ГЛАВА 3. Работа и механическая энергия. Законы сохранения

Ответ: 0,6 м/с; 4,2 мин.

1.17 Парашютист спускается на Землю со скоростью 4 м/с при спокойном состоянии воздуха. С какой скоростью он должен двигаться при горизонтальном ветре, скорость которого 3 м/с?

Ответ: 5 м/с.

П.1.4. Движение материальной точки по окружности

1.18 Человек идет по краю вращающейся с угловой скоростью w платформы радиусом R по направлению вращения со скоростью V относительно карусели. Определить центростремительное ускорение человека.

Ответ: V²/R + 2wV + w²R.

1.19 Материальная точка движется по окружности радиусом R со скоростью V = V₀е ^{- S/R} , где S – пройденный путь; V₀ – положительная константа. Найти зависимость пути от времени.

Ответ: .

1.20 Материальная точка движется по окружности радиусом R со скоростью V = V₀е ^{- S/R} , где S – пройденный путь; V₀ – положительная константа. Определить: 1) угол φ между векторами скорости и ускорения в произвольный момент времени, 2) величину ускорения как функцию скорости.

Ответ: .

1.21 Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = A + Bt + Ct²; где А = 10 рад; В = 20 рад/с; С = - 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Ответ: 1,65 м/с².

1.22 Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R = 4 м задаётся уравнением а_n = A + Bt + Ct² (где А = 1 м/с²; В = 6 м/с³; С = 9 м/с⁴). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t₁ = 5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t₂ = 1 c.

Ответ: 6 м/с²; 85 м; 17,1 м/с².

1.23 Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом

R = 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением а_τ = 0,5 см/с². Определить: 1) момент времени, при котором вектор ускорения а образует с вектором скорости угол α = 45°; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

Ответ: 5 с; 6,25 см.

1.24 Точка движется по окружности радиусом R = 15 см с постоянным тангенциальным ускорением а_τ. К концу четвёртого оборота после начала движения линейная скорость точки V₁ = 15 см/с. Определить нормальное ускорение а_n2 точки через t₂ = 16 с после начала движения.

Ответ: 1,5 см/с².

1.25 Найти угловые скорости: 1) суточного вращения Земли; 2) часовой стрелки на часах; 3) минутной стрелки на часах; 4) искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин; 5) линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии 200 км от поверхности Земли.

Ответ: 7,26·10 ^{- 5} рад/c; 14,5·10 ^{- 5} рад/c; 1,74·10 ^{- 3} рад/с; 1,19·10 ^{- 3} рад/c;

7,8 км/с.

1.26 Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j = Аt² (А = 0,5 рад/с²). Определить к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное a_t, нормальное a_n и полное ускорение а.

Ответ: 2 рад/c; 1 рад/с²; 0,8 м/с²; 3,2 м/с²; 3,3 м/с².

1.27 Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота от времени задается уравнением j = А + Bt + Ct² + Dt³ (B = 1 рад/с; C = 1рад/с²; D = 1 рад/с³). Определить для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения тангенциальное a_t, нормальное ускорение a_n и полное ускорение a.

Ответ: 1,4 м/с²; 28,9 м/с²; 28,9 м/с².

1.28 Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j = Аt² (где А = 0,1 рад/с²). Определить полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент равна 0,4 м/с.

Ответ: 0,256 м/с².

1.29 Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением V = At + Bt² (A = 0,3 м/с²; B = 0,1 м/с³). Определить угол a, который образует вектор полного ускорения с радиусом колеса через 2 с от начала движения.

Ответ: 4º.

1.30 Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j = А + Bt³ (А = 2 рад; B = 4 рад/с³). Определить для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение a_n в момент времени t = 2 с; 2) тангенциальное ускорение для этого же момента; 3) угол поворота j, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол a = 45⁰.

Ответ: 230 м/с²; 4,8 м/с²; 2,67 рад.

1.31 Колесо радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения задается уравнением V = At + Bt² (A = 3 см/с² и B = 1 см/с³). Найти тангенс угла, составляемого вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени t = 0, 1, 2 и 4 с после начала движения.

Ответ: ¥; 3,13; 0,7; 0,14.

1.32 Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения n = 50 с ^{- 1} после выключения тока, сделав N = 628 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение якоря.

Ответ: 12,5 рад/с².

1.33 Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время t = 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин ^{- 1}. Определить: 1) угловое ускорения колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

Ответ: 0,157 рад/с²; 300 об.

1.34 Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости w = 20 рад/с через N = 10 об после начала движения. Найти угловое ускорение колеса.

Ответ: 3,2 рад/с².

1.35 Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 мин ^{- 1} до 180 мин ^{- 1}. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

Ответ: 1,26 рад/с²; 360 об.

1.36 Колесо радиусом R = 10 см вращается с постоянным угловым ускорением e = 3,14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость; 2) линейную скорость; 3) тангенциальное ускорение; 4) нормальное ускорение; 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ: 3,14 рад/с; 0,314 м/с; 0,314 м/с²; 0,986 м/с²; 1,03 м/с²; 17⁰ 46′.

1.37 Маховик, вращающийся с постоянной частотой n₀ = 10 с ^{- 1}, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова сделалось равномерным, но уже с частотой n = 6 с ^{- 1}. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.

Ответ: - 4,02 рад/с²; 6,25 с.

ГЛАВА 2. Динамика частиц, поступательного и вращательного

движения твёрдого тела

П.2.1 Поступательное движение

1.38 Частица массой m движется под действием силы F = А + Bt. Определить скорость частицы через 3 c, если в начальный момент ее скорость V0 = 0; m = 1 кг; A = 2 Н; B = 2 Н/с.

Ответ: 24 м/с.

1.39 На частицу, которая в начальный момент времени (t = 0) имела импульс p₀ = 0, действует в течение времени τ сила, зависящая от времени: F = At (H). Найти импульс частицы по окончании действия силы, если τ = 2 с; A = 1 Н/с.

Ответ: 2 кг·м/с.

1.40 Тело массой m движется прямолинейно, причем, его координата со временем изменяется по закону x = A - Bt + Ct² - Dt³ (м). Найти силу, действующую на тело в конце 2-й секунды, если m = 1 кг; C = 5 м/c²; D = 4 м/c³.

Ответ: - 38 Н.

П.2.2 Плоское движение

1.41 Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α. Зависимость пройденного телом расстояния от времени задается уравнением x = A + Bt + Ct². Найти коэффициент трения тела о плоскость, если α = 50°; С = 1,73 м/c².

Ответ: 0,653.

1.42 Определить положение центра масс (X_c;Y_c) системы, состоящей из четырех шаров, массы которых соответственно m, 2m, 3m, 4m. Шары расположены по вершинам квадрата (l = 15 см).

Ответ: х_с = 7,5 см; у_с = 4,5 см.

1.43 С наклонной плоскости с углом наклона α скатываются без скольжения шар и диск. Одновременно по той же плоскости соскальзывает без трения некоторое тело. Найти линейное ускорение центров тяжести всех тел. Начальные скорости равны нулю.

Ответ: ; .

1.44 Найти линейное ускорение а центра масс шара, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости α = 30º. Начальная скорость тела V₀ = 0.

Ответ: 3,6 м/с².

1.45 На барабан массой m₀ = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Барабан считать однородным цилиндром. Найти ускорение груза. Трением пренебречь.

Ответ: 3 м/с².

1.46 Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами m₁ и m₂ (например, m₁ > m₂), которые подвешены на лёгкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить ускорение грузов и силу натяжения нити.

Ответ: .

1.47 В установке угол a наклонной плоскости с горизонтом равен 30°, массы тел m₁ = 200 г и m₂ = 150 г. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определить ускорение, с которым будут двигаться тела, если тело m₂ опускается.

Ответ: 1,43 м/с².

1.48 Грузы одинаковой массы (m₁ = m₂ = 0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укреплённый на конце стола. Коэффициент трения груза m₂ о стол m = 0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить ускорение грузов и силу натяжения нити.

Ответ: 4,25 м/с²; 2,875 Н.

1.49 Какую силу F надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за время t = 30 с прошёл путь S = 11 м? Масса вагона m = 16 т. За время движения на вагон действует сила трения F_тр, равная 0,05 действующей на него силы тяжести mg.

Ответ: 8,2 кН.

1.50 Небольшая льдинка соскальзывает без начальной скорости с ледяной горки высотой h и далее движется по ледяной горизонтальной плоскости, останавливаясь на расстоянии L по горизонтали от конца горки. Определите коэффициент трения льда по льду. Угол наклона плоскости к горизонту - α.

Ответ: h/(h∙ctgα + L).

1.51 Груз массой m = 1 кг падает с высоты h = 240 м и углубляется в грунт на S = 0,2 м. Определите среднюю силу сопротивления грунта, если начальная скорость падения V₀ = 14 м/с.

Ответ: 12 кН.

П.2.3 Вращательное движение

1.52 Две частицы (материальные точки) с массами 2 и 3 кг соединены жёстким невесомым стержнем длиной 0,5 м. Найти момент инерции этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс.

Ответ: 0,3 кг·м².

1.53 В центре стержня длиной L = 0,4 м и массой m = 3 кг закрепили тело массой m = 3 кг, которое можно считать материальной точкой. Определить момент инерции этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей на расстоянии L/4 от конца стержня.

Ответ: 0,1 кг·м².

1.54 Тонкое кольцо диаметром D = 0,4 м и массой m = 600 г висит на горизонтально натянутой струне. Определить момент инерции кольца относительно оси, совпадающей со струной.

Ответ: 0,192 кг·м² .

1.55 Определить момент инерции шара относительно оси, проходящей на расстоянии 0,2 м от центра шара. Диаметр шара D = 0,4 м, масса его m = 5 кг.

Ответ: 0,28 кг·м² .

1.56 Маховик и легкий шкив насажены на горизонтальную ось. К шкиву с помощью нити привязан груз, который, опускаясь равноускоренно, прошел путь 2 м за 4 с. Момент инерции маховика - 0,05 кг·м². Определить массу груза, если радиус шкива - 6 см, а массой его можно пренебречь.

Ответ: 0,36 кг.

1.57 Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

Ответ: 0,12 кг·м² .

1.58 Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через конец стержня.

Ответ: 3·10 ^{- 2} кг·м² .

1.59 Вентилятор вращается с частотой n = 600 мин ^{- 1}. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить момент сил торможения М и момент инерции J вентилятора.

Ответ: 0,1 Н·м; 1,59 ·10 ^{- 2} кг·м² .

1.60 Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 150 кг·м², вращается с частотой n = 240 мин ^{- 1}. Через t = 1 мин после начала действия сил торможения он остановился. Определить момент сил торможения М и число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.

Ответ: 62,8 Н·м; 120.

1.61 К ободу однородного сплошного диска радиусом R =0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 2 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М_тр = 2 Н·м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с².

Ответ: 24 кг.

1.62 Частота вращения n₀ маховика, момент инерции J которого равен 120 кг·м², составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент сил трения М.

Ответ: 16 Н·м.

1.63 Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J =1,5 кг·м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n₀ = 240 об/мин до n = 120 об/мин. Определить: угловое ускорение ε маховика, момент М силы торможения и работу торможения А.

Ответ: 0,21 рад/с²; 0,315 Н·м; 355 Дж.

1.64 На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2м/с². Определить момент инерции вала и массу вала.

Ответ: 6,25 кг·м²; 50 кг.

1.65 Маховик в виде диска массой m = 50 кг, радиусом R = 20 см был раскручен до частоты 480 мин ^{- 1} и предоставлен сам себе. Под влиянием трения маховик остановился, сделав N = 200 об. Определить момент сил трения.

Ответ: - 1 Н∙м.

1.66 Мотоциклист въезжает на мертвую петлю радиусом R. Масса мотоцикла с мотоциклистом – М, масса обоих колес – m. Найти с какой минимальной скоростью он должен въехать на петлю, чтобы не сорваться вниз.

Ответ : .

1.67 Шар массой m, подвешенный на нити длиной l, отклоняют на угол 90° от вертикали и отпускают. Определить силу максимального натяжения нити.

Ответ: 3mg.

1.68 Груз массой m = 1 кг, подвешенный на нити, отклоняют на угол α = 30° и отпускают. Найти силу натяжения нити Т в момент прохождения грузом положения равновесия.

Ответ: 12,4 Н.

ГЛАВА 3. Работа и механическая энергия. Законы сохранения

импульса, момента импульса и энергии

П.3.1 Движение тела переменной массы

1.69 Автомобиль с ракетным двигателем равноускоренно движется вверх по наклонной плоскости с углом наклона α и коэффициентом трения k. Скорость газов на выходе сопла двигателя равна U, а их масса, отбрасываемая за 1 с, равна µ. Скорость автомобиля в начале подъема равна V₀. Найти время, за которое автомобиль увеличил скорость от V₀ до V.

Ответ: .

1.70 Ракета с начальной массой m запущена вертикально вверх. Скорость газов на срезе выходного отверстия двигателя равна V , секундный расход топлива µ. Найти ускорение ракеты через время t после запуска.

Ответ: .

1.71 Сосуд с водой движется горизонтально с постоянной скоростью под действием реактивной силы, возникающей благодаря струе воды, бьющей со скоростью V из отверстия площадью S, расположенного у дна сосуда. Масса сосуда с водой равна m. Найти коэффициент трения между сосудом и плоскостью.

Ответ : .

1.72 Ракета с начальной массой M = 500 г выбрасывает нейтральную струю газов с постоянной относительно нее скоростью U = 400 м/с. Расход газа μ = 150 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определить, какую скорость относительно Земли приобретает ракета через время t = 2 с после начала движения, если ее начальная скорость равна нулю?

Ответ: м/с.

П.3.2 Закон сохранения импульса

1.73 Человек массой m₁, бегущий со скоростью V₁, догоняет тележку массой m₂, движущуюся со скоростью V₂, и вскакивает на нее. С какой скоростью будет двигаться тележка, если m₁ = 60 кг;V₁ = 8 км/ч; m₂ = 80 кг; V₂ = 2,9 км/ч?

Ответ: ≈ 1,4 м/с.

1.74 Два пластилиновых шарика массами 10 и 20 г, двигающиеся по гладкому столу во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями 3 и 2 м/с соответственно, абсолютно неупруго соударяются. Определить скорость шариков после соударения.

Ответ : 1,67 м/с.

1.75 С железнодорожной платформы, которая движется со скоростью 9 км/ч, выстрелили из пушки в горизонтальном направлении. Масса платформы с пушкой - 20 т, масса снаряда - 23 кг, его начальная скорость - 700 м/с. Определить скорость платформы после выстрела, если направление выстрела совпадает с направлением движения платформы.

Ответ : м/с.

1.76 Человек массой m₁ = 70 кг, бегущий со скоростью V₁ = 9 км/ч, догоняет тележку массой m₂ = 190 кг движущуюся со скоростью V₂ = 3,6 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с человеком, если человек до прыжка бежал навстречу тележке.

Ответ: 0,208 км/ч.

1.77 Два пластилиновых шарика, отношение масс которых m₂ / m₁ = 4 , после соударения сместились и стали двигаться по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью U. Определить скорость легкого шара до соударения, если он двигался втройне быстрее тяжелого (V₁ = 3V₂), а направление движения шаров были взаимно перпендикулярны. Трением пренебречь.

Ответ: V₁ = 3U; V₂ = U.

1.78 При центральном упругом ударе движущееся тело массой m₁ ударяется в покоящееся тело массой m₂. В результате чего скорость первого тела уменьшается в 2 раза. Определить во сколько раз масса первого тела больше массы второго.

Ответ: в 3 раза.

П.3.3 Совместное применение законов сохранения энергии и импульса

1.79 Определить потерю кинетической энергии при неупругом центральном ударе двух шаров. Массы этих шаров – m₁ и m₂, их скорости до столкновения – V₁ и V₂.

Ответ: .

1.80 На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массой 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α = 60° и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шара при ударе.

Ответ: 0,044 м; 1,3 Дж.

1.81 Пуля массой m = 15 г, летящая горизонтально со скоростью V = 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной L = 1 м и массой M = 1,5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника φ.

Ответ: .

П.3.4 Закон сохранения момента импульса

1.82 Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой m₁ = 180 кг вращается по инерции, около вертикальной оси делая n = 10 мин ^{- 1}. В центре платформы стоит человек массой m₂ = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Ответ: м/с.

1.83 Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота обращения n₁ = 0,5 с ^{- 1}, момент инерции тела человека относительно оси вращения J = 1,6 кг∙м². В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой m = 2 кг каждая. Расстояние между гирями L₁ = 1,6 м. Сколько оборотов в секунду будет делать скамья с человеком, если он опустит руки и расстояние L₂ между гирями станет равным 0,4 м? Моментом инерции скамьи пренебречь.

Ответ: n₂ = 1,18 с ^{- 1}; .

1.84 Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n₁ = 10 мин ^{- 1}, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека точечной массой, определить, с какой частотой n₂ будет тогда вращаться платформа.

Ответ: мин ^{- 1}.

1.85 Платформа в виде диска диаметром D = 3 м и массой m₁ = 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью ω₁ будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m₂ = 70 кг со скоростью V = 1,8 м/с относительно платформы?

Ответ: .

1.86 Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол φ повернется платформа, если человек пройдет вокруг края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку? Масса платформы m₁ = 280 кг, масса человека m₂ = 80 кг.

Ответ: рад.

1.87 На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n₁ = 8 мин ^{- 1}, стоит человек массой m₁ = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой n₂ = 10 мин ^{- 1}. Определить массу m₂ платформы. Момент инерции человека рассчитывается как для материальной точки.

Ответ: кг.

П.3.5 Закон всемирного тяготения

1.88 Определить период обращения Луны вокруг Земли , если ускорение свободного падения на полюсах Земли равно 9,83 м/c², радиус Земли - 6400 км, а расстояние между центрами Земли и Луны 3,84∙10⁵ км.

Ответ : суток.

1.89 Определить ускорение свободного падения на Луне. Масса Луны - 7,3∙10²² кг, её радиус - 1,7∙10³ км.

Ответ : м/c².

1.90 Найти ускорение силы тяжести на высоте h над поверхностью Земли. Радиус Земли – R.

Ответ : .

1.91 Вычислить постоянную тяготения, зная радиус R и плотность ρ Земли, а также ускорение силы тяжести g₀ на ее поверхности.

Ответ : .

1.92 Найти зависимость изменения ускорения силы тяжести g от глубины погружения в землю.

Ответ : .

1.93 Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую скорость ω спутника и радиус R его орбиты.

Ответ: 42,4 Мм; 7,27∙10 ^{- 5} рад/с.

1.94 Планета Нептун в 30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Определить период T обращения Нептуна вокруг Солнца в годах.

Ответ: 164 года.

1.95 Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы тело массой m = 10³ кг, находящееся на Земле, смогло превратиться в спутник Солнца (при отсутствии сопротивления среды).

Ответ: A = gRm = 62,7∙10⁹Дж.

1.96 Искусственный спутник Земли движется вокруг неё по круговой орбите. Определить, во сколько раз гравитационная потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии.

Ответ: в 2 раза.

1.97 Два алюминиевых шарика (ρ = 2,7∙10³ кг/м³) радиусами r₁ = 3 см и r₂ = 5 см соприкасаются друг с другом. Определить потенциальную энергию их гравитационного взаимодействия.

Ответ: 0,39 нДж.

1.98 Принимая, что радиус Земли известен, определить, на какой высоте h над поверхностью Земли напряжённость поля тяготения равна 4,9 Н/кг.

Ответ: 2,64 Мм.

1.99 Найти вторую космическую скорость V₂, т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда удалилось от Земли.

Ответ: 11,2 км/с.

1.100 Найти первую космическую скорость V, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться вокруг Земли по круговой орбите в качестве её спутника.

Ответ: 7,8 км/с.

1.101 На какой высоте h ускорение свободного падения вдвое меньше его значения на поверхности Земли?

Ответ: 2,56 ·10⁶ м.

1.102 Принимая, что радиус Земли 6370 км, определить, на какой высоте h над поверхностью Земли напряжённость поля тяготения равна 5 Н/кг.

Ответ: 2,64· 10⁶ м.

1.103 Искусственный спутник Земли движется вокруг неё по круговой орбите. Определить, во сколько раз гравитационная потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии?

Ответ: в 2 раза.

П.3.6 Энергия, работа и мощность

1.104 На горизонтальном участке пути длиной 3 км скорость автомобиля увеличилась с 36 до 72 км/ч. Масса автомобиля - 3 т. Коэффициент трения - 0,01. Определить работу, совершённую двигателем автомобиля, и его среднюю мощность.

Ответ: 1,3 МДж; 6,5 кВт.

1.105 Тело m = 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задано уравнением S = 2t² + 4t + 1. Определить работу силы за 10 с с начала её действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Ответ: 960 Дж; Е_к = m (8t² + 16t + 8).

1.106 Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает её на x₀ = 1,0 мм. На сколько сожмёт пружину эта же гиря, брошенная вертикально вниз с высоты h = 0,20 м со скоростью V = 1,0 м/с?

Ответ: 8∙10 ^{- 2} м.

1.107 Какую кинетическую энергию приобретает автобус массой 15 т, если он трогается с места с ускорением 1,4 м/с². Определить работу силы тяги и работу силы сопротивления на первых 10 м, если коэффициент сопротивления 0,02.

Ответ: 210 кДж; 239,4 кДж; 29,4 кДж.

1.108 Вертолёт массой m = 3 т висит в воздухе. Какова мощность N, расходуемая на поддержание вертолёта в этом положении при диаметре ротора d = 18 м. При расчёте считать, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха с диаметром, равным диаметру ротора.

Ответ: 139 кВт.

1.109 При вертикальном подъёме груза массой m = 2 кг на высоту h = 1 м постоянной силой F была совершена работа A = 80 Дж. С каким ускорением поднимается груз?

Ответ: 30 м/с².

1.110 Какое количество бензина расходует двигатель автомобиля на пути 100 км, если при средней мощности двигателя в 11040 Вт средняя скорость его движения была равна 30 км/ч? КПД двигателя - 22%, удельная теплота сгорания бензина - 4,6∙10⁷ Дж/кг.

Ответ: 13 кг.

1.111 С наклонной плоскости высотой h скатываются: а) обруч; б) сплошной цилиндр; в) шар. Найти поступательные скорости, которые они будут иметь, скатившись до конца плоскости. Сравнить эти скорости со скоростью, которую имело бы тело, соскальзывающее по плоскости без трения.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

1.112 Автомобиль массой 2∙10³ кг движется вверх по наклонной плоскости с уклоном 0,1 , развивая на пути 100 м скорость 36 км/ч. Коэффициент трения μ = 0,05. Определить среднюю и максимальную мощность двигателя автомобиля при разгоне.

Ответ : 1,99∙10⁴ Вт; 3,94∙10⁴Вт.

1.113 Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости, переходящей в мертвую петлю радиуса R, где R = 0,6 м – радиус петли. С какой высоты должно соскальзывать тело, чтобы отрыва не произошло?

Ответ: H = 2,5R.

1.114 Молот массой m₁ = 200 кг падает на поковку, масса которой вместе с наковальней m₂ = 2500 кг. Скорость V₁ молота в момент удара равна 2 м/с. Найти кинетическую энергию молота в момент удара и энергию, затраченную на сотрясение фундамента.

Ответ: 400 Дж; 29,6 Дж.

1.115 С башни горизонтально брошен камень со скоростью V₀ = 15 м/с. Масса камня m = 0,2 кг. Найти кинетическую энергию камня через время t = 1 с после начала движения.

Ответ: 32,5 Дж.

1.116 Камень брошен со скоростью V₀ = 15 м/с под углом α = 60º к горизонту. Найти кинетическую энергию камня через t = 1 с после начала движения и в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг.

Ответ: 6,6 Дж.

1.117 Какой кинетической энергией Е_к обладает тело массой m = 1 кг, падающее без начальной скорости по истечении времени t = 5 с после начала движения.

Ответ: 1,2 кДж.

1.118 Пуля массой m = 20 г, выпущенная под углом α к горизонту, в верхней точке траектории имеет кинетическую энергию 900 Дж. Найти угол α, если начальная скорость пули V₀ = 600 м/с.

Ответ: 60º.

1.119 Камень массой m = 5 кг упал с некоторой высоты. Найти кинетическую энергию Е_к камня в средней точке его пути, если падение продолжалось t = 2 с.

Ответ: 480 Дж.

1.120 Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

Ответ: в 1,07 раза.

1.121 К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Определить кинетическую энергию через время t = 4 с после начала действия силы.

Ответ: 1,44 Дж.

1.122 Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = А + Вt² + Ct³ (B = 2 рад/с²; С = - 0,5 рад/с³). Определить момент сил М для t = 3 с и кинетическую энергию вращения.

Ответ: - 0,1 Н·м; 22,5 мДж.

1.123 Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию Е_к диска.

Ответ: 24 Дж.

1.124 К нижнему концу пружины жёсткостью k₁ присоединена другая пружина жёсткостью k₂, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определить отношение потенциальных энергий пружин.

Ответ: k₂/k₁.

1.125 Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту h, с которой должна скатываться тележка с человеком по жёлобу, переходящему в петлю радиусом R = 6 м, и не оторваться от него в верхней точке петли.

Ответ: 15 м.

1.126 Пуля массой m = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью V = 0,5 км/с, попадает в баллистический маятник М = 6 кг и застревает в нём. Определить высоту h, на которую поднимается маятник, откачнувшись после удара.

Ответ: 8 см.

1.127 Два вагона (масса каждого m = 15 т) движутся навстречу друг другу со скоростью V = 3 м/с и сталкиваются между собой. Определить сжатие пружины буферов вагонов, если известно, что сила пропорциональна деформации, и под действием силы F = 50 кН пружина сжимается на Dl = 1 см.

Ответ: 11,6 см.

1.128 Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на Dl = 10 см. С какой скоростью полетел камень массой m = 20 г? Жёсткость шнура k = 1 кН/м.

Ответ: 22 м/c.

1.129 При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жёсткость k пружины пистолета, если она была сжата на S = 10 см. Массой пружины пренебречь.

Ответ: 196 Н/м.

1.130 Определить жёсткость системы двух пружин при последовательном и параллельном их соединении. Жёсткость пружины k₁ = 2 кН/м и k₂ = 6 кН/м.

Ответ: 1,5 кН/м; 8 кН/м.

1.131 Пружина жесткостью k = 1 кН/м сжата на Dx₁ = 4 см. Какую нужно совершить работу А, чтобы сжатие пружины увеличить до Dx₂ = 18 см?

Ответ: 15,9 Дж.

1.132 Шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образующему “мертвую петлю” радиусом R. С какой минимальной высоты должен начать движение шарик, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке траектории?

Ответ: 2,5 R.

1.133 Для определения скорости пули применяется баллистический маятник, состоящий из деревянного бруска, подвешенного на легком стержне. При выстреле в горизонтальном направлении пуля массой m попадает в брусок и застревает в нем. Какова была скорость пули, если брусок поднимается на высоту h? Масса бруска – М.

Ответ: .

1.134 Найти работу, которую надо совершить, чтобы сжать пружину, жесткость которой 30 Н/см, на 20 см, если сила пропорциональна сжатию пружины.

Ответ: 60 Дж.

1.135 Груз массой 5 кг падает с некоторой высоты и достигает поверхности Земли за 2,5 с. Найти работу, совершенную грузом.

Ответ: 1,5 кДж.

1.136 Два шара массами m₁ = 3 кг и m₂ = 2 кг подвешены на нитях длиной l = 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол α = 60° и отпустили. Определите скорость второго шара после упругого удара.

Ответ: 3,76 м/с.

1.137 Тело массой m, скатившись с горы высотой h, останавливается. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять тело обратно на гору?

Ответ: 2mgh.

ГЛАВА 4. Принцип относительности в механике и элементы релятивистской динамики

П.4.1 Следствия из преобразований Лоренца

1.138 При какой относительной скорости V движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25 %?

Ответ: 1,98·10⁸ м/с.

1.139 Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабильной частицы по часам неподвижного наблюдателя, если она начинает двигаться со скоростью, составляющей 99 % скорости света?

Ответ: в 7,08 раза.

1.140 На сколько увеличится масса a-частицы (m₀ = 6,6×10 ^{- 27} кг) при ускорении её от начальной скорости, равной нулю, до скорости, равной 0,9 с (с = 3×10⁸ м/с – скорость света в вакууме)?

Ответ: 8,6·10 ^{- 27} кг.

1.141 Нестабильная частица при скорости V = 240 Мм/с пролетает до распада L = 8 км. Определить собственное время жизни частицы.

Ответ: 20 мкс.

1.142 Во сколько раз замедлится ход времени при скорости движения часов V = 240 Мм/с?

Ответ: в 1,7 раза.

1.143 Найти относительную скорость двух частиц, движущихся навстречу друг другу со скоростью V = 0,5 c.

Ответ: 0,8 с.

1.144 Определить периметр квадрата со стороной L, движущегося со скоростью V = 0,5 с вдоль одной из своих сторон.

Ответ: 3,73 L.