В архитектурном проектировании

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕНЯХ В АРХИТЕКТУРНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ……………………………………………….
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ……………………..
3. ТЕНЬ ТОЧКИ…………………………………………………………
4. ТЕНЬ ПРЯМОЙ ЛИНИИ…………………………………………….
4.1. Тень горизонтально-проецирующей прямой................................
4.2. Тень фронтально-проецирующей прямой………….....................
4.3. Тень прямой, параллельной плоскости проекций………………
4.4. Тень прямой общего положения…………………………………
5. ТЕНИ ПЛОСКИХ ФИГУР …………………………………………..
6. ТЕНИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ…………………………………...
6.1. Тени многогранников……………………………………………..
6.2. Тени объемных тел, ограниченных кривыми поверхностями…
6.2.1. Тень цилиндрического тела……………………………….
6.2.2. Тень конического тела…………………………………….
6.2.3. Тень шара…………………………………………………..
6.2.4. Тень произвольного тела вращения……………………...
7. ТЕНИ ФРАГМЕНТОВ ЗДАНИЙ …………………………………...
7.1. Тени в нишах ……………………………………………………...
7.2. Тень козырька……………………………………………………..
7.3. Тень кронштейна………………………………………………….
7.4. Тень от абаки на колонну…………………………………………
7.5. Тень на лестнице…………………………………………………..
7.6. Тень трубы…………………………………………………………
7.7. Тень от одного фрагмента здания на другой……………………
7.8. Тень здания……………………………………………...................
7.9. Выполнение отмывки вручную…………………………………..
8. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРСПЕКТИВЕ………………..………
8.1. Аппарат линейной перспективы…………………………………
8.2. Перспектива прямых линий………………………………………
8.3. Перспективный масштаб. Дистанционная точка………………..
8.4. Перспектива плоской фигуры, лежащей в предметной плоскости…………………………………………………………………
8.5. Рациональный выбор элементов перспективы………………….
8.6. Перспектива объемного объекта…………………………………
8.7. Построение теней в перспективе………………………………...
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………..
ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………………..
1. Образец выполнения первого задания……………………………..
2. Образец выполнения второго задания……………………………..
3. Варианты индивидуальных заданий ………………………………

Общие сведения о тенях

Тень точки

Простейшим геометрическим объектом является точка. Какую же точку следует иметь в виду, чтобы вести речь об ее «тени»? Одни авторы учебников по теории теней предлагают считают точку материальной, другие геометрическое тело уменьшают до размеров точки (но точка нульмерна!), чтобы дать понятие луча.

На наш взгляд, поскольку речь идет о геометрии теней и на чертежах выполняются геометрические построения, точку и ее проекцию (центральную или параллельную) следует считать математической. Понятно, что у такой точки тени быть не может. «Тень» точки как таковой в реальном мире не наблюдается. В то же время падающая тень какого-либо объекта, например здания, принимая цвет объекта (только более интенсивный), хорошо видна при ярком солнечном освещении и граница тени (линия) отсутствует, что согласовывается с математическим понятием линии. Поэтому тенью точки будем считать точку пересечения светового луча
с какой-либо плоскостью или поверхностью, (придавая ей только геометрический смысл). В дальнейшем понятие «тень» точки будем употреблять без кавычек.

Рассмотрим построение тени точки в ортогональных проекциях. Пусть даны чертежи двух точек А (рис. 7). Заметим, что первая точка имеет меньшую аппликату и большую ординату, следовательно, она ближе расположена к плоскости Н и отстоит дальше от плоскости V по сравнению со второй. Проведем в пространстве световой луч через точку А (а, а').

Фронтальная проекция луча пройдет через точку а', а горизонтальная –через точку а на основании свойства параллельных проекций.

Рис. 7. Условие задачи

Поскольку в первом случае точка А ближе к плоскости Н (земле)
и дальше находится от плоскости V (стены) – пересечение луча произойдет с горизонтальной плоскостью проекций. Во втором случае – с плоскостью V (рис. 8). Точки пересечения светового луча с плоскостями проекций обозначим следующим образом:

а_Т – действительная тень точки А на плоскости Н;

а_Т' – действительная тень точки А на плоскости V.

Рис. 8. Построение теней точки на плоскостях проекций

Из приведенных рассуждений можно сделать

вывод: тень точки падает на ту плоскость проекций, к которой точка расположена ближе.

Заметим, что плоскости проекций считаются непрозрачными,
поэтому действительная тень точки А может получиться только на одной из них. При мысленном продолжении луча его пересечение произойдет
и с другой плоскостью проекций, на которой получится мнимая (фиктивная) тень точки (рис. 9). Обозначим эти тени следующим образом:

а_Т(ф) — мнимая тень точки А на плоскости Н;

а_Т'_(ф) — мнимая тень точки А на плоскости V.

Конечно, в реальной жизни мнимых теней не бывает, но для решения практических геометрических задач их используют довольно часто.

Рис. 9. Построение мнимых теней точки

Из построений, приведенных на рис. 9, можно сделать

вывод:действительная и мнимая тень точки лежат на прямой, параллельной оси проекций.

Тень прямой линии

Тени плоских фигур

До сих пор нами рассматривались геометрические образы, у которых могли быть только падающие тени. У фигур, ограниченных плоскими отсеками, наряду с падающими тенями будут существовать и собственные, поскольку плоскость – двусторонняя поверхность.

Рассмотрим отсеки плоских фигур (треугольника и круга), соответственно параллельные плоскостям V и H. Очевидно, что при заданном направлении светового потока,неосвещенные стороны отсеков плоскостей на соответствующих проекциях будут закрыты оригиналами.

Совокупность сторон треугольника представляет собой контур собственной тени. Лучевые плоскости, проходящие через стороны треугольника, образуют призматическую поверхность, которая, пересекая плоскость V, образует на ней фигуру, равную данному треугольнику, поскольку (ABC)∥V. Построение падающей тени треугольного отсека показано на рис. 14.

На основании этих построений можно сделать

вывод: граница падающей тени плоской фигуры является тенью от контура собственной тени этой фигуры.

Рис. 14. Падающая тень треугольника Рис. 15. Падающая тень круга

Множество световых лучей, проходящих через каждую точку окружности другого плоского отсека, образуют поверхность эллиптического цилиндра, которая пересекает плоскость H по окружности.

Окружность-оригинал и падающую тень круга на плоскости H можно считать параллельными сечениями светового эллиптического цилиндра. Для нахождения местоположения падающей тени следует определить действительную тень центра данного круга на плоскости H (рис. 15).

Аналогичные рассуждения можно провести для нахождения падающей тени круга, плоскость которого параллельна плоскости V (рис. 16).

Рис. 16. Тень круга на плоскости V

Вывод: тень плоской фигуры, на параллельную ей плоскость, равна и параллельна одноименной проекции этой фигуры.

На рис. 17 дан эпюр плоскости (ABC), занимающей общее положение. В отличие от предыдущих примеров определение теневой стороны плоскости является самостоятельной задачей.

Для нахождения собственной тени плоского отсека поступим следующим образом. Возьмем случайную точку K(k, k') внутри треугольного отсека на случайной прямой, заведомо лежащей в этой плоскости. Проведем через эту точку прямую, параллельную направлению S.

Рассмотрим конкурирующие точки 1= (2'), принадлежащие стороне [AC] и проведенному лучу.

По горизонтальным проекциям 1 и 2 решаем вопрос о взаимной видимости плоской фигуры и прямой, проведенной через точку K(k, k').

Рис. 17. Определение собственной тени треугольного отсека

Поскольку точка на стороне [AC] находится ближе к наблюдателю она перекрывает точку на вспомогательной прямой. Отсюда следует вывод о видимости, показанной на эпюре.

Рис. 18. Построение падающей тени треугольного отсека

Все множество лучей освещает плоскость (ABC) со стороны, невидимой наблюдателю, в собственной тени будет находиться сторона отсека, выделенная на эпюре цветом.

На приведенном выше рисунке построена падающая тень объекта.

Пусть дана плоскость круга, параллельная плоскости V (рис. 19). Собственная тень закрыта оригиналом. Реальная часть падающей тени на плоскости V представляет собой сегмент круга.

Лучевая поверхность эллиптического цилиндра, проходящая через окружность данного круга, пересекает плоскость H по эллипсу. Поскольку эллипс – лекальная кривая ее следует строить по множеству точек, две из которых являются точками преломления и лежат на оси X. Для нахождения случайных точек можно поступить следующим образом: описать квадрат вокруг данной окружности и построить его падающие тени.

Заметим, что точка А (а, а') одновременно принадлежит кругу
и квадрату, поэтому точка а_Т для эллипса является искомой. Построение еще двух случайных точек показано на чертеже.

Рис. 19. Тень круга на двух плоскостях проекций

Рассмотрим задачи, связанные с построениями собственных и падающих теней на плоских фигурах.

З а д а ч а 1

Построить тень отрезка [MN] на плоскости (ABC).

Возможны различные подходы к решению поставленной задачи. Один из них состоит в том, что можно построить падающие тени данных оригиналов на плоскости проекций независимо друг от друга, а затем применить способ обратных лучей. На рис. 20 показаны эти построения. Далее определены точки 1_Т и 2_Т , общие для контура падающей тени треугольника и прямой, содержащей точки m_T и n_T.

По действительным теням 1_Т и 2_Т с помощью обратных лучей построены точки 1 и 2, а затем найдена горизонтальная проекция падающей тени отрезка [MN] на плоскость данного треугольника. С помощью линий связи на основании свойства инцидентности построены все недостающие фронтальные проекции точек.

Рис. 20. Использование обратных лучей для решения задачи

Рассмотрим другой вариант решения задачи. Поскольку в данной задаче не ставится вопрос о нахождении падающих теней оригиналов можно воспользоваться классической задачей начертательной геометрии
о пересечении прямой с плоскостью (рис .21).

Лучевая плоскость, проходящая через отрезок [MN], согласно выводам, сделанным ранее, оставит след на плоскости в виде прямой линии. Любая прямая определяется парой несовпадающих точек, которыми можно считать точки пересечения световых лучей, проходящих через концы отрезка [AB].

Для их нахождения применим алгоритм классической задачи:

1. проведем через световой луч фронтально-проецирующую плоскость;

(луч, проходящий через точку M, заключен во фронтально-проецирующую плоскость P, а через точку N – во фронтально-проецирующую плоскость T)

2. построим линию пересечения данной и вспомогательной плоскости;

(на эпюре показаны проекции (12), (1'2') для плоскости P и (34)
и (3'4') для плоскости Т)

3. определим искомые точки пересечением данной и построенной прямых;

(на эпюре отмечены их горизонтальные и фронтальные проекции).

Искомая тень на плоскости (ABC) – отрезок [M_ON_O].

Рис. 21. Второй вариант решения задачи

З а д а ч а 2

Построить тень отрезка [MN] на плоскости параллелограмма (рис. 22).

Для решения задачи применим способ обратных лучей. Построим падающие тени отрезка [MN] и параллелограмма. Поскольку отрезок [AD]
и точка M принадлежат плоскости H

а = а_Т ; d = d_Т и m = m_Т.

У падающих теней данных оригиналов есть общие точки 1_Т
и 2_Т = 2_ОТ, по которым с помощью обратных лучей можно определить проекции искомых точек и линии пересечения.

Рис. 22. Построение тени от одного объекта на другой

Заметим, что эту задачу также можно было решить и другим способом, изложенным в предыдущей задаче.

Тени геометрических тел

Тени многогранников

Пусть дана прямая призма, стоящая на плоскости H. Требуется построить ее собственные и падающие тени на плоскости проекций H
и V.(рис. 23). Проанализируем освещенность граней. При заданном направлении светового потока будут освещены верхняя и левая передняя грань. Остальные грани (в том числе и нижняя) находятся в тени. Для построения падающей тени объемного тела необходимо выявить контур собственной тени, который в данном случае будет представлять собой пространственную ломаную линию. Элементами этой линии являются ребра призмы, находящиеся на границах освещенных и неосвещенных плоскостей. На этом же рисунке представлено изометрическое изображение замкнутого контура собственной тени, от которого построена падающая тень.

Рис. 23. Построение собственных и падающих теней призмы

Приведем задачи, связанные с построением теней многогранников.

З а д а ч а 1

Построить собственные и падающие тени пирамиды SABC; определить, какая часть отрезка [MN] отбросила тень на поверхность данного многогранника (рис. 24).

Рис. 24. Тень столба на поверхности пирамиды

При заданном направлении светового потока единственная грань пирамиды (ASB) будет освещена, остальные находятся в собственной тени. Контур собственной тени объекта – стороны треугольника ASB.

Для определения падающей тени столба на поверхность пирамиды заключим отрезок [MN] в горизонтально-проецирующую плоскость P, параллельную направлению светового потока. Эта плоскость пересечет освещенную грань пирамиды по прямой, проекции которой 12 и 1'2' показаны на чертеже. Поскольку луч, проходящий через точку M, находится
в этой же плоскости, то можно определить тень точки М на грани ASB. Отметим точку (1, 1') на ребре [AS], по которой с помощью обратного луча определим точку K(k, k') на отрезке [MN].

З а д а ч а 2

Определить освещенность видимых граней правильной шести угольной пирамиды (рис. 25).

Рис. 25. Определение освещенности видимых граней

Заметим, что построение графического условия этой задачи – это уже задача, при решении которой целесообразно применить преобразование чертежа (на рис.25 эти построения не показаны). Видимость ребер на проекциях многогранника устанавливается с помощью конкурирующих точек.

Для нахождения контура собственной тени многогранников
в учебных источниках дается следующая рекомендация:

для многогранного тела достаточно провести лучи только через вершины и найти падающие тени от этих точек.

По сути дела предлагается вначале построить падающую тень, а по ней найти собственную.

На наш взгляд такой подход возможен, но не всегда приемлем, поскольку если у многогранника большое количество вершин, то многие падающие тени от последних могут оказаться внутри контура падающей тени многогранника и ряд построений окажется нецелесообразным. К сожалению, в учебной литературе по определению контура собственной тени многогранников довольно часто встречаются ошибки.

В задачах, рассмотренных ранее, определение освещенности граней не вызывает трудностей. Если количество видимых на эпюре граней многогранника велико или их освещенность не очевидна – рекомендуем применить метод конкурирующих точек для определения освещенности граней многогранников. Это позволит избежать ошибок при установлении контура собственной тени объекта и при этом выполнить минимальное количество построений.

Проведем световой луч через точку F(f, f') и рассмотрим конкурирующие точки, принадлежащие этому лучу и ребру [DE]. По аппликатам фронтальных проекций точек делаем заключение о видимости точек
1 = (2). Поскольку точка 2, находящаяся на ребре [DE], закрыта точкой 1 светового луча – она невидима, следовательно, вся 6-угольная грань пирамиды находится в тени. Отсюда можно сделать вывод об освещенности грани (AFM).

Часть луча, проходящего через вершину B(b, b') находится над гранью (BMC), что определяется с помощью конкурирующих точек 3 и 4, принадлежащих лучу и ребру [MC]. Устанавливаем, что 3 = (4) и делаем вывод о том, что эта грань находится в собственной тени, а грань (ABM) – освещена. Аналогичным образом анализируем освещенность остальных граней. Часто оказывается, что при установлении теневой грани отпадает необходимость проверки вершин многогранника, тени которых попадает
в область контура падающей тени.

Такой подход к определению видимости позволил избежать ошибки в аналогичной задаче в определении освещенности граней, допущенной в одном из учебников.

З а д а ч а 3

Построить собственные и падающие тени правильной шести угольной пирамиды (рис. 26).

Анализ видимых освещенных граней приведен в предыдущей задаче. В собственной тени будет находиться грань (DEM), расположенная
в плоскости H, следовательно, e = e_Т; d = d_Т и m = m_Т, т.е. три вершины пирамиды и их действительные тени на плоскости H совпадают.

Ребро [ME] входит в состав контура собственной тени пирамиды, т.к. грань(EFM) освещена.

Рис. 26. Построение падающих теней пирамиды

Рассуждая аналогичным образом, определяем весь замкнутый контур собственной тени – это совокупная последовательность ребер
[ME] – [EF] – [FA] – [AB] – [BM]. От этих ребер определяем контур падающей тени данной пирамиды. Решение задачи показано на рис. 26.

Тени объемных тел,

З а д а ч а 1

Построить собственные и падающие тени прямого кругового цилиндра, стоящего на плоскости V (рис. 27).

Плоскость основания кругового цилиндра, параллельная плоскости V, освещена световым потоком. Из всего множества лучей можно выделить два подмножества, которые образуют плоскости P и Т (на чертеже показаны их следы), касательные к поверхности цилиндра.

Касание происходит по двум образующим, до которых освещена половина боковой поверхности, другая половина находится в собственной тени, следовательно, обе образующие входят в состав контура собственной тени цилиндра. На границе света и тени находится часть дуги освещенного основания, которая также входит в состав этого контура.

Рис. 27. Собственные и падающие тени цилиндрического тела

Освещенная боковая часть поверхности цилиндра и другое основание, расположенное в плоскости V и находящееся в собственной тени, образуют еще один участок замкнутого контура собственной тени цилиндра.

После этих рассуждений на горизонтальной проекции можно выделить цветом видимую часть контура собственной тени.

От этого контура определяется падающая тень. Вначале выполняется вспомогательное построение – определяется действительная тень точки O (o, o'), затем тень круга переднего основания цилиндра, равная этому кругу на основании свойства, приведенного ранее.

Две образующие, входящие в состав контура собственной тени цилиндра, стоящего на плоскости V, отбрасывают тени в виде отрезков прямых, касательных к данной и построенной окружностям. Общим контуром падающей тени будет полное очертание фигуры, изображенной на фронтальной проекции.

З а д а ч а 2

Построить собственные и падающие тени прямого кругового цилиндра, стоящего на плоскости H.

В предыдущей задаче подробно говорилось о построении контура собственной тени на цилиндрической поверхности. Проведя аналогичные рассуждения для цилиндра, стоящего на плоскости H, получим результат, показанный графически на рис. 28. Сплошной основной линией выделен контур собственной тени тела на ортогональных проекциях, а справа выполнено его наглядное изображение в изометрии.

Рис. 28. Контур собственной тени на теле цилиндра

Построение падающей тени цилиндра начнем с определения действительной тени центра верхнего основания. Проведем через точку O(o, o') луч, параллельный направлению S (рис. 29). Поскольку аппликата точки О больше ее ординаты – действительная тень o_Т' окажется на плоскости V на основании вывода, приведенного ранее, а тень цилиндрического тела упадет одновременно на две плоскости проекций. Определим мнимую падающую тень окружности верхнего основания (точнее ее часть, входящую в контур собственной тени). Зная точку o_Т', найдем мнимую тень а_Т(ф).
С центром в этой точке проведем окружность радиуса основания цилиндра, на которой отметим мнимые тени 1_Т(ф), 2_Т(ф), …5_Т(ф) и по ним построим тени действительные.

Рис. 29. Построение падающих теней объекта

с использованием мнимых

Покажем, как это сделать на примере точки (1, 1'). Через точку 1_Т(ф) проведем прямую, параллельную оси X, а через 1' – фронтальную проекцию луча, параллельную s'. На пересечении этих двух множеств определим действительную тень 1_Т'. Остальные действительные тени строятся аналогично.

В контур собственной тени входит часть окружности верхнего основания, действительная тень которого определяется пересечением лучевого эллиптического цилиндра с плоскостью V и образует фигуру сечения эллипс, содержащую точки 1_Т', 2_Т', … 5_Т'.

Две образующие цилиндра, лежащие в плоскостях P и Т, и полуокружность нижнего основания – оставшаяся часть контура собственной тени цилиндра, от этих геометрических образов построены падающие тени. Заметим, что точки 1_Т' и 5_Т' являются точками касания построенной дуги эллипса и падающими тенями двух образующих цилиндра.

З а д а ч а 3

Построить тени на цилиндрической оболочке (рис. 30).

При заданном направлении светового потока S часть наружной
и внутренней поверхности оболочки освещена, а границей освещенности будет левая очерковая образующая цилиндрической поверхности, проходящая через точку (4, 4'). На внутренней поверхности, на эпюре тень выделена бледным цветовым оттенком.

Рис. 30. Собственная и падающая тень цилиндрической оболочки

Часть дуги верхней дуги окружности от точки (1, 1') до (4, 4') находится на границе света и тени, следовательно, входит в состав контура собственной тени оболочки. Через каждую точку этой дуги проходит световой луч. Множество лучей образует поверхность эллиптического цилиндра. Ее пересечение с внутренней поверхностью оболочки – кривая четвертого порядка. Для построения этой кривой через вышеуказанные точки проводим световые лучи и отмечаем их пересечение с внутренней поверхностью. Полученные точки 1_Т', 2_Т', 3_Т' и 4_Т' соединяем плавной кривой – это падающая тень верхней дуги окружности. Лучевая горизонтально-проецирующая плоскость, проходящая через левую очерковую образующую, пересекает внутреннюю поверхность оболочки по прямой, ей параллельной, которая является ее падающей тенью.

З а д а ч а 4

Построить тень отрезка [AB] на поверхности цилиндрической оболочки (рис. 31).

Нахождение теней оболочки показано в предыдущей задаче, поэтому на чертеже, приведенном ниже, построения не показаны.

Рис. 31. Падающая тень отрезка [AB] на цилиндрическую оболочку

Для решения этой задачи использовано свойство проецирующей цилиндрической поверхности.

Множество лучей, проходящих через отрезок [AB], образует лучевую плоскость. Поскольку она является плоскостью общего положения
и пересекает все образующие цилиндрической оболочки, то результатом пересечения этих образов (тенью) будет эллипс (или часть его дуги).

Ввиду того, что эллипс это лекальная кривая, ее построение выполняется по множеству точек. Возьмем на отрезке [AB] точку (1, 1'). Это первая левая точка на данном отрезке, которая заведомо отбросит тень на внутреннюю поверхность оболочки.

Точки, расположенные на отрезке влево от нее, отбрасывают тени на наружную часть цилиндрической поверхности, которая на фронтальной проекции не видна ввиду своей непрозрачности, поэтому их тени строить не имеет смысла.

Проведем через точку (1, 1') луч, параллельный S и отметим его пересечение с цилиндрической поверхностью – действительную тень 1_Т'. Затем на отрезке [AB] возьмем случайные точки (2, 2'), (3, 3'), … (6, 6') и выполним аналогичные построения. Заметим, что точка 6_Т' оказалась за пределами левой очерковой образующей оболочки. Соединим построенные точки плавной кривой. Заметим, что точка С(с, c’), отбрасывающая тень на окружность верхнего основания цилиндра, может быть найдена лишь приближенно после построения эллиптической дуги по множеству случайных точек.

Для построения теней от одного объекта на другой инженеры-строители применяют следующие приемы:

метод секущих плоскостей;

метод обратного луча.

Архитекторы используют для своих целей девять различных способов (в данной работе они не приводятся).

Рассмотрим метод секущих плоскостей, который заключается
в следующем. Заданные геометрические объекты рассекаются вспомогательными плоскостями, параллельными световому лучу и перпендикулярными к какой-либо плоскости проекций. Затем определяются линии сечения каждого объекта вспомогательными плоскостями. Плоское сечение первого объекта необходимо для определения лучей, касательных к его поверхности. Пересечение этих лучей с поверхностью другого объекта позволяет найти точки контура тени, падающей с одного объекта на другой.

Решение задачи, приведенной выше, можно объяснить, применяя метод секущих плоскостей.

Проведем вспомогательные плоскости, параллельные световому лучу и перпендикулярные плоскости H (на чертеже следы этих плоскостей не обозначены). Каждая из этих плоскостей пересекает отрезок [AB] в точке, а цилиндрическую поверхность по образующей. Проведя через построенные точки, лучи до пересечения с оболочкой, найдем их действительные тени, по которым найдем очертание контура падающей тени отрезка [AB].

В приводимых ранее задачах использовался метод обратных лучей. Приведем общие рекомендации по применению этого метода.

Метод обратных лучей заключается в том, что вначале строятся контуры падающих теней от заданных геометрических объектов (эти построения для решения задачи являются вспомогательными). Далее определяются точки пересечения полученных контуров. Из этих точек проводятся в пространстве лучи, направление которых противоположно лучам света. Точки встречи проекций обратных лучей с соответствующими проекциями первого объекта позволяют определить те точки, которые отбрасывают тени на другой объект.

Покажем решение предыдущей задачи с применением метода обратных лучей.

Построим падающие тени двух геометрических объектов на плоскости проекций независимо друг от друга. При нахождении последних использованы мнимые тени. На падающей тени отрезка взяты случайные точки, которым обеспечена принадлежность оболочки цилиндра его образующими. С помощью обратных лучей на отрезке [AB] определены точки, которые отбросили тени на другой объект. Заметим, что применение этого способа позволяет точно построить точку С(с, c’).

Рис. 32. Решение задачи с применением метода обратных лучей

На приведенных выше рисунках представлены решения задачи
с применением различных способов. В первом случае нельзя найти точное положение последней точки C(c, с’) отрезка [AB], которая отбросила тень на оболочку цилиндра, но можно обойтись без построений падающих теней. Применяя способ обратных лучей можно точно определить местонахождение точки C(c, с’),.но в этом случае, необходимо строить падающие тени.

6.2.2. Тень конического тела

З а д а ч а 1

Построить собственные и падающие тени конического тела на плоскости проекций H и V.

Обычно построение падающих теней начинается с определения контура собственных теней. Но в отдельных случаях выгоднее поступить наоборот.

Рис. 33. Построение теней на поверхности конуса

Определим падающую тень вершины конуса – точку k_Т'. Из множества световых лучей, падающих на боковую поверхность конуса, можно выделить два подмножества, образующих лучевые плоскости общего положения, проходящие через вершину K(k, k’) и касающиеся окружности основания.

Если мысленно отбросить плоскость V, то падающая тень конического тела окажется на плоскости H. Поскольку на ней находится основание конуса, можно отметить, что 1 = 1_Т и 2 = 2_Т.

Проведя через точку k_Т(ф) касательные к окружности основания (их построение показано на рис. 33 справа), получим падающие тени двух образующих конуса, которые входят в состав контура собственной тени тела.

Рис. 34. Наглядное изображение контура собственной тени конуса

Полный контур собственной тени в наглядном виде представлен на рис. 34.

З а д а ч а 2

Определить тень точки А на поверхности конического тела.

Покажем различные варианты достижения желаемого результата
и воспользуемся графическим условием предыдущей задачи.

Применим метод обратных лучей, для реализации которого следует построить падающие тени двух объектов: точки A(a, a') и конуса на обе плоскости проекций. Через точку а_Т проведем падающую тень той образующей, которая содержит эту точку. Затем найдем горизонтальную проекцию этой образующей, на которой с помощью горизонтальной проекции обратного луча определим точку а_ОТ, а спомощью фронтальной – а_ОТ'.

Другой вариант решения задачи заключается в использовании известного алгоритма нахождения точки пересечения прямой с поверхностью:

1. через световой луч, содержащий точку A(a, a') и вершину K(k, k’) конуса, проведем плоскость общего положения (на рис. 35 она задана двумя пересекающимися прямыми);

Рис. 35. Второй вариант решения задачи 6

2. определим линию пересечения проведенной плоскости с конической поверхностью (поскольку вспомогательная плоскость проходит через вершину конуса, результатом пересечения будут две образующие);

3. найдем точку пересечения светового луча с построенными образующими – искомую точку.

Заметим, что луч и две образующие пересекутся в двух точках, но только одна из них является действительной тенью точки A(a, a'), которая расположена перед главным меридианом конической поверхности (мнимая тень точки на эпюре не показана). Во избежание лишних построений найдены только фронтальные проекции образующих.

Возможный вариант решения задачи методом секущих плоскостей нецелесообразен, т.к. требует построения кривых второго порядка, что приведет лишь к приближенному решению поставленной задачи.

З а д а ч а 3

Построить тень отрезка [AB] на поверхности конуса методом секущих плоскостей.

Рис. 36. Тень столба на поверхности конуса

Заключим отрезок [AB] в горизонтально-проецирующую плоскость P, параллельную направлению светового потока. Поскольку проведенная плоскость параллельна двум образующим конуса (на рис. 36 на горизонтальной проекции они показаны точечными линиями), она пересечет его по гиперболе.

Для ее построения поступим следующим образом. Ввиду того, что гипербола расположена в плоскости P, ее горизонтальная проекция на чертеже отображается отрезком [34]. Фронтальной проекцией гиперболы также будет гипербола (только с другими параметрами).

Любая лекальная кривая строится по множеству точек. Вначале определим характерные наинизшие точки (3, 3') и (4, 4'). Горизонтальную проекцию 1 наивысшей точки найдем на середине отрезка [34], а для построения ее фронтальной проекции 1' проведем параллель на конической поверхности, касательную к плоскости P. Еще одна характерная точка
(2, 2') расположена на главном меридиане, плоскость которого параллельна V. Между характерными точками намечаем случайные, горизонтальные проекции которых лежат на следе P_H. Этим точкам обес