Корреляционная зависимость. Уравнения регрессии

Функциональные зависимости достаточно хорошо знакомы чи­тателю. Часто эти зависимости можно выразить аналитически. Например, площадь круга зависит от радиуса (S = пr²), ускорение тела — от силы и массы (а = F/m₀) и т. д.

При изучении объектов в биологии и медицине приходится иметь дело с функциональными связями другого рода. При этом определенному значению одного признака соответствует не одно значение другого, а целое распределение значений. Такая связь называется корреляционной связью, или просто корреляцией. Корреляционная связь, например, между возрастом и ростом де­тей выражается в том, что каждому значению возраста соответст­вует определенное распределение роста (а не одно единственное значение). При этом с увеличением возраста (до определенных пределов) возрастает и среднее значение роста.

Количественную характеристику взаимосвязи изучаемых при­знаков можно дать на основании вычисления показателя силы связи между ними (коэффициента корреляции) и определения за­висимости одного признака от изменений другого (уравнения рег­рессии). Коэффициент корреляции определяет не только степень, но и направление связей между величинами. Если отсутствие функциональной зависимости между величинами условно соот­ветствует нулевой корреляции, а полная функциональная зависи­мость — корреляции, равной единице, то сила корреляционной связи, вообще говоря, измеряется промежуточными значениями (от 0 до +1). При этом при положительном коэффициенте корре­ляции с увеличением одной величины возрастает и другая. Если же коэффициент корреляции отрицателен, то возрастание одного параметра сопровождается уменьшением другого.

В простом случае при линейной зависимости между исследуе­мыми параметрами используют коэффициент корреляции Бравэ—Пирсона, вычисляемый по формуле:

Здесь п — количество пар анализируемых признаков, х_в и у_в — выборочные средние значения в распределениях соответствую­щих параметров, а_х и а_у — средние квадратические отклонения. Рассчитанный по формуле (3.32) коэффициент корреляции ращений формуле (2.17), испольнивают с теоретическим, который находят в специальной таблице с учетом определенного уровня значимости и объема выборки. Входными значениями таблицы являются число пар ис­следуемых признаков и уровень значимости (0,05 или 0,01). При этом нулевая гипотеза заключается в том, что корреляцион­ной связи между исследуемыми параметрами не существует. Если получают значения коэффициента корреляции больше таблично­го, с определенной степенью вероятности полагают, что корреля­ция в генеральной совокупности отличается от нуля.

Покажем на примере, как рассчитывают коэффициент корре­ляции Бравэ—Пирсона.

Оценить взаимосвязь частоты пульса X и максимального артериаль­ного давления Y у детей:

Согласно нулевой гипотезе, корреляционной связи между изучае­мыми параметрами нет. Рассчитаем выборочные средние значения и средние квадратичные отклонения для приведенных выше выборок ис­следуемых параметров: х_в = 109,6; у_п = 101,8; а_х = 10,29 и с_у = 2,81. По формуле (3.32) рассчитываем коэффициент корреляции г = 0,44. Затем обращаемся к таблице 12 и находим для шести пар признаков (п = 6), те­оретическое значение коэффициента корреляции 0,811 при уровне значимости 0,05 и 0,917 при уровне значимости 0,01. В том и другом случае нулевая гипотеза оказывается справедливой и корреляционной связи между анализируемыми признаками не существует с вероятностью 0,95 и 0,99.

Количественное представление зависимости изменений одного признака от изменений другого позволяет получить показатели регрессии. Как правило, анализ регрессии начинают с графиче­ского изображения данных. При большом числе исходных дан­ных для выявления общей закономерности вычисляются средние значения одного признака (у) в группах (классах), соответствую­щих определенному интервалу значений другого признака (х). При построении графика по усредненным данным точки на гра­фике располагаются вдоль так называемой эмпирической линии регрессии. Затем проводят подбор и составление уравнения рег­рессии. С помощью такого уравнения можно теоретически рас­считать значения, которые должен принимать один признак при определенных значениях другого (уравнение прогноза).

Если предполагается существование линейной зависимости между исследуемыми признаками (линейная регрессия), то про­водить регрессионный анализ наиболее просто. Часто при этом применяют графический метод. Для проведения линии регрессии используют прозрачную линейку, придавая ей такое положение, чтобы выше и ниже предполагаемой линии регрессии оказалось приблизительно одинаковое число эмпирических точек. На полу­ченной прямой определяют координаты двух наиболее отдален­ных точек x_v у₁ и х₂, у₂. Затем составляют систему двух уравне­ний:

Из полученной системы уравнений определяют неизвестные a и b: b = (у₂ - у₁)/(х₂ – х2_г), а = у₁-Ъх₁ = у₂~ bх₂. Наконец, при из­вестных коэффициентах а и Ь записывают уравнение прогноза, на основании которого можно рассчитать значение параметра у при известном значении х.

В настоящее время при статистическом анализе экспериментальных данных широко используются компьютерные вычисли­тельные программы, позволяющие проводить корреляционный и регрессионный анализ. Более подробно практическое применение этого вида анализа рассматривается в курсе социальной гигиены и организации здравоохранения.

РАЗДЕЛ2

Механика. Акустика

Механика называют раздел физики, в котором изучается механическое движение материаль­ных тел. Под механическим движением понимают изменение по­ложения тела или его частей в пространстве с течением времени. Механика, в основу которой положены законы Ньютона, называ­ется классической. В ней рассматриваются движения макроско­пических тел, происходящие со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме. Вопросы данного раздела могут, в част­ности, быть использованы для следующих целей:

— — — понимания механики движения целого организма и меха­ники опорно-двигательного аппарата человека;

— — — знания механических свойств биологических тканей и жидкостей;

— — — знания общих закономерностей периодических процессов, протекающих в организме;

— — — понимания работы уха и вестибулярного аппарата как физических устройств, сердца как насоса и т. выяснения биофизического механизма действия ультразву­ка идр.

Г Л А В А 4 Некоторые вопросы биомеханики

Биомеханикой называют раздел биофизики, в котором рас­сматриваются механические свойства живых тканей и орга­нов, а также механические явления, происходящие как с целым организмом, так и с отдельными его органами. Говоря кратко, биомеханика — это механика живых систем.

§ 4.1. § 4.1. Механическая работа человека. Эргометрия

Механическая работа, которую способен совершить человек в течение дня, зависит от многих факторов, поэтому трудно указать какую-либо предельную величину. Это замечание относится и к мощности. Так, при кратковременных усилиях человек может развивать мощность порядка нескольких киловатт. Если спортс­мен массой 70 кг подпрыгивает с места так, что его центр масс поднимается на 1 м по отношению к нормальной стойке, а фа­за отталкивания длится 0,2 с, то он развивает мощность около

3,5 кВт.

При ходьбе человек совершает работу, так как при этом энер­гия затрачивается на периодическое небольшое поднятие тела и на ускорение и замедление конечностей, главным образом ног.

Человек массой 75 кг при ходьбе со скоростью 5 км/ч разви­вает мощность около 60 Вт. С возрастанием скорости эта мощ­ность быстро увеличивается, достигая 200 Вт при скорости 7 км/ч. При езде на велосипеде положение центра масс человека изме­няется гораздо меньше, чем при ходьбе, а ускорение ног тоже меньше. Поэтому мощность, затрачиваемая при езде на велосипе­де, значительно меньше: 30 Вт при скорости 9 км/ч, 120 Вт при 18 км/ч.

Работа обращается в нуль, если перемещения нет. Поэтому, когда груз находится на опоре или подставке или подвешен на нити, сила тяжести не совершает работы. Однако каждому из нас знакома усталость мышц руки и плеча, если держать неподвижно на вытянутой руке гирю или ган­тель. Точно так же устают мышцы спины и поясничной области, если Сидящему человеку поместить на спину груз. В обоих случаях груз неподвижен и работы нет. Уста­лость же свидетельствует о том, что мышцы совершают работу. Та­кую работу называют статиче­ской работой мышц.

Статики (неподвижности) такой, как ее понимают в механике, на самом деле нет. Происходят очень мелкие и частые, незамет­ные глазу сокращения и расслабления, и при этом совершается работа против сил тяжести. Таким образом, статическая работа •человека на самом деле является обычной динамической работой.

Для измерения работы человека применяют приборы, назы­ваемые эргометрами. Соответствующий раздел измерительной , техники называется эргометрией.

Примером эргометра служит тормозной велосипед (велоэргометр; рис. 4.1). Через обод вращающегося колеса перекинута стальная лента 2. Сила трения между лентой и ободом колеса из­меряется динамометром 3. Вся работа испытуемого затрачивается на преодоление силы трения (остальными видами работ пренебрегаем). Умножив длину окружности колеса на силу трения, най­дем работу, совершаемую при каждом обороте, а зная число оборотов и время испытания, определим полную работу и среднюю мощность.