Напряженностьи потенциал — характеристики электрического поля

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, равная отношению силы, действующей в данной точке поля на точечный заряд, к этому заряду

Напряженность — вектор, направление которого совпадает с направлением силы, действующей в данной точке поля на поло­жительный точечный заряд.

Напряженность электрического поля в произвольных точках аналитически задается следующими тремя уравнениями:

где Е_x, Е_y и Е_z — проекции вектора напряженности на соответст­вующие координатные оси, введенные для описания поля. Элект­рическое поле графически удобно представлять силовыми ли­ниями, касательные к которым совпадают с направлением векто­ра напряженности в соответствующих точках поля.

Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число ли­ний, проходящих сквозь единичную площадку, перпендикуляр­ную им, было пропорционально значению напряженности элект­рического поля в месте расположения площадки.

Представим себе, что заряд q перемещается в электрическом по­ле дотраектории (рис. 12.1). Силы поля при этом совершают работу, которую можно выразить через напряженность [см. (12.1)]:

где dl — элементарное перемещение; Е_l— проекция вектора Е на направление dl. Покажем, что работа сил электростатического поля (электрического поля неподвижных зарядов) не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в этом поле. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными. Пусть заряд q переместился по замкнутой траектории 1-а-2-б-1 (рис. 12.1). Так как поле электростатическое, то положение заря­дов, создающих поле, при этом не изменилось, и потенциальная энергия, зависящая от их взаимного положения, осталась преж­ней. Поэтому работа сил электростатического поля по переме­щению заряда по замкнутой траектории равнанулю:

Так как силы, действующие на заряд q, определяются его поло­жением в поле, то ражения для работ сил поля при перемеще­нии заряда по одной и той же траектории в противоположных на­правлениях отличаются только знаком:

Подстановка этого выраже­ния в(12.4) дает

Равенство (12.5) означает, что работа сил электростатиче­ского поля не зависит от траек­тории заряда, а зависит от величины заряда, положения начальной и конечной точек траекто­рии и от напряженности поля.

На основании этого свойства вводят понятие разности потенциа­лов Δφ, которая для электростатического поля равна напряжению U.

Разностью потенциалов между точками поля называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемеще­нии точечного положительного заряда из одной точки поля в другую, к этому заряду:

где φ₁ и ф₂ — потенциалы в точках 1 и 2 электрического поля, U₁₂ — напряжение между этими точками. Разность потенциалов между двумя точками зависит от положения выбранных точек и от на­пряженности электрического поля, как следует из (12.6).

Наряду с разностью потенциалов в качестве характеристики электрического поля используют понятие потенциала. Однако для данной точки поля оно имеет однозначный смысл только в том случае, если задан потенциал какой-либо произвольной точки поля. На практике принято считать, что потенциал проводников, соединенных с землей, или потенциал шасси, на котором смонти­ровано радиоустройство (и в том и в другом случаях говорят о за­землении), равны нулю. В теоретических задачах обычно считают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек.

Вычислим потенциал поля точечного заряда,расположенного в однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проница­емостью ε (рис. 12.2). Пусть точки 1 и 2 находятся на одной силовой линии на расстояниях соответственно r₁ и r₂ от источника поля — заряда Q. Проинтегрируем выражение (12.6) по отрезку 1—2, учи­тывая, что в соответствии с законом Кулона (для точечного заряда)

где ε₀ ~ 8,85 • 10 ^-12 Ф/м — электриче­ская постоянная.

Предположим, что потенциал в бесконечно удаленной точке равную нулю: φ₂ → 0 при r₂ →∞. Тогда из (12.7) получаем

или в более общем виде

Могли быть и другие предположения относительно значения потенциала в бесконечно удаленной точке, однако сделанное выше допущение привело к наиболее простому выражению (12.8), по ко­торому обычно и вычисляют потенциал поля точечного заряда.

Потенциалы электрического поля в различных точках наглядно можно представить в виде поверхностей одинакового потенци­ала (эквипотенциальных поверхностей). Обычно проводят экви­потенциальные поверхности, отличающиеся от соседних на одно и то же значение потенциала. На рис. 12.3 изображены эквипотенци­альные поверхности (штриховые линии) и силовые линии (сплош­ные) поля двух разноименных одинаковых точечных зарядов.

Аналитически зависимость электрического потенциала от ко­ординат в разных точках поля задается некоторой функцией координат

которая в частных случаях может иметь, например, вид (12.8). Так как напряженность электрического поля определяется че­рез силу, а потенциал — через работу сил поля, то эти характерис­тики связаны между собой анало­гично силе и работе. Интегральная зависимость напряженности поля и потенциала дается формулой (12.6) или выражением

Здесь с учетом знака «—» изменены пределы интегрирования: верхне­му пределу интеграла соответству­ет в левой части уменьшаемое φ₂, нижнему — вычитаемое φ₁.

Получим дифференциальную связь между Е и φ. Предполо­жим, что точки 2 и 1 расположены сколь угодно близко, тогда из (12.10)получим

Производная от потенциала по направлению dφ/dl характери­зует отношение приращения потенциала dφ к соответствующему расстоянию dl в некотором направлении l; E_l — проекция вектора Е на это направление.

Смысл формулы (12.11) виден из рис. 12.4. В точке 0 проведен вектор Е, который спроецирован на направления l_1, l₂ и 1₃. Эти проекции по модулю равны производным от потенциала по соот­ветствующим направлениям: |dφ/dl₁|, |dφ/dl₂|, |dφ/dl₃|. Наиболь­шее изменение потенциала, приходящееся на единицу длины, происходит вдоль прямой, совпадающей с Е; знак «минус» в (12.Назначает, что потенциал быстрее всего убывает в направ­лении Е и быстрее всего возрастает в направлении - Е. Можно сказать, что вектор Е равен взятому с обратным знаком градиенту потенциала:

В направлении, перпендикулярном силовой линии, имеем

Из этого следует, что силовые линии и эквипотенциальные по­верхности взаимно перпендикулярны.Если поле однородно, напри­мер поле плоского конденсатора, то из формулы (12.6) находим, что для двух точек, расположенных на одной силовой линии на расстоянии l,

Учитывая (12.11)и (12.9),можно записать проекции вектора напря­женности электрического поля по трем координатным осям:

Тогда напряженность определяют по формуле

Если поле создано точечными зарядами, то напряженность в некоторой точке можно вычислить как векторную сумму напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом от­дельно (принцип суперпозиции):

а электрический потенциал в этой точке — как алгебраическую сумму потенциалов от каждого заряда, предполагая, что потенци­ал бесконечно удаленных точек равен нулю:

Существующие электроизмерительные приборы рассчитаны на измерение разности потенциалов, а не напряженности. Ее можно найти из этих измерений, используя связь E и φ.

Электрический диполь

Электрическим диполем (диполем) называют систему, со­стоящую из двух равных, но противоположных по знаку то­чечных электрических зарядов, расположенных на некото­ром расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис. 12.5) является его электрический момент (дипольный момент) — вектор, рав­ный произведению заряда на плечо диполя I, направленный от от­рицательного заряда к положительному:

Единицей электрического момента диполя является кулон-метр.

Поместим диполь в однородное электрическое поле напряжен­ностью Е (рис. 12.6).

На каждый из зарядов диполя действуют силы F₊ = qE и F_ = = -qE, эти силы равны по модулю, противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

По векторной форме

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует момент силы, зависящий от электрического момента и ориентации диполя, а также напряженности поля.

Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии (рис. 12.7). На него действуют силы

s где Е₊иЕ_ — напряженности поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис. 12.7 Е_ > Е₊).

Значение равнодействующей этих сил

Введем отношение (Е_ — Е₊)/1, характеризующее среднее измене­ние напряженности, приходящееся на единицу длины плеча диполя.Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать

где dE/dх — производная от напряженности электрического поля понаправлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12.23)следует, что

тогда формулу (12.22) можно представить в виде

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического Момента и степени неоднородности поля dE/dx. Если диполь ориен­тирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой ли­нии, то на него дополнительно действует еще и момент силы. Таким образом, свободный диполь ориентируется вдоль силовых линий и втягивается в область больших значений напряженности поля.

1. 1. 1.

Многие медицинские приборы выдают информацию на регистрирующем устройстве (например, электрокардиограф), поэтому следует учитывать погрешности, характерные для этой формы за­писи (см. § 17.5).

До сих пор рассматривался диполь, помещенный в электрическое по­ле, однако сам диполь также является источником поля. На основании (12.18) запишем выражение для электрического потенциала поля, со­зданного диполем, в некоторой точке А, удаленной от зарядов соответ­ственно на расстояния r и r₁ (рис. 12.8):

где а — угол между вектором р и направлением от диполя на точку А (рис. 12.8). Используя (12.26), из (12.25) получаем

Рассмотрим некоторые приложения формулы (12.27).

Пусть диполь, электрический момент которого равен р, находится в точке О (рис. 12.9), а его плечо мало. Используя (12.27), запишем раз­ность потенциалов двух точек поля А и В, равноотстоящих от диполя (углы а_А и а_в показаны на рис. 12.9):

Угол между р и прямой АВ или ОС обозначим α, /AOB = β углы а_А = а + β/2 + α/2, а_в = а - β/2 + α/2.

Учитывая эти равенства, выполним тригонометрические преобразова­ния:

Подставляя (12.29) в (12.28), имеем

Как видно из (12.30), разность потенциалов двух точек поля диполя, равноотстоящих от него (при данных е и г), зависит от синуса половинно­го угла, под которым видны эти точки от диполя (рис. 12.10), и проекции электрического момента диполя р cos α на прямую, соединяющую эти точки (рис. 12.11). Эти замечания справедливы в рамках тех ограниче­ний, которые были сделаны при выводе формулы (12.27).

Пусть диполь, создающий электрическое поле, находится в центре равностороннего треугольника ABC (рис. 12.12). Тогда на основании (12.30) можно получить, что напряжения на сторонах этого треугольника относятся как проекции вектора р на его стороны:

Понятие о мультиполе

Диполь является частным случаем системы электрических заря­дов, обладающей определенной симметрией. Можно указать еще примеры симметричных систем зарядов (рис. 12.13). Общее название подобных распределений зарядов — электрические мультиполи.

Они бывают разных порядков (l = 0, 1, 2 и т. д.), число зарядов мультиполя определяется выра­жением 2¹. Так, мультиполем нулевого порядка, (2° = 1) является одиночный точечный заряд (рис. 12.13, а), мультиполем первого порядка (2¹ = 2) — диполь, мультиполем второго порядка (2² = 4) — квадруполь (рис. 12.13, б), мульти­полем третьего порядка (2³ = 8) — октуполь (рис. 12.13, в) и т. д.

Потенциал поля мультиполя убывает на значи­тельных расстояниях r от него пропорционально 1/r^{l + 1}. Так, для заряда (l = 0) φ ~ 1/r, диполя (1 = 1) φ ~ 1/г², для квадруполя (l = 2) φ ~1/г³ и т. д.

Если заряд распределен в некоторой области пространства, то потенциал электрического поля в любой точке А вне системы за­рядов можно представить в виде некоторого приближенного ряда:

Здесь г расстояние от системы зарядов до точки А с потенциалом φ; f₁, f_2, f_{3, …}— некоторые функции, зависящие от вида мультиполя, его зарядов и от направления на точку А. Первое слагаемое (12.32) соответствует монополю, второе — диполю, третье — квадруполю и т. д. В случае нейтральной системы зарядов первое слагаемое равно нулю. Если r так велико, что можно пренебречь всеми членами ряда, начиная с третьего, тогда из (12.32) получа­ем потенциал поля диполя [см. (12.27)].