I. Состояние знаний о проекционных методах до Монжа

До Монжа строители, художники и ученые обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и все же только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки. Поэтому, прежде чем приступить к анализу его трудов, познакомимся предварительно, в самых кратких чертах, с историей развития этих знаний до Монжа.
Корни происхождения начертательной геометрии следует искать у культурных народов в глубокой древности; эта наука возникла из практических потребностей человека. Строительство храмов, дворцов, жилищ, земледелие, живопись уже в Древнем Египте побудили создавать элементарные приемы, может быть наивные с нашей точки зрения, без которых специалисты этого дела не могли обходиться. Древние папирусы, лапидарные рисунки на граните, сохранившаяся стенная живопись дают нам образцы пользования проекционными методами. До нас дошли планы городов, планы с фасадами зданий, планы поместий знатных персон и др.
Надо думать, что древние египтяне своей практикой закладывали первые кирпичи в будущее грандиозное строительство позднее сформировавшейся науки.
Рассмотрим некоторые примеры. План и фасад здания, довольно точные по масштабу, являются прообразом горизонтальной и вертикальной проекций объекта проектирования. Изображение дома с садом зажиточного египтянина или изображение дворца придворного выполнены так, что с планом отдельных частей (ворот, колонн и пр.) совмещается фасадный вид по образцу планов боярских угодий, встречаемых нами в древнерусских допетровских крепостных документах.
Что это такое, с точки зрения современного состояния науки начертательной геометрии?
Это — пример на приложение способа перемены плоскостей проекций. Многочисленные «плоские» рисунки египетских художников представляют собою декоративную орнаментировку стен и являются ортогональной вертикальной проекцией фигур, взятых в наиболее характерном для их вида положении (так сказать, главный вид, по нынешним ОСТ). Для изображения глубин египтяне размещают такие плоские проекции, без изменения масштаба высоты и ширины, одна за другой, с некоторым небольшим сдвигом в сторону. Так изображаются шеренги всадников, воинов, рабов в процессиях и т. п. Этим заложена, с современной нам точки зрения, «научная база» фронтальной аксонометрии с аксонометрическими осями, расположенными так, что обе горизонтальные оси составляют продолжение одна другой. Это показывает, что при выполнении изображений египтяне бессознательно удаляли точку зрения в бесконечность, создавая параллельные проекции. Только впоследствии, много веков спустя, начали изображать глубину со сдвигом в сторону и вверх, чтобы показать, например, море человеческих голов, верх предмета и т. п.
Около 1000 лет до н. э. был построен изумительный по архитектуре храм Соломона в Иерусалиме. Если верить библейскому преданию, то при построении храма были употреблены обтесанные камни: «ни молота, ни тесла, ни всякого другого железного орудия не было слышно в храме при строении его». Иначе говоря, сложной формы камни обтесывались заблаговременно. Для этого требовался рисунок (проект) с показанием формы и размеров. Вопрос об обтеске строительных камней и разрезке в дальнейшем будет играть немалую роль в истории создания начертательной геометрии.
У античных народов и народов Древнего Востока мы находим первые шаги к научному обоснованию перспективы, а также высокохудожественные образцы рельефной перспективы. «Оптика» Евклида (около 300 лет до н. э.) содержит 12 аксиом и 61 теорему об условиях «видения» Предметов. В первой аксиоме Евклид утверждает, что «лучи зрения, исходящие из глаза, идут по прямой линии, каково бы ни было расстояние». Принятие этого ошибочного положения, однако, не изменит верных результатов, получаемых из нынешней теории геометрической оптики при построении изображений как на сетчатой оболочке в глазу человека, так и на мольберте художника, т. е. на плоскости проекций. В своих аксиомах Евклид довольно близко стоит на пути к обоснованию перспективного изображения как конической (центральной) проекции, однако определенно им это еще не высказано.
Древнеримский архитектор Витрувий в 11 г. до н. э. посвятил императору Августу свое сочинение «Десять книг об архитектуре», в котором излагает способ изображения сооружения в архитектурном проекте следующими словами: «Виды расположения следующие: ихонография, ортография и сценография. Ихонография есть надлежащее и последовательное применение циркуля и линейки для получения очертания плана на поверхности земли. Ортография есть вертикальное изображение фасада и картина внешнего вида будущего здания, сделанная с надлежащим соблюдением его пропорций. Равным образом сценография есть рисунок фасада и уходящих вглубь сторон путем сведения всех линий к центру, намеченному циркулем. Все это начинается с размышления и изображения. Размышление есть старательность, полная усердия, трудолюбия и бдительности, ведущая к желанному исполнению предприятия, а изображение есть разрешение темных вопросов и разумное обоснование нового предмета, открытого живой сообразительностью. Таковы определения видов изображения».
Из этих слов мы видим, что Витрувий говорит о плане и фасаде как об обязательных составных частях проекта здания. Более того, он говорит о перспективном изображении, при котором все уходящие вглубь горизонтальные линии имеют точку схода, т. е. о некоторых правилах практического построения перспективы. Теоретического доказательства не излагается, да и вряд ли оно было тогда известно, так как перспектива не закончила еще в своем развитии «наблюдательного» периода. Примеры такого рода перспективных изображений можно видеть на современных Витрувию образцах стенной росписи домов Помпеи, близкой к архитектурным мотивам. Они представляют собою «фронтальную» перспективу, не лишенную ошибок.
Не останавливаясь на более раннем, чем евклидовская «Оптика», сочинении Элеодора Ларисского («Оптика») и еще более раннем сочинении Птоломея, касающихся наглядной перспективы, отметим, что Средневековье не оставило нам документов, свидетельствующих о заметном развитии проекционных методов. В Средние века стереотомия (обтеска камней) являлась цеховой тайной.
Эпоха Возрождения связана с оживлением научной мысли в этой области. Ряд блестящих умов этой, эпохи — Пьетро де-ля-Франческо дель-Борго, Лоренцо Гиберти, Леон Баттиста Альберти, Леонардо да-Винчи, Виатор, Альбрехт Дюрер, Микель Анджело, Виньоль и другие славные имена — заложили прочные основы в теории перспективы.
Флорентийский скульптор Гиберти (1387—1475) в «III комментарии» разбирает оптику, т. е. перспективу, анатомию и пропорции. Автор стремится найти объективные законы перспективного построения. Итальянский живописец Пьетро дель-Борго (1406—1492) в сочинении о перспективе в живописи (1458) впервые дает научное определение перспективы как конической проекции предмета, получаемой «пересечением конуса видимости с картинной плоскостью». Повидимому ему, как и Перуджи, были известны сведения о точках расстояния, а также о точках схода линий, перпендикулярных картине. Итальянский многосторонний ученый и художник Альберти (1404—1472) дает способ практического построения перспективы посредством сетки. В «Трактате о живописи» великого Леонардо да-Винчи (1452— 1517) в труде, как предполагают, компилятивном, содержатся заметки о различных правилах построений перспективных изображений, как-то: масштаб глубины, наилучший угол зрения, воздушная перспектива, построение купольной перспективы, монокулярное и бинокулярное зрение, горизонт картины и др. Виатор (1505) дает строгое построение перспективы, пользуясь зеркально расположенным планом, центральной точкой (ошибочно называемой им точкой зрения) и точками расстояния как точками схода линий, параллельных диагоналям основного квадрата. Альбрехт Дюрер (1471 —1528) излагает весьма остроумный способ построения перспективного изображения по заданным двум ортогональным проекциям: вертикальной и горизонтальной. Этот способ не потерял своего значения и до настоящего времени. Виньоль (1507—1573) в сочинении «Два правила перспективы» (Рим, 1583) пользуется не только точками схода линий, параллельных горизонтальным диагоналям квадрата, но и параллельных диагоналям боковых граней куба, т. е. несколько расширяет сведения о точках схода перспектив параллельных линий.
Картины художников эпохи Возрождения отличаются строгой точностью соблюдения правил перспективы, и если у знаменитых Микель Анджело и Рафаэля Санцио наблюдаются иногда отступления от этих правил (несколько точек зрения), то это делается ими сознательно, дабы выделить отдельные части картины для самостоятельного рассматривания.
Прогресс научных знаний в области перспективы, завоеванных человечеством в эпоху Возрождения, касался основ теории проекционных методов. Эта теория развивалась, преимущественно исходя из практических требований живописи. Стремление дать верное изображение принуждало живописца исследовать геометрические законы живописи; отсюда и возникло учение о перспективе. В первой четверти XVI столетия это учение получило достаточное научное развитие, обеспечивая основные запросы практики. Перспектива развивалась замкнуто от других проекционных методов. И если Альбрехт Дюрер дал способ, основанный на использовании ортогональных проекций, то все иге его способ не устанавливал научного единства связи между этими проекционными методами.
Наконец, несмотря на геометрическую основу теории линейной перспективы, данный метод не являлся отделом математики, а относился к области графики, так как он вытекал из совокупности условий: объект проектирования, глаз, плоскость проекций. К тому времени теория перспективы как научный метод основывалась на следующих положениях, сохранившихся и до настоящего времени: а) монокулярное ть зрения, заключающаяся в том, что построение перспективного изображения на картине и рассмотрение этого изображения делается в предположении одноглазого зрения; б) постоянство точки зрения, состоящее в том, что глаз предполагается неподвижным относительно предмета и картинной плоскости как при построении изображения, так и при рассматривании его; в) единство момента времени (застывшая картина положения объекта в данный физический момент), т. е. на картине не могут быть изображены несколько положений, соответствующих разным моментам времени.
Развитие метода ортогональных проекций шло своим собственным путем, исходя преимущественно из потребностей строительного дела. Как указано выше, Дюрер для надобностей живописи использовал ортогональные проекции в качестве вспомогательного средства. Его мощный ум решил задачу на построение теней от куба таким же способом, как то делается и в настоящее время. Однако при решении этой задачи, как и других рассмотренных им (проекции винтовых линий, конических сечений и др.), он не дал общей идеи проектирования.
Мы уже указывали, что вопрос о разрезке строительных камней сыграл большую роль в развитии начертательной геометрии. Проектирование формы камней и построение необходимых чертежей требовало определенных точных знаний. У самого Дюрера на его известной гравюре «Меланхолия» изображен на видном месте большой обтесанный камень замысловатой формы и женская фигура с циркулем в руках.
Филиберт Делорм в своем «Курсе архитектуры» (1576) впервые дает правила разрезки камней. В сочинении Деранда «Архитектура сводов или искусство начертания и разрезки сводов» излагаются вопросы о пересечении поверхностей, об определении истинного вида фигур, о перемещениях и развертках. О разрезке камней говорится также в сочинениях Жусса (1642), Дешаля (1672), Франсуа Деранда в его труде «Архитектура сводов во Франции» (1643), где даются практические правила и шаблоны (без доказательств).
В XVII—XVIII столетиях предшественниками Монжа являются французский математик и архитектор Дезарг из Лиона (1593—1662), Делярю (1728) и французский военный инженер Фрезье (1682—1773). Дезарг оставил нам сочинения: «Курс перспективы», «О конических сечениях», «Общий способ практического построения перспективы», изданный его даровитым учеником Боссом.
Достаточно было бы ограничиться этим перечнем и вспомнить о духовной мощи автора, чтобы понять, какой вклад в науку мог сделать Дезарг. Он дал общий способ определения вида поверхностей сводов, правда, трудно усваиваемый практиками, делавшими вследствие этого немало ошибок. Он высказал мысль о родственности различного рода проекционных методов и, наконец, дал свою теорию построения перспективных изображений (способ большой картины).
Точными чертежами Деларю пользовались позднее даже в Политехнической школе в Париже.
Попутно упомянем, что Гвидо Убальди (1545—1607) еще в 1600 г. опубликовал способ построения перспективы, близкий к современному, известному под названием метода архитекторов. Назовем также Баттаца, который дал способ, называемый способом зеркальных фигур (1644) для перспективных изображений.
Французский военный инженер Фрезье (1682—1773) представляет собою самого крупного автора из предшественников Монжа. Его двухтомное сочинение «Теория и практика разрезки камня и дерева или руководство по стереотомии», вышедшее в Страсбурге в 1738—1739 гг., излагает теорию (1-й том) и практику дела (2-й том). Он пользуется ортогональными проекциями, уподобляя процесс проектирования точки падающей чернильной капле. Проектирование ведется на две плоскости: горизонтальную (ихонография) и вертикальную (ортография). Кривые поверхности и особенно «косые поверхности» он рассматривает как образованные движением производящих. Построение линии пересечения поверхностей он ведет посредством вспомогательных секущих параллельных плоскостей. Затем излагаются правила развертки поверхностей многогранников и кривых поверхностей.
В своих работах Фрезье подвел итог работам своих предшественников как в области теории, так и в отношении практических приемов.
Другие виды проекционных методов, как-то: аксонометрия и проекции с числовыми отметками, занимающие промежуточное место между перспективой и ортогональными проекциями, развивались попутно как в живописи, так и в инженерном деле. «Вольная», свободная перспектива облегчала построение наглядных изображений. Она нашла себе богатое приложение в «миниатюрах», иллюстрирующих древние рукописные книги, при изображении планов городов, монастырей, земельных угодий и пр.
Таков, вкратце, очерченный итог знаний о проекционных методах, полученный в наследство поколением Монжа. Итог немалый и не безызвестный Монжу.
В чем же заключаются заслуги его как творца начертательной геометрии? Прежде, чем перейти к изложению этого вопроса, отметим еще раз то, что показывает изложенная нами предистория развития этой науки, а именно, что она вытекала из узких практических потребностей, что развитие это шло отдельными ветвями, что задачами всех этих ответвлений являлось получение изображения (т. е. графические цели), что адептами этой научной области были практики-инженеры, архитекторы и живописцы и что сам гениальный Монж, будучи великим математиком и инженером, рассматривал свою начертательную геометрию не как математику, а как область графики, для которой математика служила подсобным средством. Изречение Монжа «чертеж — язык техника» говорит о прикладном значении, которое Монж придавал той науке, создателем которой сам и явился.
Изложенная предистория развития проекционных методов относилась к тем странам, сведениями о которых, вероятнее всего, располагал Монж. Мы поэтому не упоминали о том, как обстояло дело в нашей стране. Однако это не значит, что в Древней Руси и в Московском государстве не было ничего примечательного в этой области. Наоборот, изучение памятников Древней Руси показывает, что проекционные методы были самобытны и что по мере накопления опыта они постепенно совершенствовались от наивных примитивов до форм, приближающихся к строго научным в современном нам смысле слова. К таким памятникам относятся: монументальная живопись, фрески, миниатюры рукописных книг. Фрески Новгородской школы XIV—XV столетий, изумительные по своей художественности картины Рублева, Дионисия и др. содержат композиции архитектурного характера, близкие к «вольной» фронтальной перспективе или же изометрии, но они являются только приближением к точным проекциям. Единства — проектирования, момента времени и точки зрения — не соблюдались.
Московская старина XVI века богата памятниками графики, в особенности миниатюрами. В эту эпоху перед мастерами графики практика выдвинула трудные задачи композиции, и мы наблюдаем продолжающееся совершенствование проекционных методов. Книгопечатание этому способствовало.
Окончательное закрепощение крестьян, жалованье боярам поместий вызвало необходимость актов на закрепление имений. Создавались планы угодий, монастырских владений и др., основанные на землемерии. Сильная централизация административного управления нуждалась в географических картах и планах городов. Точные чертежи требовали определенного уровня технической графики. Упомянем о дошедших до нас планах городов: Пскова, «Годунов» чертеж Москвы 1619 года, план Тихвинского монастыря, «чертежная книга городов и земель Сибири» (1701 г.), — атлас, составленный Ремезовым по указу Петра I.
В перечисленных памятниках проекционные методы еще более совершенствовались, применяя способы изображения во фронтальной аксонометрии и метода перемены плоскостей проекций для показания плана и фасада. По ним можно судить даже о технических конструкциях бревенчатых срубов зданий.
В XVIII веке искусство проектирования и техника выполнения конструктивных чертежей достигла высокого совершенства. Чертежи изобретателя-самоучки И. П. Кулибина представляют совершенно правильные с точки зрения начертательной геометрии ортогональные проекции конструкции, млогочисленных его изобретений, хотя к этому времени наука эта еще не была опубликована Монжем.
Все это свидетельствует о том, что ко времени опубликования Монжем его труда у нас уже был накоплен большой запас знаний, так или иначе связанных с начертательной геометрией, и освоение новой науки не встретило затруднений, так как почва уже была подготовлена собственными трудами русских ученых и практиков.