Биноминальное распределение и игровые задачи

На практике часто нужно вычислять отдельные биноминальные вероятности и суммировать их далее по определенному множеству целых чисел. Это достаточно трудоемкая процедура (представьте, что n и m – большие числа). В литературе существуют обширные таблицы.

В нынешней реализации вероятностного калькулятора в Statistica нет биноминального распределения, однако биноминальное распределение реализовано в языке Statistica Basic, и им легко воспользоваться.

Создайте пустую электронную таблицу Spreadsheet.sta
из 20 строк.

Дважды щелкните на имени переменной var1 и откройте диалоговое окно спецификации переменной var1.

В нижней части окна в поле Long name запишите формулу, как показано на рисунке 1.1.

Нажмите кнопку OK в правом верхнем углу окна (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Задание формулы вычисления биноминальных вероятностей

Согласно этой формуле программа вычислит вероятности успеха и занесет их в таблицу в значения первой переменной. Теперь таблица примет вид, представленный на рисунке 1.2 а.

В данной таблице вероятность успеха – выпадения герба –
равна 0,3. Из таблицы вы видите, что вероятность выпадения ровноодного герба в 20 бросаниях – 0,006839, вероятность выпадения ровнодвух гербов в 20 бросаниях – 0,027846 и т. д.

Вероятность успеха легко изменить, сделав ее равной, например, 0,5. Это означает, что бросается симметричная монета и вероятность успеха равна вероятности неудачи (вероятность выпадения герба равна вероятности выпадения цифры).

Дважды щелкните на имени переменной var1и откройте окно спецификации переменной var1.

В нижней части окна в поле Long name измените формулу, вместо 0,3 запишите 0,5.

Нажмите кнопку OK в правом верхнем углу. Программа вычислит новые биноминальные вероятности и занесет их в электронную таблицу (рисунок 1.2 б).

а) б)

Рисунок 1.2 – Электронная таблица с биноминальными вероятностями:

а) – вероятность успеха 0,3, число испытаний 20;
б) – вероятность успеха 0,5, число испытаний 20

Заметьте, что максимальная вероятность в этой таблице приходится на значении 10 , что и понятно из соображений симметрии, а таблице 1.2 а) – на значении 6 ( ).

Если вы забудете функцию, которая вычисляет биноминальные вероятности в системе, то воспользуйтесь средством Function Browser.

Нажав кнопку Functions в окне спецификации переменной, вы откроете диалоговое окно Function Browser, в котором легко выбрать нужную функцию биноминального распределения.

Для графического отображения результатов расчетов из модуля Statistica выберите Graphs_2DGraphs_Bar/Column Plots (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Меню запуска графика

Шаг 1. Выполните установки, как показано на рисунке 1.4.

Шаг 2. Выберите столбец с данными, нажав кнопку Variables. Нажмите OK.

Рисунок 1.4 – Окно выбора графика

В появившемся окне представлен график биноминального распределения р = 0,3, число испытаний n = 20 (рисунок 1.5).

Аналогичную процедуру выполните для биноминального распределения р = 0,5, число испытаний n = 20 (рисунок 1.6).

Отредактируйте рисунки.

Рисунок 1.5 – График биноминального распределения р = 0,3, n = 20

Рисунок 1.6 – График биноминального распределения р = 0,5, n = 20

Сравнение двух полученных распределений свидетельствует об асимметрии в первом варианте. При существенном увеличении числа испытаний асимметрия нивелируется.

Задача шевалье де Мере

Классическим и вместе с тем забавным является пример шевалье де Мере, когда ставший известным в веках, благодаря своей любознательности азартный игрок спросил себя: стоит ему ставить на выпадение двух шестерок одновременно при бросании двух костей 24 раза или нет? Его собственные вычисления показали, что стоит, так как вероятность данного события при 24 бросаниях костей больше 1/2. Как же он удивился, когда с течением времени обнаружил, что постоянно оказывается в проигрыше! Де Мере во всем обвинил статистику. И только знаменитый Паскаль указал ему на заблуждение: оказывается, вероятность данного события 0,49, следовательно, в длинной серии игр, состоящих из 24 подбрасываний двух костей, выигрыш происходит лишь в 49%, а не более чем в 50% играх, как рассчитывал де Мере. Шевалье обычно играл всю ночь, и для него было важно, чтобы более чем в половине игр он был в выигрыше.

Можно «мгновенно» решить эту задачу с помощью самых простых средств Statistica.

Создайте рабочий файл Spreadsheet.sta. Дважды щелкните на имени переменной и откройте окно спецификации переменной var1.

В нижней части окна в поле Long nameзапишите формулу, как показано на рисунок 1.7 а. Число испытаний в задаче шевалье 24. Вероятность успеха равна 1/36, потому что с такой вероятностью при бросании двух костей выпадают шестерки.

Нажмите кнопку OK в правом верхнем углу. Программа вычислит биноминальные вероятности. Результат представлен на рисунке 1.7 б.

В первом столбце этой таблицы даны последовательно вероятности выпадения двух шестерок один раз, два раза, три раза и т. д.

Шевалье де Мере спросил, стоит ли ему ставить на выпадение двух шестерок одновременно при бросании двух костей 24 раза или нет?

Нужно вычислить вероятность выпадения, по крайней мере, одной пары шестерок. Следовательно, все эти вероятности нужно сложить. Сделав это, вы получите ответ к классической задаче. Вероятность выпадения, по крайней мере, одной пары шестерок при 24 бросаниях пары костей равна 0,49140 (сумма биноминальных вероятностей на рисунке 1.7 б).

Таким образом, в длинной серии игр, состоящих из 24 бросаний пары костей, игрок, ставящий на выпадение двух шестерок одновременно, в среднем устойчиво проигрывает.

а) б)
Рисунок 1.7 – Вероятности выпадения шестерок при 24 бросаниях двух костей: а) задание формулы; б) результат

Но вот вопрос: как изменить условия игры, чтобы находиться в выигрыше?

Будет ли выигрыш, если игра состоит из 25 бросаний, то есть ставка на выпадение пары шестерок в 25 бросаниях.

Итак, предположим, что шевалье де Мере изменил условия игры и стал ставить на выпадение пары шестерок в 25 бросаниях. Оказывается, увеличение числа бросков всего на 1 делает игру уже выигрышной.

В этом можно убедиться, по-прежнему работая с файлом Spreadsheet.sta.

Повторите все действия предыдущей задачи с переменной var2. Дважды щелкните на имени переменной и откройте окно спецификации переменной var2 (рисунок 1.8 а).

Заметьте, единственное отличие этой формулы от формулы в исходной задаче шевалье в том, что сделана ставка на число испытаний 25 вместо 24.

Нажмите кнопку OK в правом верхнем углу. Программа вычислит новые биноминальные вероятности и занесет их в значения переменной var2.

Теперь файл Spreadsheet.sta будет выглядеть следующим образом (рисунок 1.8 б).

а) б)
Рисунок 1.8 – Вероятности выпадения шестерок при 25 бросаниях двух костей: а) задание формулы; б) результат

Складывая значения в столбце, легко найти, что вероятность выпадения, по крайней мере, одной пары шестерок в 25 подбрасываниях пары костей больше 0,5.

Если бы шевалье де Мере играл в такую игру, он находился бы в среднем в выигрыше, так как более чем в 50% игр, состоящих из 25 подбрасываний пары костей, по крайней мере, один раз выпадали бы шестерки.

Распределение редких событий (Пуассона)

Создайте рабочий файл Spreadsheet.sta. (10 колонок и 30 строк). Дважды щелкните на имени переменной и откройте окно спецификации переменной var1.

В нижней части окна в поле Long nameзапишите формулу, как показано на рисунке 1.9. Положим, что вероятность события мала и равна р = 0,001, и поэтому для получения полноценного распределения редких событий число испытаний должно быть достаточно велико. В данном случае достаточно 10000 испытаний.

Результат приведен на рисунке 1.10.

Рисунок 1.9 – Пусковая панель

Рисунок 1.10 – Результат при вероятности события р = 0,001
в 10000 испытаниях

Из таблицы (рисунок 1.10) видно, что максимальная биноминальная вероятность находится на значении 10 .

Для графического отображения результатов расчетов выполните аналогичные процедуры, описанные для биноминального распределения (рисунки 1.3 и 1.4).

После выполнения указанных действий и последующего редактирования будет получен график распределения Пуассона
(рисунок 1.11).

Рисунок 1.11 – График распределения Пуассона

Рисунок 1.11 иллюстрирует, что при достаточно большом числе испытаний биноминальное распределение даже при малой вероятности ожидаемого события становится практически симметричным.

Задания для выполнения

С помощью вероятностного калькулятора вычислите отдельные биноминальные вероятности при различных значениях вероятности успеха (таблица 1.1).

При задании формулы вычисления биноминальных вероятностей определите число испытаний (n) таким образом, чтобы получить полноценное биноминальное распределение для каждого варианта.

Выполните графическое отображение результатов расчетов.

Дайте объяснение полученным результатам.

Таблица 1.1 – Задания для выполнения расчетов

№ варианта	Процедура	Вероятность успеха
	Бросание монеты	0,05
	Бросание монеты	0,1
	Бросание монеты	0,25
	Бросание монеты	0,75
	Бросание монеты	0,9
	Бросание монеты	0,99
	Бросание монеты	0,0004
	Бросание монеты	0,00005
	Бросание 1 кубика	Выпадение больше или равно 4 очкам
	Бросание 1 кубика	Выпадение меньше 4 очков
	Бросание 2 кубиков	Выпадение больше или равно 8 очкам
	Бросание 2 кубиков	Выпадение меньше 5 очков

Лабораторная работа 2
Основные модели теоретических распределений
(Statistica 6)

Цель работы: научиться работе с вероятностным калькулятором в программном продукте Statistica 6 на примерах нормального и логарифмически нормального распределений.