Алгоритм построения обводов из дуг кривых второго порядка.

В инженерной практике большое распространение получили обводы, составленные из дуг кривых второго порядка. Кривая второго порядка задается пятью условиями: или пятью точками, или тремя точками и двумя касательными в двух точках и т.д.

Рассмотрим тот случай, который часто применяется в практике работы различных конструкторских бюро. Пусть даны точки А, В, С и касательные t_А и t_В в точках А и В. Построим точки кривой второго порядка, используя методы проективной геометрии (рис. 27). Возьмем на прямой ВС произвольную точку N. Соединяем ее с точками Е и А. Находим точку К = ЕN ∩ АС. Точка М пересечения прямых АN и КВ будет принадлежать искомой второго порядка. Меняя положение точки N на ВС, получим как угодно много точек М дуги кривой второго порядка. Аналогично строятся дуги кривых второго порядка и для других узловых точек обвода.

Рис. 27

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИХ ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ НА ЧЕРТЕЖЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

В начертательной геометрии поверхность обычно рассматривается как результат непрерывного перемещения некоторой линии (образующей) по определенному закону. Совокупность всех условий, задающих поверхность в пространстве, называется ее определителем. Известно, что коническая поверхность полностью задается своей вершиной S и кривой m (направляющей) (рис. 28).

Рис. 28

Поэтому определитель конической поверхности Ф будет записан так: Ф [S, m]. На комплексном чертеже поверхность задается проекциями геометрических элементов ее определителя. Для задания конической поверхности на чертеже достаточно знать проекции (S₁, S₂) вершины S и направляющей m (m₁, m₂) (рис. 29).

Рис. 29

Простейшей позиционной задачей, являющейся частью более серьезной задачи (позиционной или метрической), будет построение проекции точки, принадлежащей поверхности. Для построения второй проекции Е₁ точки Е (Е₂), лежащей на любой поверхности, применяют общий методы, заключающийся в том, что через заданную проекцию Е₂ точки Е проводит образующую l (l₂), принадлежащую данной поверхности.

Затем строят вторую проекцию l₁ этой линии. Горизонтальная проекция Е₁ точки Е найдется на пересечении линии связи, проведенной через точку Е₂, с линией l₁.

Изображение поверхности, на котором относительно любой точки пространства, заданной ее проекциями, однозначно решается вопрос о принадлежности этой точки рассматриваемой поверхности, называется ее чертежом.

Изображение поверхности, на котором нельзя решить вопрос о принадлежности точки пространства поверхности, называется ее рисунком.

На рис. 28 изображен рисунок конической поверхности, а на рис. 29 – ее чертеж.

Очертание поверхности.

Задание поверхности проекциями элементов ее определителя не обеспечивает ее наглядности. Поэтому для придания наглядности чертежу поверхности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий, ограничивающих области ее проекций.

Возьмем в пространстве поверхность Ф и плоскость проекций П₂. При параллельном проецировании Ф на П₂ некоторые из проецирующих прямых будут касаться Ф и образовывать проецирующую цилиндрическую поверхность θ (рис. 30) (аналогично – коническую поверхность для центрального проецирования).

Линия касания поверхностей Ф и θ называется контурной линией, а ее проекция l₂ на П₂ – очертанием данной поверхности Ф.

Рис. 30

При изображении поверхности на комплексном чертеже проекцию контурной линии называют линией видимости. Она отделяет видимую часть поверхности от невидимой.

Определим, какая часть привой будет видимой на плоскости проекций П₂ (см. рис. 30). Контурная линия l разделяет в точке С = l ∩ m дугу кривой на две части, одна из которых (до точки С) лежит на видимой части поверхности Ф, другая – на невидимой. Это означает, что на П₂ видимой будет часть кривой m₂ до точки С₂ – проекции точки С. Остальная часть кривой будет невидимой.