Общие свойства средних величин

Для правильного использования средних величин необходимо знать свойства этих показателей: срединное расположение, абстрактность и единство суммарного действия.

По своему численному значению все средние величины занимают промежуточное положение между минимальным и максимальным значениями признака. При этом наименьшую величину имеет средняя гармоническая (H), а наибольшую – средняя квадратическая (S), что можно представить следующей схемой:

Средняя признака показывает, какую величину имел бы каждый из представителей изучаемой группы, если бы все они были одинаковыми и суммарное их действие было такое же, как и фактических неусредненных значений этой группы. При использовании средних величин предполагается, что пока они применяются, разнородная группа заменена однородной группой, в которой все значения признака одинаковы и равны средней величине.

Например, если имеется пять значений признака: 1; 4; 5; 5; 5 со средней величиной = 4, то при использовании этой средней предполагается, что разнородная группа заменена на однородную с одинаковыми значениями: 4; 4; 4; 4; 4. Эта особенность средних величин лежит в основе таких обычных производственных выражений, как «от каждой коровы получено по 3000 л молока», «с каждого гектара получено по 500 ц свеклы», «с каждого улья получено по 80 кг меда», «при откорме получено по 100 кг привеса на каждую голову» и т. п. Коровы дают, конечно, различные удои, на разных участках получен разный урожай и т. д. И все же для производственной характеристики хозяйства и, особенно, для плановых расчетов оказалось удобным условно принять, что все коровы дали или будут давать одинаковый удой, равный средней величине этого признака для данного стада и года («от каждой коровы»), или, что с каждого гектара получен один и тот же урожай, равный среднему урожаю с общей площади («с каждого гектара»).

Заменить разнородную группу однородной можно только путем отвлечения от тех различий, которые существуют в действительности. Только абстрагируясь от имеющихся индивидуальных разнообразных значений, можно дать требуемую характеристику группы одним числом – средней величиной признака. В этом смысле всякая средняя величина есть, прежде всего, абстрактная величина, которая часто в действительности не существует, а иногда и не может существовать.

Если средний вес особей какого-нибудь вида в определенных условиях равен 40,57 кг, то существование такого экземпляра возможно, но крайне мала вероятность того, что какая-нибудь определенная особь будет весить точно 40,57 кг.

Если в совхозе среднее количество деловых ягнят, полученных на одну овцематку, равнялось 1,7 ягненка, то такое число живых ягнят вообще не может существовать в действительности, тем не менее, эта средняя имеет вполне определенное производственное значение, например при сравнении этого совхоза с другим, где аналогичная средняя равна 1,2.

Абстрактность средних величин вызывает необходимость при вычислении их определять, от какого разнообразия следует отвлечься в данном случае. Самая полная абстракция получается в тех случаях, когда средняя рассчитывается для всех особей изучаемой совокупности. Если требуется учитывать какое–нибудь одно или несколько условий, например пол, возраст особей, сезон года, ареал распространения, физиологическое состояние, принадлежность к опытным и контрольным группам, происхождение от определенных родителей и т. д., то необходимо в той ил иной степени освобождаться от полной абстракции и определять среднюю величину для отдельных частных групп. Чем больше таких частных групп и чем они мельче, тем менее абстрактными становятся средние величины.

Не всякое выравнивание различий в группе может привести к правильной средней величине. Вычисление средних величин необходимо вести таким образом, чтобы суммарное действие выровненных значений признака было бы равно суммарному действию первоначальных неусредненных значений. Например, если четыре взрослых особи какой-нибудь промысловой птицы имели массу 2, 3, 3, 4 кг, то средняя масса этих птиц . Суммарная масса четырех усредненных значений 3+3+3+3 = 12 кг. Такая же суммарная масса имеется и в действительности: 2+3+3+4 = 12 кг. В данном случае выбор средней величины – средней арифметической сделан правильно. Но так бывает не всегда. Например, требуется рассчитать среднегодовой прирост популяции какого-нибудь вида за два года, если известно, что за первый год прирост составил 20%, а за второй – 60% (от начала второго года). Используя способ средней арифметической, получаем:

.

В данном случае применение этой средней не будет правильным, так как два усредненных значения в своем суммарном действии не дадут того же результата, какой дали два фактических неусредненных значения. Фактический общий суммарный прирост популяции за два года определяется следующим образом.

К концу первого года популяция составляет:

;

концу второго года ;

Прирост за два года равен .

Если же принять за средний прирост 40%, то к концу первого года популяция составит: ;

к концу второго года: ;

а прирост за два года: .

Ошибка в данном случае заключалась в неправильном выборе средней величины: взята средняя арифметическая, а для вычисления среднего прироста надо пользоваться средней геометрической.

Если использовать среднюю геометрическую, то средний прирост определится следующим образом:

.

При этом суммарный результат будет равен фактическому:

;

;

Прирост за два года составляет

Единство суммарного действия служит проверкой правильности выбора той или иной средней. Если суммарный результат усредненных значений не равен результату, полученному по первоначальным фактическим значениям, это значит, что или средняя выбрана неправильно, или вычисления проведены с ошибками.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая, обладая общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами:

, (6.2)

т. е. сумма центральных отклонений равна нулю.

Например, для значений 1; 4; 5; 5; 5 средняя арифметическая
μ = 4.

Центральные отклонения будут следующие:

1–4 = –3, 4–4 = 0, 5–4 = +1, 5–4 = +1, 5–4 = +1,

а сумма центральных отклонений: –3+0+1+1+1 = 0.

Это свойство средней арифметической используется для проверки правильности ее расчета: если оказалась неравной нулю, значит, допущена ошибка в вычислениях.

Если к каждому значению признака прибавить постоянную величину a (или ее вычесть), то средняя арифметическая из измененных вариантов будет равна средней арифметической из первоначальных вариантов, увеличенных (или уменьшенных) на величину a. Например, если в разбираемом примере к каждой из первоначальных вариантов 1; 4; 5; 5; 5 прибавить 3, то для полученных величин 4; 7; 8; 8; 8 среднее μ = 7 на 3 больше первоначальной средней μ = 4. Если в этой группе из каждого значения вычесть, например, 1, то для уменьшенных значений 0; 3; 4; 4; 4 средняя μ = 3 будет на 1 меньше первоначальной средней μ = 4.

, (6.3)

Таким образом, если каждое значение умножить на постоянное число a, то средняя арифметическая из измененных вариантов будет точно в a раз больше первоначальной средней арифметической. Если в разбираемом примере все значения 1; 4; 5; 5; 5 умножить на 10, то для полученных увеличенных вариантов (10; 40; 50; 50; 50) средняя арифметическая μ = 40 ровно в 10 раз больше той, которая получена для неувеличенных вариантов (μ= 4).

Если a равно дробному числу, то каждое значение, а также и каждая средняя будут уменьшены во столько же раз. Если в разбираемом примере все значения умножить на 1/5, то средняя арифметическая из уменьшенных вариантов (0,2; 0,8; 1; 1; 1) μ = 0,8 в 5 раз меньше средней арифметической, полученной для неизменных значений (μ = 4).

Пример

Три параллельных определения содержания гемоглобина в крови у одного и того же животного в одно и то же время, проведенные тремя разными лаборантами, дали такие результаты: 75; 80; 70. Наиболее вероятное содержание будет равно средней арифметической из параллельных проб:

Пример

На восьми парных опытных делянках получены следующие отклонения урожая нового сорта кукурузы от стандарта (в пересчете на гектар): +6; +3; –2; –3; +5; 0; –3; +2 ц. Среднее отклонение урожая нового сорта, полученное в проведенном сортоиспытании, будет равно средней арифметической из отдельных разностей:

В некоторых случаях при вычислении средней арифметической общая сумма значений признака делится не на число вариантов, а на другие величины. Так бывает, например, при расчете среднего удоя на одну фуражную корову.

Среднюю из относительных величин можно рассчитывать двумя способами: как среднее отношение и как отношение средних (отношение сумм).

Пример

Четыре повторных посева одного сорта сахарной свеклы при анализах на сахаристость дали следующее содержание сахара (в %): 16; 14; 13; 17. Средняя сахаристость сорта, полученная в данном испытании:

.

В данном случае получено среднее отношение.

Пример

На мясокомбинате за сутки переработано 300 голов крупного рогатого скота. Требуется определить фактический средний выход мяса.

Для этой цели суммарный вес всех туш (в кг) относят к сумме приемных живых весов переработанной группы скота. Оказалось, что первая сумма , вторая сумма . Средний выход в данном случае рассчитывается как отношение сумм:

.