Определение современной стоимости годовой ренты

Под современной стоимостью регулярных финансовых потоков понимают сумму всех платежей, дисконтированных на начало периода первого платежа.

Дисконтированные отдельные платежи представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Ее сумма имеет вид:

(6.6)

Величина называется коэффициентом современной стоимости срочного аннуитета или коэффициентом приведения годовой ренты и характеризует современную величину обычного регулярного потока платежей, каждый из которых равен одной денежной единице. Значения коэффициентов приведения содержатся в приложении 5.

Каждый член полученной геометрической прогрессии в (1+i) раз больше, чем в случае с рентой постнумерандо, следовательно:

(6.7)

Пример. В начале первого периода фирме предложено вложить 8 млн. руб. Доходы от инвестирования ожидаются в конце четырех последующих периодов по 2,2 млн. руб. Определить чистую приведенную стоимость, исходя из ставки сравнения 10% за период.

Решение:

Поскольку деньги имеют различную ценность в разные моменты времени, приведем все суммы к началу первого периода. Определим приведенную стоимость финансовой ренты постнумерандо, состоящей из четырех выплат по 2,2 млн. рублей (R=2,2 млн. руб.; i=0,1; n=4 года):

Общая сумма приведенных поступлений на начало финансовой операции равна - 8+ 6,974 = - 1,026 млн. рублей.< 0.

Следовательно, если поступления от инвестирования ограничиваются указанными, то проект убыточен.

Определение современной стоимости годовой ренты с начислением процентов m раз в год

Начисление процентов производится m раз в год, то есть за весь срок ренты m·n раз. Годовой платеж равен R. Для определения современной стоимости ренты определим дисконтные множители каждого платежа:

Современная стоимость ренты может быть определена, как сумма геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Следовательно: . (6.8)

Пример. В течение семи лет ежегодно в конце года в фонд поступают по 10000 рублей. На них ежеквартально начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых. Определите современную стоимость фонда.

Решение: R=10 000 руб.; i=0,15; m=12; n=7.

Определение современной стоимости р-срочной ренты с начислением процентов m в раз в год

Предположим, что начисление процентов производится раз в год в течение лет по номинальной ставке . Каждый раз проценты начисляются по ставке . Количество начислений – .

В общем случае современная стоимость финансовой ренты может быть определена по формуле

(6.9)

Пример. Ежеквартально в течение 2 лет на специальный счет поступает 100 тыс. руб. Определить современную стоимость финансовой ренты, если проценты по ставке 12% годовых начисляются ежемесячно.

Решение: 100 тыс. руб.; = 4; = 0,12; = 2; =12.

Т.о., современная стоимость данной финансовой ренты 701 079 руб.

Вечные ренты

Наращенная сумма вечной ренты при любых ее параметрах равна бесконечно большой величине, в то же время ее современная величина имеет конкретное значение. Современная величина вечной ренты оказывается полезной характеристикой в ряде финансовых расчетов, например при замене некоторых потоков платежей, оценке финансовых инвестиций, в страховых расчетах.

Современная величина вечной годовой ренты определяется по формуле: (6.10)

Пример. Квартира арендована за 10000 $ в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5%?

Решение: R = 10 000 $; i = 0,05.

Выкупная цена ренты - это современная величина всех будущих арендных платежей. Она равна .

Заметим, что если поместить 200000 $ в банк под 5% годовую ставку, то годовые процентные деньги составят в точности 10 000 $.

Формула для вычисления современной стоимости р-срочной вечной ренты с начислением процентов m раз в году имеет вид:

(6.11)

Пример. Определите цену вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого месяца составляют 2 тыс. рублей при номинальной процентной ставке 12% годовых и ежеквартальном начислении процентов.

Решение:

Конверсия рент

В ряде случаев возникает необходимость принять условия финансового соглашения, предусматривающего выплату ренты. Процесс, связанный с изменением условий ренты, называется конверсией ренты. Иногда конверсия ренты заключается в замене ренты единовременным платежом. Иногда рента с одним набором условий заменяется рентой с другими условиями. При этом предполагается, что конверсия рент не приводит к изменению финансовых последствий для каждого из участвующих в соглашении сторон, то есть она должна основываться на принципе финансовой эквивалентности платежей.

При этом находят современную величину данной ренты, а затем подбирают ренту с такой же современной величиной и нужными параметрами.

Пример. Годовую ренту пренумерандо со сроком 5 лет, разовым платежом =2000 руб. и процентной ставкой =6% необходимо заменить рентой сроком 8 лет. Определите параметры ренты.

Решение: R1=2 000 руб.; i=0,06; n1=5;n2=8.

1).Определим современную стоимость такой ренты.

2). Найдем разовый платеж восьмилетней ренты с такой же современной стоимостью. Для этого составим уравнение эквивалентности:

3). Разрешим это уравнение относительно

Объединение рент

Предположим, несколько рент необходимо заменить одной. Замена базируется на принципе финансовой эквивалентности обязательств, который реализуется путем составления уравнения эквивалентности.

При составлении уравнения эквивалентности находят современные величины рент-слагаемых и суммируют, а затем приравнивают эту сумму современной стоимости заменяющей ренты.

Правило объединения рент:

1) находят современные величины рент-слагаемых и суммируют их;

2) приравнивают полученную сумму современной стоимости заменяющей ренты;

3) задав все параметры заменяющей ренты, кроме одного, из уравнения эквивалентности определяют недостающий параметр.

Пример.

Найти ренту-сумму для двух годовых рент постнумерандо: одна -длительностью 5 лет с годовым платежом 1000 $. , а другая - 8 лет с годовым платежом 800 $. Годовая ставка процента равна 8%.

Решение:

- современная величина первой ренты.

- современная величина второй ренты.

3) Определим современную величину ренты-суммы:

3992,7+4597,28=8590,02=8589,98 $.

Теперь можно задать либо длительность ренты-суммы, либо годовой платеж и затем определить второй из этих параметров.

Предположим, что рента – сумма имеет длительность 6 лет, тогда уравнение эквивалентности имеет вид:

Отсюда: .