Проецирование точки на три плоскости проекций

Аппарат проецирования

Аппарат проецирования (рис. 1) включает в себя три плоскости проекций:

π₁ – горизонтальная плоскость проекций;

π₂ – фронтальная плоскость проекций;

π₃ – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π₁^ π₂^ π₃), а их линии пересечения образуют оси:

- пересечение плоскостей π₁и π₂ образуют ось 0Х (π₁∩ π₂ = 0Х);

- пересечение плоскостей π₁и π₃ образуют ось 0Y (π₁∩ π₃ = 0Y);

- пересечение плоскостей π₂и π₃ образуют ось 0Z (π₂∩ π₃ = 0Z).

Рис. 1

Точка пересечения осей (ОХ∩OY∩OZ=0), считается точкой начала отсчета (точка 0).

Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.

Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 1 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I-ом октанте.

Проецирование ортогональное с центрами проецирования S₁, S₂ и S₃ соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S₁, S₂ и S₃ выходят проецирующие лучи l₁, l₂ и l₃. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

- А₁ – горизонтальная проекция точки А;

- А₂ – фронтальная проекция точки А;

- А₃ – профильная проекция точки А.

Точка в пространстве характеризуется своими координатами A(x,y,z). Точки A_x, A_y и A_z соответственно на осях 0X, 0Y и 0Z показывают координаты x, y и z точки А. На рис. 1 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.

Эпюр точки

Чтобы получить эпюр точки А (рис. 2), в аппарате проецирования (рис. 1) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х, до совмещения её с плоскостью π₂. Затем плоскость π₃ с проекцией точки А₃, вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z, до совмещения её с плоскостью π₂. Направление поворотов плоскостей π₂ и π₃ показано на рис. 1 стрелками. При этом прямые А₁А_х и А₂А_х станут располагаться на общем к оси 0Х перпендикуляре А₁А₂, а прямые А₂А_х и А₃А_х станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А₂А₃. Эти прямые в дальнейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.

Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.

На практике построение эпюра точки А(x_A, y_A, z_A) осуществляется по численным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последовательности (рис. 2). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.

1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А₁ на эпюре.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А₂ на эпюре.

Рис. 2

6. Через точку А₂ параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А_z.

7. На горизонтальной линии связи от точки А_z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение профильной проекции точки А₃ на эпюре.

Характеристика точек

Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.

Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проецирования, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерными признаками точек частного положения являются:

- метаматематический – одна, две или все численные значения координат равны нулю и (или) бесконечности;

- на эпюре – две или все проекции точки располагаются на осях и (или) располагаются в бесконечности.

Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка А на рис. 1 и 2.

В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскости π₃; координата y от плоскости π₂; координата z от плоскости π₁. Следует отметить, что знаки при численных значениях координат указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится.

Метод двух изображений

На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 3). Кроме того, на оси 0Х назначается начало отсчета (точка 0) и из него перпендикулярно оси 0Х в плоскостях проекций π₁ и π₂ проводят оси 0Y и 0Z соответственно.

Рис. 3

В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 3 они обозначены римскими цыфрами.

Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I-ом квадранте.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S₁ и S₂ выходят проецирующие лучи l₁ и l₂. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

- А₁ – горизонтальная проекция точки А;

- А₂ – фронтальная проекция точки А.

Чтобы получить эпюр точки А (рис. 4), в аппарате проецирования (рис. 3) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х, до совмещения её с плоскостью π₂. Направление поворота плоскости π₁ показана на рис. 3 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная линия связи А₁А₂.

Рис. 4

На практике построение эпюра точки А(x_A, y_A, z_A) осуществляется по численным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последовательности (рис. 4).

1. Вычерчивается ось OX и назначается начало отсчета (точка 0).

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А₁ на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OY не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются ниже оси OX, а отрицательные выше.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А₂ на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX, а отрицательные ниже.

Конкурирующие точки

Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конкурирующих точек на эпюре является тождественное совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости этих проекций относительно наблюдателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима.

На пространственной модели проецирования (рис. 5) из двух конкурирующих точек А и В видима точка А по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S₁→А→В точка А ближе к наблюдателю, чем точка В. И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π₁ (т.е. z_A > z_A).

Рис. 5 Рис.6

Если видима сама точка A, то видима и её проекция A₁. По отношению к совпадающей с ней проекцией B₁. Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки.

Уберем на модели точки А и В. Останутся их совпадающие проекции на плоскости π₁ и раздельные проекции – на π₂. Условно оставим и фронтальную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S₁. Тогда по цепочке изображений ⇩ → A₂ → B₂ можно будет судить о том, что z_A > z_B и что видима и сама точка А и её проекция А₁.

Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С и D по видимости относительно плоскости π₂. Поскольку общий проецирующий луч этих точек l₂ параллелен оси 0Y, то признак видимости конкурирующих точек С и D определяется неравенством y_C > y_D. Следовательно, что точка D закрыта точкой С и соответственно проекция точки D₂ будет закрыта проекцией точки С₂ на плоскости π₂.

Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 6).

Судя по совпадающим проекциям А₁≡В₁ сами точки А и В находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0Z. Значит сравнению подлежат координаты z_A и z_B этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z_A > z_B. Из этого следует, что видима проекция А₁.

Точки C и D на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 6) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0Y. Поэтому из сравнения y_C > y_D делаем вывод, что видима проекция С₂.

Общее правило. Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.