Математическое моделирование в экологии

Тысячи путей ведут к заблуждению, к истине — только один.

Ж. Ж. Руссо

Для исследования биологических систем, таких как биоценозы, биогеоценозы, можно применять методы математического моделирования и, используя ЭВМ для анализа процессов в этих сложных системах, значительно продвинуть вперед науку о биосфере и экологии.

Например, один из вопросов, который очень часто возникает в современной экологии, состоит в следующем: как определить численность той или иной популяции через определенное время? Ответ на него представляет не только теоретический интерес, но и имеет большое практическое значение. Действительно, не зная этого, нельзя правильно планировать эксплуатацию различных возобновимых природных ресурсов — промысловых рыб, охотничьих угодий и т. п. Для решения этих вопросов можно применить методы математического моделирования.

По распределению и численности видов имеется огромная информация, но ее нужно перевести на математический язык. Естественно, что описание судьбы отдельной особи — задача безнадежная, поэтому вводят макроскопические характеристики, описывающие популяцию. Допустим, в момент времени t₀ число особей в популяции в среднем составляет n₀. Если п — число особей, то изменение его со временем от числа их рождений g и числа смертей d можно записать в виде:

В простейшем случае , где коэффициенты

не зависят от общей численности особей. Они могут определяться доступностью пищи, климатом, температурой и т. п. Если эти внешние условия поддерживаются постоянными, то уравнение

где описывает растущую или убывающую по экспоненте популяцию, т. е. стационарного решения нет, и говорят, что рост не зависит от числа особей. Значит, эти коэффициенты должны зависеть от числа особей. Наиболее важным из всех факторов, которые мы проигнорировали, вероятно, является истощение источников питания, который можно учесть введением в уравнение члена: . Тогда получим следующее уравнение:

Оно и представляет собой математическую модель процесса изменения численности особей в популяции при котором предполагается, что пища поступает с постоянной скоростью.

Для определения численности особей в популяции в момент времени Т можно воспользоваться математической моделью. Для этого разделим переменные в уравнении и, интегрируя его при условии находим следующее уравнение:

Отсюда можно определить число особей в популяции в момент Т:

Представим себе, что мы задались целью собирать урожаи с рассматриваемой популяции, т. е. изымать часть особей из экосистемы. Возникает вопрос: когда и сколько собирать урожая, чтобы суммарный урожай за время от t₀ до Т был максимален? Это более сложный вопрос, чем предыдущий. Не будем останавливаться на его точном решении, а отметим только, что математическая модель также дает возможность на него ответить. Качественный результат таков: пока число особей в популяции меньше некоторого критического значения, сбор урожая не производится вовсе, в дальнейшем же для достижения максимального суммарного урожая необходимо вести непрерывный сбор его.

Мы рассмотрели весьма упрощенную ситуацию, так как предполагалось, что популяция не взаимодействуют ни с какими другими популяциями, учет же этого обстоятельства, конечно, значительно усложняет модель. При этом могут встретиться ситуации: конкуренция — сосуществование; хищник — жертва; симбиоз. Сосуществование имеет место, когда различные виды не питаются одной и той же пищей, не поедают друг друга, размножаются в разных местах. Тогда уравнения для численности записываются как

Ситуация усложняется, если виды живут или пытаются жить за счет одного и того же источника пищи или зависят от одних и тех же жизненных условий. Предположим, что обе популяции потребляют один и тот же корм, которого имеется ограниченное количество, и из-за этого находятся в конкурентной борьбе друг с другом. Французский математик В. Вольтерра показал, что при таком предположении динамика популяций

достаточно хорошо описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

где — действительные положительные числа.

Первые члены правых частей характеризуют скорости роста популяций, если бы не было ограничивающих факторов. Вторые же члены учитывают те изменения в скоростях, которые вызываются ограниченностью корма. Анализ этих уравнений методами теории дифференциальных уравнений позволяет сделать некоторые выводы. Со временем численность одной из популяций становится равной нулю, а численность другой стабилизируется. Та популяция, у которой отношение меньше, вымирает, другая же выживает и стабилизируется.

В любом биоценозе, кроме отмеченного, происходит взаимодействие между всеми его элементами: особи одного вида взаимодействуют с особями и своего вида, и других видов. Эти взаимодействия могут быть мирными, а могут иметь связь типа "хищник—жертва". Было замечено, что численность хищников колеблется в обратной пропорции относительности колебаний жертв. Анализ этих колебаний позволил Вито Вольтерру вывести необходимые уравнения. Примером анализа таких структур может служить эволюция численности зайцев и волков, которая характеризуется колебаниями во времени. Грубо можно подсчитать, что при их совместном существовании скорость изменения численности зайцев и волков связана с частотой их столкновений, т. е. пропорциональна количеству тех и других с некоторым коэффициентом. Уже эти соображения приведут к системе уравнений, и при определенных условиях система "хищник — жертва" придет в равновесие. В случае неожиданной флуктуации (отстрел волков, гибель зайцев и т. д.) равновесие нарушается, и система приходит в движение. Она ведет себя

как колебательная система, когда численность "хищников" и "жертв" начинает колебаться синфазно, с отставанием. Объяснение простое: рост численности зайцев приводит к увеличению питания для волков, но уменьшает количество травы, так что вскоре численность волков вырастает, а зайцев уменьшается. Затем количество травы увеличивается, но запасы пищи для волков уменьшаются, и их численность падает. Тогда поголовье зайцев снова растет, и процесс повторяется. Режим колебаний с определенным периодом оказывается устойчивым.

Модель может усложняться введением нескольких типов жертв, которым может питаться один хищник, и другими вариантами.

Кроме ситуаций "хищник—жертва" и "конкуренция—сосуществование" моделируется ситуация "симбиоз". Модель симбиоза отражает кооперацию отдельных видов в борьбе за существование, когда один вид помогает или покровительствует другому.

В этих рассмотренных нами простых схемах не хватает очень многих факторов: смены климата и погоды, связи возраста особи и смертности, колебаний запасов пищи в разное время года и на разных территориях и т. д. Но использование даже простых моделей при разных, эмпирически учтенных тех или других параметрах дает интересные результаты. Поэтому метод математического моделирования широко применяется не только в современном естествознании, но и во многих гуманитарных науках.

ВЫВОДЫ

1. Под системой понимают совокупность компонентов и устойчивых, повторяющихся связей между ними. Разделение систем на простые и сложные является фундаментальным в естествознании. Среди всех сложных систем наибольший интерес представляют системы с так называемой обратной связью.

2. Наличие механизма обратной связи позволяет сделать заключение о том, что система преследует какие-то цели, т. е. что ее поведение целесообразно. Наука, которая первой начала

исследование подобных систем, получила название кибернетики. Кибернетика — это наука об управлении сложными системами с отрицательной обратной связью.

3. Системный подход в науке XX в. — междисциплинарное направление исследований, заключающееся в рассмотрении объекта с точки зрения взаимодействия части и целого. Для системного подхода характерно именно целостное рассмотрение, установление взаимодействия составных частей или элементов совокупности, несводимость свойств целого к свойствам частей.

4. Системный подход в корне подрывает прежнее представление о естественно-научной картине мира, когда природа рассматривалась как простая совокупность различных процессов и явлений, а не тесно взаимосвязанных и взаимодействующих систем, различных как по уровню своей организации, так и по сложности. Процесс познания природных и социальных систем может быть успешным только тогда, когда в них части и целое будут изучаться не в противопоставлении, а взаимодействии друг с другом, анализ будет сопровождаться синтезом.

5. Выделение биоценозов позволяет использовать методы математического моделирования в экологии. При таком моделировании чаще всего встречаются ситуации: "конкуренция—сосуществование"; "симбиоз"; "хищника—жертва".

6. Математическое моделирование различных систем используется в современном естествознании как междисциплинарная методика исследования.

Вопросы для контроля знаний

1. Какие системы называются сложными?

2. Как понимать обратные связи в системах?

3. В чем состоит целесообразность системы?

4. Какое значение имеет кибернетика?

5. В чем состоит специфика системного исследования?

6. Чем отличается система от агрегата?

7. Какое различие существует между строением и структурой системы?

8. На чем основано применение математики в системных исследованиях?

9. В чем состоят преимущества системного метода исследования?

10. Можно ли применить системный метод к отдельному
предмету?

11. Можно ли построить универсальную теорию систем? Обоснуйте ответ.

12. Чем отличается системный подход от редукционизма и холизма?

13. Какое мировоззренческое значение имеет системный
метод?