Задача условной оптимизации ( линейного программирования).Целевая функция и ограничения. Способы решения задачи условной оптимизации. Компьютерная технология решения задачи условной оптимизации

Линейные задачи являются элементом более широкого класса задач – задач принятия решений при наличии ограничений, которые называются задачами условной оптимизации.

Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачи линейной оптимизации - это тип экстремальных задач, формирующихся линейными функциями и линейными соотношениями. Так или иначе базовой задачей такого рода является задача линейного программирования, т.е. задача поиска экстремума (максимума или минимума) линейной функции при ограничениях в форме линейных неравенств.

Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных ре­шений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества). В процессе решения задачи оптими­зации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум). Таким образом, целевая функция — это глобальный критерий оптимальности в мате­матических моделях, с помощью которых описываются инженерные или экономические задачи.

Набор количественных соотношений между переменными, выражающие определенные требования экономической задачи в виде уравнений или неравенств. Называется системой ограничений.

Модели линейного программирования применяются для нахождения оптимального решения в ситуации распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Например, с помощью модели линейного программирования управляющий производством может определить оптимальную производственную программу, т.е. рассчитать, какое количество изделий каждого наименования следует производить для получения наибольшей прибыли при известных объемах материалов и деталей, фонде времени работы оборудования и рентабельности каждого вида изделий. Большая часть разработанных для практического применения оптимизационных моделей сводится к задачам линейного программирования. Однако с учетом характера анализируемых операций и сложившихся форм зависимости факторов могут применяться и модели других типов. При нелинейных формах зависимости результата операции от новых факторов - модели нелинейного программирования; при необходимости включения в анализ фактора времени - модели динамического программирования; при вероятностном влиянии факторов на результат операции - модели математической статистики.

Линейное программирование имеет дело с оптимизацией моделей, в которых целевая функция линейно зависит от переменных решения. Ограничения также представляют собой линейные неравенства или уравнения относительно переменных решения. Требование линейности означает, что и целевая функция, и ограничения могут представлять собой только суммы произведений постоянных коэффициентов на переменные решения. Искусство математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно больше факторов по возможности простыми средствами. Именно в силу этого процесс моделирования часто носит итеративный характер. На первой стадии строится относительно простая модель и проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из существенных свойств изучаемого объекта не улавливаются данной формальной схемой. Затем происходит уточнение, усложнение модели.

В большинстве случаев первой степенью приближения к реальности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, предполагаются линейными. Здесь имеется полная аналогия с тем, как весьма важна и зачастую исчерпывающая информация о поведении произвольной функции получается на основе изучения ее производной -- происходит замена этой функции в окрестности каждой точки линейной зависимостью. Значительное количество экономических, технических и других процессов достаточно хорошо и полно описывается линейными моделями.

Можно выделить два типа задач оптимизации — безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции от действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве а n-мерного пространства.

Условные задачи оптимизации,илизадачи с ограничениями, — это та­кие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограниче­ния) на множестве а. Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения равенства выражают зависимость между проектными параметрами, которая должна учитываться при нахождении решения. Эти ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов, финансо­вые требования и т. п.