количество обгонов Саши и Лены равно 6 + 4 = 10, то они обгоняли только Гришу и не обгоняли друг друга. После того, как Гриша совершил все 10 обгонов, он опять оказался первым. Значит, спортсмены финишировали в том же порядке, в котором и стартовали.
| |