Вывод дифференциального уравнения свободного колебания

На тело, совершающее свободные колебания, действуют две силы:

1. Сила, определяемая по второму закону Ньютона:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

где m – масса тела;

а – ускорение;

х – смещение;

t – время.

2. Сила упругости, выраженная по закону Гука:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

где k – коэффициент упругости. Знак минус показывает, что сила упругости Fупр всегда направлена в сторону положения равновесия.

На основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих сил) получаем:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Перенесем –kx в левую часть равенства, получим:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Тогда:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Введем замену: Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ,

где ω0 – круговая (циклическая) частота колебаний (ω0=2πν)

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно смещения х.

Решением этого уравнения будет:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

или (см. рис.1 и рис. 2).

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ,

где А – амплитуда колебания;

φ0 – начальная фаза;

ω0t+φ0 – фаза колебания в момент времени t;

ω0t= ∆φ – изменение фазы колебания за время t.

Выведем уравнения мгновенной скорости и мгновенного ускорения, если колебания совершаются по закону косинуса.

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Затухающие колебания.

Все реальные гармонические колебания происходят при воздействии сил сопротивления, на преодоление которых тело затрачивает часть своей энергии, в результате амплитуда колебания уменьшается со временем, т.е. колебания носят затухающий характер.

Представим график затухающего колебания:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания.На тело, кроме силы Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru силы упругости Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru действует сила сопротивления:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

где r – коэффициент сопротивления.

Согласно второму закону Ньютона можно записать:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

или

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Разделим на массу m, получим:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Введем обозначения: Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ,

где β – коэффициент затухания.

Получили дифференциальное уравнение затухающего колебания:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Решение уравнения существенно зависит от знака разности Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ,

где ω- круговая частота затухающих колебаний, ω0 - круговая частота собственных колебаний системы (без затухания).

При ω>0 решение дифференциального уравнения будет следующим:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t определяется равенством:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ,

где А0 – начальная амплитуда, указанная на графике (см. рис 3).

Период Т затухающих колебаний определяется по формуле:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Скорость затухания (быстрота уменьшения амплитуды) определяется величиной коэффициента затухания β: чем больше β, тем быстрее уменьшается амплитуда.

Для характеристики скорости затухания ввели понятие декремента затухания.

Декрементом затухания называется отношение двух соседних амплитуд, разделенных периодом: Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

На практике степень затухания характеризуется логарифмическим декрементомзатухания λ, равным:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Выведем формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с коэффициентом затухания β и периодом колебания Т.

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Следовательно:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Выведем размерность коэффициента затухания

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Вынужденные колебания. Вынужденными колебанияминазываются колебания, возникающие в системе при воздействии на неё внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Пусть на систему действует сила:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

где F0 – максимальное значение,

ω - круговая частота колебаний внешней силы.

На систему действуют сила Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru сила сопротивления Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru и сила упругости Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

С учетом всех четырех сил на основании второго закона Ньютона запишем:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

или

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Разделим обе части равенства на m, получим:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Введем обозначения:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Получили дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Представим график вынужденных колебаний:

 
  Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

В начале амплитуда колебаний возрастает, а затем становится постоянной А.

Для установившихся вынужденных колебаний:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

где

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru (см. рис. 4)

Резонанс.Если ω0 и β для системы заданы, то амплитуда А вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ω0 и β называется резонансом.

Резонансная круговая частота определяется формулой:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

а резонансная амплитуда:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Если отсутствует сопротивление (β=0), то амплитуда неограниченно возрастает.

Представим на графиках зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы ω при различных значениях коэффициента затухания:

 
  Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

По виду резонансной кривой резонанс может быть острым при β→0, тупым – при β→1. (см. рис. 5).

По механизму возбуждения резонанс классифицируется на:

- механический; акустический; электромагнитный; парамагнитный; ядерномагнитный.

Возникновение резонансных явлений в организме может быть как полезным, так и вредным. Например, на акустическом резонансе основано восприятия звука, инфразвук может вызвать разрыв тканей внутренних органов.

Автоколебания.При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту потерю энергии, то колебания станут незатухающими. Пополнять эту потерянную системой энергию можно за счет источника энергии извне, а можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама бы управляла внешним воздействием.

Незатухающие колебания, возникающие в системе за счет источника энергии, не обладающего колебательными свойствами, называются автоколебаниями, а сами системы – автоколебательными.

Классическим примером автоколебаний являются часы: заведенная пружина; поднятая гиря – источник энергии; анкер – регулятор поступления энергии от источника; маятник или баланс – колебательная система.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы.

Автоколебания осуществляется по следующей схеме:

 
  Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Через канал обратной связи регулятор, получив информацию о состоянии колебательной системы, осуществляет регулирующую подачи энергии от источника к системе.

К автоколебательным системам относятся сердце, легкие и т.д.

Автоколебательная система сердца может быть представлена в следующем виде:

 
  Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

Порядок выполнения работы:

  1. Включить кимограф, записать положение равновесия.
  2. Отклонив маятник в сторону, отпустить его, одновременно включив секундомер.
  3. После записи последнего n-го колебания отключить секундомер.
  4. После последнего колебания зарегистрировать положение равновесия и отключить кимограф.
  5. Записать графики 3-го – 5-го колебательных процессов.
  6. С помощью линейки для каждого графика определить величину начальной амплитуды (А0) и последней амплитуды (Аn).
  7. Подсчитать число полных колебаний на графике (n).
  8. Определить период колебания T:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru где t – время по секундомеру.

  1. Определить величину коэффициента затухания по формуле:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

  1. Определить величину логарифмического декремента затухания: Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .
  2. Полученные данные занести в таблицу.
п/п А0 (см) Аn (см) n t(c) T(c) β(c-1) λ
               

Контрольные вопросы

  1. Определения и единицы измерения основных характеристик колебательного движения.
  2. Гармонические колебания. Вывод дифференциального уравнения гармонического колебания и его решение.
  3. Затухающие колебания. Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания и его решение.
  4. Декремент затухания, логарифмический декремент затухания. Вывод формулы, связывающей логарифмический декремент с периодом колебания и коэффициентом затухания.
  5. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденного колебания и его решение.
  6. Резонанс и его значение в медицине.
  7. Автоколебания.

Тестовые задания

  1. Циклической (круговой) частотой называется число полных колебаний за:

а) 1 с; б) 1 мин; в) 1 ч; г) 2π с.

  1. Укажите формулу, связывающую циклическую частоту ω с частотой ν:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

  1. Укажите формулу, по которой определяется амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru . г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

  1. Декрементом затухания называется отношение:

а) двух соседних амплитуд;

б) двух соседних амплитуд, разделенных периодом;

в) первой и последней амплитуд;

г) двух амплитуд, разделенных полупериодом.

  1. Укажите единицу измерения коэффициента затухания β:

а) с; в) с-1;

б) безразмерная величина; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

6. Укажите решение дифференциального уравнения свободного гармонического колебания:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

7. Укажите, сколько сил действует на систему, если она совершает свободные гармонические колебания:

а) одна; в) три;

б) две; г) четыре.

8. Укажите дифференциальное уравнение свободного гармонического колебания:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

9. Укажите решение дифференциального уравнения затухающего колебания:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

10. Сколько полных колебаний тело должно совершить в одну минуту, чтобы частота его колебаний равнялась 1 Гц:

а) 1; в) 120;

б) 60; г) 30;

11. Укажите подстановку в уравнение смещения затухающего колебания:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru :

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

12. Укажите, сколько сил действует на систему, если она совершает вынужденные колебания:

а) две; в) четыре;

б) три; г) пять.

13. Укажите дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

14. Укажите блок – схему, по которой осуществляются автоколебания:

 
  Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

15. Укажите формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с периодом колебания Т и коэффициентом затухания β:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

16. Укажите дифференциальное уравнение затухающего колебания:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

17. Укажите, по какой формуле определяется период колебания Т, если за время t тело совершило n полных колебаний:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

18. Укажите единицу измерения логарифмического декремента затухания:

а) с-1; в) с;

б) с2; г) безразмерная величина.

19. Укажите, какой параметр в уравнении смещения Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru указывает на то, что процесс носит затухающий характер:

a) t; б) ω0; в) А0; г) β.

20. Укажите, какая сила вызывает уменьшение амплитуды при затухающих колебаниях:

а) ускоряющая сила;

б) сила упругости;

в) сила сопротивления;

г) сила давления.

21. Укажите, при каком значении декремента затухания процесс затухания будет проходить наиболее медленно:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru 22. Укажите, на каком из графиков показан период колебания Т:

Т

23. Укажите график вынужденного колебания:

 
  Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

24. Укажите, каков физический смысл знака «-» в формуле закона Гука Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru

а) физический смысл отсутствует;

б) показывает, что направления силы упругости Fупр и смещения х совпадают;

в) показывает, что направления силы упругости Fупр и смещения х противоположны;

г) показывает, что направления силы упругости Fупр и смещения х взаимно перпендикулярны.

25. Частотой колебания ν называется величина, показывающая число полных колебаний:

а) за минуту; в) за час;

б) за секунду; г) за сутки.

26. Укажите, в каких единицах измеряется циклическая частота ω:

а) в секундах; в) в минутах;

б) в Гц ; г) в часах.

27. Укажите условие резонанса при β=0:

а) ωрез0; в) ωрез≠ω0;

б) ωрез0; г) ωрез0.

28. Укажите уравнение скорости незатухающего колебания, совершаемого по закону:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru :

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

29. Укажите уравнение ускорения незатухающего колебания, совершаемого по закону:

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru :

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ; г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

30. Укажите, что в автоколебательной системе сердца выполняет роль регулятора:

а) метаболические процессы;

б) сердце;

в) сино – атриальный узел;

г) ряд внутрисердечных рефлекторных дуг и рефлекторные дуги ЦНС.

31. Укажите, функцию какого параметра выполняет f­0 в дифференциальном уравнении вынужденного колебания Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru :

а) скорости; в) массы;

б) ускорения; г) внешней силы.

32. Укажите, функцию чего в классическом примере автоколебаний в часах выполняет анкер:

а) источника энергии; в) клапана (регулятора);

б) колебательной системы; г) обратной связи.

33. Укажите уравнение, по которому определяется амплитуда А установившегося вынужденного колебания:

а) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

б) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

в) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru ;

г) Вывод дифференциального уравнения свободного колебания - student2.ru .

34. Чему будет равен логарифмический декремент λ, если отношение амплитуд Аt и At+T равно 2,7:

а) λ=1; в) λ=3;

б) λ=2; г) λ=4.

35. Чему будет равно отношение амплитуд Аt и At+T, если логарифмический декремент λ равен 1,1:

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Наши рекомендации