Понятие о живых фигурах

Информация о том, что числа и геометрические фигуры делятся на живые и неживые, время от времени появляется в разнообразной эзотерической литературе. Общим недостатком этой информации является отсутствие однозначных критериев отличия живых чисел и фигур от аналогичных, но неживых. Какое качество, а может быть, какие качества способны придавать таким абстрактным понятиям, как число и геометрическая фигура, свойства, признаваемые за живыми и неживыми телами, в этих публикациях не сообщается. Но все же за этой информацией скрывается истинность, до поры нам не известная. Ниже я изложу свое понимание живого и неживого соотношения между фигурами-абстракциями, а сначала остановлюсь подробнее на статье «Серебряное сечение» А. Чернова [18], по-видимому, одной из последних попыток связать золотое сечение с живыми фигурами (живым квадратом) посредством введения понятия «серебряное сечение» как отображение связи золотого числа Ф с числом π .

Начну с определения понятия «серебряное сечение» в [18]: «серебряное сечение - это когда целое относится к меньшему отрезку как длина окружности к ее диаметру».

Это очень красивое определение, напоминающее определение понятия «золотая пропорция», страдает по меньшей мере двумя недостатками: во-первых, длина окружности, которая неявным образом вводится как понятие «целое», не является целым, т.е. большим отрезком, частью которого является «меньший» отрезок — диаметр; во-вторых, они качественно несопоставимы по своим функциям (диаметр — всегда перпендикуляр к окружности), а потому несоразмерны, что и отражает их трансцендентное частное π .

К тому же, вышеприведенное определение есть трансформация более известной истины «отношение длины одной окружности к ее диаметру всегда равно отношению длины другой окружности к своему диаметру». Пропорции тут не получается, да и решение у этого отношения единственное (?), а не восемь, как у золотой пропорции.

И все же, не обращая внимания на эту неточность, следует отдать должное оригинальности подхода автора к проблеме, привлечению в качестве аргументации разнообразного, достаточно доказательного, материала — от «Слова о полку Игореве» и стихотворений А.С.Пушкина до семицветия И.Ньютона и плана церкви Успения XII века в Старой Ладоге. Последний является основным и определяющим аргументом автора в доказательстве существования живого квадрата и серебряной пропорции. Поскольку на плане церкви Успения нанесены, как считает А. Чернов, размеры восьми саженей, являющихся исходной точкой в аргументации автора, посмотрим, какие можно сделать выводы из анализа

Рис. 14. План церкви Успения в Старой Ладоге. Мерный ангел живого квадрата на плане церкви Успения [18]предлагаемого плана.

Автор полагает, что древний зодчий нанес на план размеры восьми единственных эталонных (статичных) саженей, которыми пользовались новгородцы (напомню, что у Б.А. Рыбакова таких и тоже единственных саженей семь), и сопровождает план 'вычислениями с точностью до миллиметров (которыми новгородцы не пользовались), доказывающими знание зодчими чисел π и Ф. Приведу для наглядности эти вычисления:

«КсВ — косая великая сажень — 2,484 м (диагональ квадрата со стороною МХ).
СБ — сажень большая — 2,157 м (рост человека (?) с поднятой рукой).
КН — косая новгородская по трости 2,005 м (уменьшенная на 4 мм диагональ квадрата со стороной ТК).

МХ — маховая, она же мерная — 1,756 м (размах рук). РС — ростовая сажень - 1,705 м. ТС - темная сажень - 1,589 м (диагональ полуквадрата со стороной ТК). ТК — тмутараканс-кая, она же малая — 1,421 м (два шага (?) или от основания шеи до земли (?). (Знак вопроса поставлен мной — А. Ч.)

КсЧВЕ и ТНОК — квадраты;
АГВЕ — живой квадрат
АГ : РС = 2Ф : π = 1,03...

Если 4 : π = √5 : МХ, то МХ = π √5 : 4,
(2МХ + КН) : МХ = π .

Отношение парных саженей:
МХ : ТК = √5 - 1 ; СБ : РС = Ф² : π ² + 1 ; 2) ;
КсВ : КН = √2 : (π - 2); СЧ : ТС = √5 - 1 .

Эти вычисления легко производить, оперируя метрическими размерами саженей и используя знания современных вычислительных методов. Если же вспомнить, что метричность в XII в. отсутствовала и зодчий тех времен никогда ничего не измерял и тем более арифметически не делил (самые просвещенные умели делить табличными методами целые числа на целые), оперируя целыми отрезками саженей, величиной до вершка, то все построения автора становятся сомнительными. Вершки для проведения проделанных выше расчетов совершенно не подходят. Однако метод, который применяет зодчий, практически повторяет построение рассмотренных выше «вавилонов» Б. А. Рыбакова.

Следует отметить, что важнейшим аргументом автора в доказательстве существования живого квадрата является наличие на схеме линии АГ, уменьшающей длину стороны КсЕ квадрата КсЧВЕ примерно на 3%. Эти 3% и составляют разницу между длиной маховой сажени и ростовой сажени. На них же в среднем отличается размах рук человека от его роста. И именно они, по мнению автора, способствуют образованию живого квадрата АГВЕ. Но какова роль живого квадрата на этой схеме? И для чего он вообще предназначался, как и вся схема? Остается неясным.

Я полагаю, что перед нами наглядное пособие. Разбивочный чертеж, выполненный применительно к некоторым саженям или их элементам, который демонстрировал ученикам зодчего простейший способ перехода от симметричной прямоугольной формы к асимметричной косоугольной посредством применения прямоугольных треугольников. Об этом говорит линия СГ, которая, если следовать логике автора, должна быть девятой саженью, но является элементом прямого угла БГС. Об этом свидетельствует прямая БГ, которую можно было бы посчитать за половину сажени. Об этом свидетельствует смещение на плане конструктивных элементов относительно общепринятого центра симметрии СБ.

Фигура ангела является не только некоторым эталоном построения саженей, но и как бы показывает, что асимметричное построение плана не нарушает соразмерности всего сооружения и даже облагораживает его.

И вот здесь-то встает вопрос: Зачем зодчему портить красивое симметричное сооружение приданием ему асимметричной формы? Чего он добивался асимметрией? И что поразительно, не он один.

А.Чернов правильно отметил, что КсЧВЕ является квадратом, а АГВЕ — живым квадратом (ниже это будет рассмотрено подробнее), но не придал значения тому, что, вводя асимметрию между квадратом и живым квадратом (правая стена храма сдвинута относительно левой именно на их разницу), зодчий дополнительно превращал внутренний объем церкви из холодного неподвижного (неживого) в теплое живое. Он вводил в неподвижные конструкции элемент движения человеческого восприятия (и не только зрительного), тем самым оживляя и усиливая их.

Человек, находящийся в любой точке внутри такой конструкции, не замечает асимметрии, она как бы растворяется в объеме, но чувствует, созерцая помещение, некоторое движение объема, его постоянное изменение, как бы дыхание. И это полуинтуитивное воздействие успокаивает его, создает душевный уют и тем приближает его к Богу.

Что касается саженей, то на плане отображены, с точностью до полвершка, т.е. практически без нарушения соразмерности, две группы саженей. Запишем их в сопоставлении с саженями из матрицы 2 (первая строка сопоставления):

2,176;	1,76;	1,442;	2,440;	1,974;	1,597;
2,157;	1,756;	1,421;	2,484;	2,005;	1,589;
		1,963.

Совпадение для соразмерных, но несоизмеримых безэталонных, инструментов просто поразительное. Разница только в двух случаях превышает 2 см. И только одна ростовая сажень выпадает из этого ряда. Если же взять вершок маховой сажени 0,055 м и отнять от сажени народной 1,76 м, то получим точный размер так называемой ростовой сажени 1,705 м. Не так ли была получена данная сажень? Или это снова очередное совпадение?

Но вернемся к живым фигурам. Проведем на листе линию 1 и попросим несколько человек определить ее длину без применения измерительного инструмента (рис. 15).

В зависимости от тренированности человека ошибка в определении длины в среднем будет находиться в пределах 1,5-10%. Проведем недалеко от нее другую линию примерно на 3-5% длиннее первой и попросим тех же людей определить, которая из линий длиннее. Большинство правильно определят линию большей длины, хотя могут оказаться и такие, для которых линии будут иметь одинаковые длины.

Рис.15. К определению длин

Теперь можно, изменив фон, окружающий линию 2 (например, множеством параллельных штрихов вокруг нее), создать впечатление, что ее длина изменилась, и количество ошибок при определении большей длины возрастет. И хотя собственная длина линий не изменилась, большинство из созерцающих будут констатировать кажущееся изменение длины той из них, у которой меняется окружающий фон.

Таким образом неподвижные линии постоянной длины становятся как бы движущимися, изменяющими на изменяющемся фоне свою длину, и изменение это будет четко фиксироваться в пределах 1,5-4,5% от их длины. А это, вероятно, и есть те параметры, которые характеризуют живые фигуры и которые неоднократно встречаются в строительных композициях.

Исходя из этих соображений попробую дать определение живому квадрату: Живой квадрат — это та переходная граница, которая отделяет восприятие квадрата от прямоугольника. Точнее, это такая фигура, которая еще не квадрат, но и, уже не прямоугольник. Живой квадрат имеет как бы подвижные грани, движение, а следовательно, живет. Живое - это, подвижное. Неживое — неизменное, статичное. Живое - это процесс. А процесс символизируют древние сажени. Вот мы снова вернулись к ним. Тем более, что ранее было опущено рассмотрение раздвоения саженей на 6 частей, тогда как в старину чаще делили на 7. Чем же было вызвано нарушение традиций?

Возьмем, например, ту же казенную сажень и разложим поэлементно: сажень — 217,6см, полсажени — 108,8см, локоть — 54,4см, пядь — 27, 2 см, полпяди — 13, 6 см, вершок — 6,8 см. Все. Сложим их за исключением сажени:
108,8 + 54,4 + 27,2 + 13,6 + 6,8 = 210,8 см.

Для получения полной длины сажени не хватает ровно одного вершка. А вершок это 1/32 часть сажени:
6,8 : 217,6 х 100 = 3,125% .

Таким образом, длина вершка составляет 3,125% от длины сажени. Округленно те же самые 3%, которые образуют живой квадрат церкви Успения и на которые размах рук человека больше его высоты. Случайно ли это совпадение или перед нами «потаенный» седьмой вершок? Вершок, свидетельствующий, что сажень есть процесс, а не инструмент для измерения. И не потому ли, что он составляет 3% сажени, на нем заканчивается раздвоение саженей?

Но, возможно, иное. Добавление к сажени вершка приводит к такому ее наращиванию, которое зрительно воспринимается как начало изменения длины сажени. Добавление второго вершка фиксируется уже как переход сажени к другому размеру. Отсюда можно предположить, что изменение длины сажени в сторону увеличения или уменьшения на полвершка не оказывает существенного влияния на ее соразмерность другим саженям и в то же время становится началом изменения стандарта сажени или фигуры. Это обстоятельство позволяло древним строителям работать с деревянными саженями, концы которых очень быстро истираются. Да и на плане церкви Успения, быть может, отложены именно «поработавшие» сажени, а более вероятно — сумма вершков различных саженей.

По предположению А.А. Пилецкого [10], вершок является модулем зрительного отличия самой сажени от ее интуитивно воспринимаемой длины. Модулем соблюдения соразмерности инструментов, расплывчатой границей перехода неживой фигуры в живую.

Здесь к месту привести еще одну из особенностей применения на Руси древних саженей. Разбивку объекта с их помощью проводили так, что длина замерялась одной саженью, ширина — другой, высота — третьей, внутренняя планировка — четвертой. И каждый размер вмещал в себя целое число саженей или их элементов. Чем обусловливалась такая методика и что она обеспечивала, пока неизвестно. Но в качестве некоторого намека на объяснение можно рассмотреть соразмерность двух прямоугольных треугольников: ранее построенного золотого треугольника с фиксированными сторонами а = 1,272; б = 1,618; с = 2,057 и священного египетского треугольника со сторонами а' = 3; б' = 4; с' = 5.

Какие обстоятельства способствовали освящению треугольника 3:4:5, неизвестно тоже, но на интуитивном уровне чувствуется, что между ними есть какая-то противоположная общность, какая то-связь, обусловливающая некоторый антагонизм в существовании холодных чисел золотого треугольника и веселых, теплых чисел священного.

Еще раз вернемся к матрице А.А. Пилецкого. Она записана в форме, определяющей взаимосвязь системы саженей и их элементов. Но, как показано в [19], основой этой матрицы является русская матрица, построенная на системе восходящих и нисходящих ветвей золотого ряда. Приведу фрагмент русской матрицы (матрица 12).

Отмечу, что центр фрагмента матрицы 12 занимает базисная единица 1 (т.е. число, качественно отличающееся от всех других чисел матрицы), а по диагонали от нее слева направо снизу вверх идет восходящая ветвь золотой пропорции. По той же диагонали от базисной единица 1 вниз идет нисходящий ряд той же пропорции. Диагональ, проходящая через базисную единицу 1 слева направо снизу вверх, называется главной диагональю. По вертикали вверх от базисной единица 1 ряд чисел удваивается, а вниз раздваивается. Это свойство матрицы и отображает принцип разделения древних саженей на элементы.

Обратим внимание на то, что главная диагональ пересекает вертикальный ряд чисел под углом 45°, образуя вместе с другой диагональю, вертикальным и горизонтальным рядами фигуру двойного креста (выделен на матрице 12 серым цветом). Базисная же единица 1, является, по-видимому, отправной величиной, например в древнеегипетском каноне. Числа 10, 100, 1000, ...,91, 991, 9991, ... становятся для них базисными, т.е. качественно отличными от других «рядовых» иррациональных чисел в тех структурах, в которых они проявляются. Первая цифра по главной диагонали вверх от базисной единицы в = Ф — золотое число. Числа a и с на этой диагонали отсутствуют. Однако, как показано выше, они связаны с числом Ф пропорцией:
а⁶ = b³ = Ф³ = с²
(см. раздел «Элементы золотых пропорций) и потому являются элементами одной последовательности, не входящей в ряд главной диагонали. Эта последовательность и становится, видимо, эталоном измерения параметров геометрической фигуры (в данном случае золотого треугольника), не изменяющей внутренних пропорций элементов при степенном изменении каждого параметра. Другими словами, каждый параметр золотого треугольника есть величина, образованная каким-то одним, общим для всех, статичным числом — эталоном. И длина каждого параметра по модулю
равна эталону, возведенному в некоторую степень. Например, параметры золотого треугольника могут быть образованы числом-эталоном 1,04929... . Тогда 1.049⁵ = 1,272 — один катет треугольника, 1,049¹⁰ = 1,618 — другой катет и 1,049¹⁵ = 2,058 — его гипотенуза.

Матрица 12

15,11	12,22	9,888	8,000	6,472	5,236	4,236
7,554	6,111	4,944	4,000	3,236	2,618	2,118
3,777	3,056	2,472	2,000	1,618	1,309	1,059
1,888	1,528	1,236	1,000	0,809	0,654	0,529
0,944	0,764	0,618	0,500	0,404	0,327	0,264
0,472	0,382	0,309	0,250	0,202	0,164	0,132
0,236	0,191	0,154	0,125	0,101	0,082	0,066

Таким образом, основным отличием неживых фигур от живых становится соразмерность образующих их параметров какому-то неявному эталонному рациональному или иррациональному размеру. «Живой» является такая фигура, параметры которой несоразмерны никаким явным или скрытым эталонам.

Учитывая данное обстоятельство, сопоставим в абсолютных значениях, насколько и в чем отличаются друг от друга золотой и священный египетский треугольники, приведя сначала к единому базису модуль их малого катета. Для этого все модули сторон разделим на величину их малого катета:

Золотой треугольник	Египетский священный треугольник
а = 1;	a1 = 1;
b = 1,272... ;	b1 = 1,333... ;
c = 1,618	с1 =1,666...

Приведение к единому размеру египетского треугольника показывает, что его больший катет и гипотенуза представляют бесконечную рациональную дробь, округленную до целых чисел: 3,9999... = 4, 4,99199... = 5. Такие же стороны золотого треугольника тоже представляют бесконечную, но иррациональную дробь. Стороны этих двух треугольников имеют между собой некоторое математическое родство. Но если в золотом треугольнике между модулями большого катета и гипотенузой имеется степенная зависимость, то в египетском такая зависимость отсутствует, а следовательно, отсутствует и единый степенной эталон измерения параметров каждой из сторон. Определим, насколько отличаются синусы углов α₁ и α:

Оказывается, что синусы углов данных треугольников различаются на те же 3%, на которые отличается живой квадрат от неживого, но в меньшую сторону для египетского треугольника. А это и есть свидетельство его принадлежности живым фигурам.

И хотя египетский живой (и, по-видимому, поэтому священный) треугольник образуется умножением всех сторон треугольника авс на 3 и округлением до целых чисел, соразмерных метру, эти операции не отражаются на пропорциях его сторон и не приводят к появлению эталонного размера.

Между тем использование в проектировании фигур стандартного метра в качестве единого измерительного инструмента для определения начальных параметров объектов способствует неявному появлению в этих параметрах эталонных размеров, а следовательно, и превращения образованных ими фигур, а вместе с ними и будущих объектов, в неживые, вредные для проживания людей объекты. Нельзя исключить также, что эталонные размеры образуются не только как степенные величины, но и как интегрированные единичные элементы длины. Видимо, по этой причине древние зодчие и проектировали различные параметры сооружений каждый своей мерой — саженью, поскольку, как было показано ранее, сажени несовместимы ни с каким эталоном длины. А потому при соизмерениях саженями никогда не образуют ни явных, ни неявных эталонных величин. И надо согласиться с А.Черновым [18]: «Метр — гениальное изобретение, но он годится только для измерения уже найденных пропорций. Не больше!». И добавить:

Проектировать и строить на основе метра нельзя!