Передач с эвольвентным профилем зубьев

Межосевое расстояние при (см. рис. 31) или .

Приняв суммарное число зубьев найдем .

В прямозубой передаче ширина венца равна длине зуба: , где — коэффициент длины зуба (ширины венца) по модулю (для цилин­дрических прямозубых передач); выбирается по табл. 2.

Таблица 4. Значение коэффициента

, не более	HB	Характеристика конструкции
45-30 30-20	До 350 Свыше 350	Высоконагруженные точные передачи. Валы, опоры и корпуса повышенной жесткости
30-25 20-15 15-10	До 350 Свыше 350	Обычные передачи редукторного типа в отдельном кор­пусе с достаточно жесткими валами и опорами. Передачи низкой точности с консольными валами

Таблица 5.Геометрические параметры прямозубой цилиндрической передачи

Параметр, обозначение	Расчетные формулы
Модуль т
Диаметр вершин зубьев da
Делительный диаметр d
Диаметр впадин зубьев df
Высота зуба h
Высота головки зуба ha
Высота ножки зуба hf
Окружная толщина зуба
Окружная толщина впадин зубьев
Радиальный зазор с
Межосевое расстояние
Окружной шаг рt
Длина зуба (ширина венца)

Определение числа зубьев шестерни и колеса по суммарному числу зубьев передачи и известному передаточному числу. Если известно и , то число зубьев шестерни и колеса можно определить по формулам:

; ,

где — число зубьев шестерни; — число зубьев колеса; — суммарное число зубьев; и — передаточное число.

Рис. 32 Рис. 33

Вопрос 10. Расчет зубьев цилиндрической прямозубой передачи на изгиб

По международному стандарту ISO / DIS 6336: (Ausgabe 1986) по расчету зубчатых передач предусмотрены четыре метода расчета зубчатых передач.

Метод А – экспериментально – исследовательский требует точных измерений, обширного и трудоёмкого математического анализа или обоснования на основе надежного эксплуатационного эксперимента на подобных приводах. При этом предел выносливости и эквивалентное окружное усилие или коэффициент внешней динамики – К_А определяется из полученного измерением коллектива нагрузок с использованием гипотез накопления повреждений. Поскольку величина К_А может принять весьма большие значения от 1 до 2 и более, то применяемый метод расчета и величина К_А должны согласовываться между изготовителем и покупателем редуктора. Как видим, метод очень дорог и применяется крайне редко.

Метод В - экспериментально- теоретический и производится на основе исследования предела выносливости зубчатого колеса – представителя, считается целесообразным для зубчатых передач массового производства.

Метод С - приближенный, при этом аналитический расчет производится на основе комплексных данных стандарта или справочной технической литературы.

Метод D – упрощенный, примерно соответствует приводимому расчету данного раздела.

Необходимо заметить, что метод расчета зубчатых передач по ГОСТу 21354-87 занимает промежуточное положение между методами С и D. В методе С коэффициент формы зуба при расчете на изгиб рассматривается как произведение двух переменных

Ниже излагается упрощенный метод расчета зуба на изгиб, осно­ванный на положениях сопротивления материалов.

На рис. 34 показаны схема зацепления двух зубьев в полюсе и силы, действующие на зубья колес со стороны шестерни; трение не учитывается. Нормальная сила F_nраскладывается на две составляющие: окружную силу F_t и радиальную или распорную — F_r.

Рис. 34. Усилия в зацеплении прямозубой цилиндрической передачи

При выводе формул принимают следующие упрощения и допущения: зуб рассматривают как консольную балку прямоугольного сечения, работаю­щую на изгиб и сжатие; вся нагрузка, действующая в зацеплении, переда­ется одной парой зубьев и приложена к их вершинам; нагрузка равномерно распределена по длине зуба .

На рис.35 показан профиль балки равного сопротивления (s — тол­щина зуба в опасном сечении; l — плечо изгибающей силы; — длина зуба; F_n — нормальная сила, действующая на зуб).

Рис.35. Схема расчета зубьев на изгиб

Определим силы в опасном сечении корня зуба. Разложим силу F_n в точке А на две составляющие: F_t' и F'_r, условно принимаем, что сила F_n приложена только к одному зубу (перекрытием пренебрегаем), а сила F_t равна окружной силе на начальной окружности.

Сила F_t' изгибает зуб, а сила F'_r сжимает его. Из рис. 35 находим

;

где — угол направления нормальной силы F_n, приложенной у вершины, который несколько больше угла зацепления ; — нормаль­ная сила.

Исходя из изложенного выше, за расчетное напряжение принима­ют напряжения на растянутой стороне зуба:

(1)

Для опасного сечения ВС условие прочности

(2)

где — напряжение изгиба в опасном сечении корня зуба; W — осевой момент сопротивления; — площадь сечения ножки зуба.

Выразим I и s в долях модуля зубьев: l= km; s = cm, где к и с — коэффи­циенты, зависящие от формы зуба, т.е. от угла и числа зубьев Z.

Тогда изгибающий момент в опасном сечении

осевой момент сопротивления прямоугольного сечения зуба

(3)

Подставим в формулу (2) входящие в него параметры М_И и W, введем коэффициенты расчетной нагрузки (табл. 6), (табл. 7) и теоре­тический коэффициент концентрации напряжений К_Т.

В результате получим окончательную формулу проверочного расчета прямозубой передачи на усталость при изгибе

(4)

где Y_F — коэффициент учитывающий форму зуба и концентрацию напря­жений (табл. 8).

Выведем формулу проверочного расчета прямозубых передач на уста­лость при изгибе через вращающий момент Т₂..

С учетом того, что ; формула проверочного расчета (4) примет вид

(5)

где , ,МПа; m, мм; T₂ — вращающий момент на колесе, Нмм; Z₁ — число зубьев шестерни; — коэффициент длины зуба (ширины венца) по делительному диа­метру (табл. 9).

Из формул (5) и (6) получаем формулы проектировочного рас­чета на изгиб

(6)

(7)

(8)

где K_m = 1,4 для прямозубых колес.

В формулу (8) подставляют меньшее из двух отношений ,вы­численных для шестерни и колеса.

Выбор допускаемых напряжений изгиба. Выше отмечалось, что при­чиной поломки зубьев, как правило, является усталость материала под дейст­вием повторных переменных изгибающих напряжений. Поэтому значения допускаемых напряжений должны быть определены исходя из предела вы­носливости зубьев. Допускаемое напряжение изгиба определяют по формуле

, (9)

где — базовый предел выносливости зубьев при отнулевом цикле изменения напряжений (табл. 10); S_F — коэффициент безопасности (S_F = 1,7 ÷ 2,2; S_F> 2,2 — для литых заготовок); Y_R — коэффициент, учиты­вающий шероховатость поверхности зуба (Y_R= 1,05 ÷ 1,2 — при полирова­нии, в остальных случаях Y_R= 1); K_FC — коэффициент, учитывающий влия­ние двустороннего приложения нагрузки (K_FC= 1,0 — при одностороннем приложении нагрузки, изгибающей зуб; K_FC= 0,65 — для нормализованных сталей, K_FC=0,75 — для закаленных сталей с твердостью свыше HRC45; K_FC = 0,9 — для азотированных сталей); K_FL — коэффициент долговечности.

В зависимости от твердости активных поверхностей зубьев коэф­фициент долговечности Y_N определяется по следующим формулам:

K_FL = при НВ≤ 350, (10)

K_FL = при НВ ≥ 350, (11)

где — число циклов соответствующее точке перелома кривой усталости; N_F — расчетная циклическая долговечность;

, (12)

где — частота вращения (угловая скорость) шестерни или колеса, об/мин (рад/с); с — число колес, находящихся в зацеплении с рассчиты­ваемым колесом; — продолжительность работы зубчатой передачи за рас­четный срок службы, ч;

, (13)

где L_Г — срок службы передачи, год; С — число смен; t_c — продолжитель­ность смены, ч; k_Г — коэффициент годового использования привода; k_с — коэффициент использования привода в смене.

Формула (12) приемлема для определения расчетной циклической долговечности только при постоянном режиме нагрузки.

При выборе материала для зубчатой пары с целью сокращения номенк­латуры, как правило, назначают одинаковые материалы. Разность значений твердостей для шестерни и колеса достигается их термической обработкой. Получение нужных механических характеристик зависит не только от тем­пературного режима обработки, но и от размеров заготовки.

При переменном режиме нагрузки расчетная циклическая долговеч­ность определяется по формуле:

,(14)

где K_FE — коэффициент приведения переменного режима нагрузки к по­стоянному эквивалентному режиму:

(15)

где T_max, Т_i — максимальные и промежуточные значения моментов; коэф­фициент m_F = 6 — при нормализации и улучшении; m_F=9 — при закалке; t_i — продолжительность (в часах) действия момента Т_i; — суммарная про­должительность работы зубчатой передачи.

Вопрос 11-12. Расчет цилиндрической прямозубой передачи на контактную прочность

Расчет прочности контактирующих поверхностей зубьев основан на ограничении наибольших нормальных напряжений.

При выводе формул приняты следующие допущения: зубья рассматри­вают как два находящихся в контакте цилиндра с параллельными образую­щими (радиусы этих цилиндров принимают равными радиусам кривизны профилей зубьев в полюсе зацепления); нагрузку считают равномерно рас­пределенной по длине зуба; контактирующие профили предполагают не­разделенными масляной пленкой.

На основании этих допущений к расчету зубчатых колес можно приме­нить результаты исследований на контактную прочность цилиндрических роликов. Наибольшие нормальные контактные напряжения возникают в точках, лежащих на очень малой глубине под линией контакта по формуле Герца—Беляева:

(16)

где — расчетная удельная нормальная нагрузка; — приведенный мо­дуль упругости материалов зубьев; — приведенный радиус кривизны профилей зубьев шестерни и колеса; — коэффициент Пуассона. Для прямозубых колес без учета коэффициентов нагрузки

, (17)

где — нормальная сила, действующая на зуб (см. рис. 35); — окружная сила; — суммарная длина контактной линии (для прямозубых передач — ширина венца, так как ; здесь — коэффициент, учитывающий непостоянство суммарной длины контактной линии); — коэффициент перекрытия.

Для учета неравномерности распределения нагрузки по длине контакт­ных линий, а также для учета динамических нагрузок вследствие погреш­ности изготовления и деформации деталей передачи вводят коэффициент нагрузки (см. табл. 6-7).

Отсюда

(18)

Приведенный модуль упругости , где и — мо­дули упругости материалов шестерни и колеса.

Зубья рассматриваются как цилиндры длиной (ширина зубчатого ко­леса) и радиусов и , где

Приведенный радиус кривизны зубьев в полюсе

Здесь знак «плюс» для внешнего зацепления, знак «минус» — для внут­реннего зацепления.

Подставляя значения и в формулу (17), после преобразований получим

(19)

Обозначим в формуле (19) выражение через — коэффи­циент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев;

— коэффициент, учитывающий механические свойства

материалов сопряженных колес ( = 275 МПа^1/2 — для стальных колес);

— коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линии для прямозубых передач.

Получим расчетную формулу, рекомендуемую для проверочного расчета:

(20)

После подстановки значений ; и в формулу (20) и некоторых преобразований получим удобную для расчета формулу

(21)

Значение определяют по формуле

После некоторых преобразований формулы (21) получим формулу проектировочного расчета для определения межосевого расстояния прямозу­бых зубчатых передач:

Обозначим через вспомогательный коэффициент

(для прямозубых передач при = 1,25, = 49,5 МПа^1/3).

Тогда формула проектного расчета для определения межосевого рас­стояния закрытых цилиндрических передач

(22)

Допускаемые контактные напряжения (МПа) при расчете рабочих поверхностей на усталостное выкрашивание рассчитываются по формуле

,

где — предел выносливости рабочих поверхностей зубьев (табл. 11), соответствующий базовому числу циклов перемены напряжений , МПа (база испытаний определяется по табл. 12);

— коэффициент безопасности ( = 1,1 при нормализации, улучше­нии или объемной закалке; при поверхностной закалке и цементации =1,2);

— коэффициент, учитывающий шероховатость сопряженных по­верхностей зубьев ( );

— коэффициент долговечности, который учитывает влияние срока службы, режима нагрузки передачи и возможность повышения допускае­мых напряжений для кратковременно работающих передач.

Таблица 11. Пределы контактной выносливости

, МПа	Материал	Твердость поверхностей зубьев (средняя)	Термическая обработка зубьев
2 НВ + 70 18 HRC+150 17 HRC +200	Сталь углеродистая и легированная	НВ < 350 HRC 38-50 HRC 40-50	Нормализация, улучшение Объемная закалка Поверхностная закалка
23HRC	Сталь легированная	HRC> 56 HV 550-750	Цементация и нитроцементация Азотирование

Таблица 12. Базовое число циклов

Твердость поверх­ностей зубьев НВ	До 200
, млн. циклов		17,0	26,4	38,3	52,7

При постоянной нагрузке ; (или ) — циклическая долговечность.

При переменной нагрузке расчетная циклическая долговечность опре­деляется по формуле:

,

где К_НЕ — коэффициент приведения переменного режима нагружения к постоянному эквивалентному

В расчетные формулы (21) и (22) входит меньшее из допускаемых напряжений, установленных для шестерни и колеса. Так как материал ко­леса имеет обычно меньшую твердость, чем материал шестерни, то в боль­шинстве случаев для колеса меньше.

В табл. 11 даны значения предела выносливости (база испыта­ний) для различных материалов зубчатых колес.