Основные категории финансово-экономических расчетов
В финансовой математике широко представлены все виды статистических показателей: абсолютные, относительные и средние величины.
В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины:
1. время (n)
2. современная величина (PV),
3. наращенная или будущая величина (FV),
4. процентная ставка (r)
При изложении материала далее используются следующие термины и обозначения:
Fn –Срок погашения долга (англ. number of periods) – интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов – обычно равных по длине подитервалов времени, в конце (или начале) которых начисляются проценты.
Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, день, на которые может устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о предоставлении кредита. Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. В разных странах и даже в разных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-разному.
Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок погашения долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит
N = n • m (1‑1)
FPV – текущая стоимость (англ. present value) – исходная сумма или оценка современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более ранний момент времени;
FFV – будущая стоимость (англ. future value) – наращенная сумма или будущая стоимость, т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;
FI – Процентные деньги (англ. interest[2] money), называемые часто коротко "проценты", представляют собой абсолютный доход от предоставления долга.
I= FV-PV ( 1‑2)
Оценка эффективности финансовых операций по величине процентных денег на практике используется достаточно редко, так сама их величина, не учитывающая фактор времени, мало что может сказать о реальной доходности операции. Необходимо иметь возможность сопоставить ее с темпом обесценивания денег (инфляции) или результатами другой финансовой операции. Поэтому в финансово-экономических расчетах наиболее широко пользуются относительные показатели:
Fr – процентная ставка[3](rate of interest), характеризующая интенсивность начисления процентов за единицу времени,– отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах.
r =I/PV = (FV – PV) / PV ( 1‑3)
Этот коэффициент (r) показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной вложенной суммы, т.е. по существу является базисным темпом роста.
Если соотнести сумму процентов (FV – PV) не с PV, а с будущей стоимостью FV, наращенной по мере присоединения процентов, то получим другую меру эффективности – темп снижения
d = (FV – PV) / FV, ( 1‑4)
называемый учетной ставкой (англ. discount rate), или дисконтный множитель (норма банковского дисконтирования)[4].
Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, а дисконтный множитель ( d) показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.
Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов[5]:
ðв процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:
r = (FV - PV) / PV ( 1‑5)
ðв учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:
d = (FV - PV) / FV ( 1‑6)
При равной величине процентных денег (I=FV-PV) величина процентной ставки выше величины учетной ставки. А в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, – приведенная величина (FV) по процентной ставке меньше ее значения по учетной ставке.
Процентная ставка может быть легко найдена по известной величине учетной ставки
(FV - PV) = d*FV = r*PV ( 1‑7)
r = d*(Fv/PV) (1‑8)
d = r*(PV/FV) ( 1‑9)
Пример 1‑1
Вы заняли сегодня 100 руб., дав обязательство вернуть к указанной дате 120 руб.
Оценим доходность этой сделки для кредитора величинами процентной (r)и учетной (d) ставок, приняв весь период между двумя моментами времени за полный срок договора, приняв его за единицу времени n=1.
Решение
PV = 100 руб., FV= 120 руб., I=(FV – PV) = (120 – 100) = 20 руб., r = 20/100 = 20%, d= 20/120 = 16.67%.
Пример 1‑2
Несколько изменим задание предыдущего примера.
Вы обратились к кредитору с просьбой о займе 100 руб. (PV) на срок 1 год (n=1).
Какую сумму сможет получить кредитор по окончании срока займа, при процентной и учетной ставке =20%?
Решение.
Из формул 2-5 и 2-6 определим величины FV для процентной и учетной ставок:
FVпроц = PV* (1+r) ( 1‑10)
FVучетн = PV/(1-d) ( 1‑11)
Отсюда при r =d =0.2:
FVпроц =100 руб.*(1+0.2) =120руб.
FVучетн=100 руб./(1-0.2) = 125 руб.