Тема 1. Задачи линейного программирования.
Образец выполнения работы.
На кондитерской фабрике могут вырабатываться три вида карамели П1, П2, П3. При изготовлении карамели используются сахар-песок, патока, пюре фруктовое. Удельные нормы расхода каждого вида сырья на производстве карамели каждого вида и уровень прибыли на единицу продукции приведены в таблице.
Общий запас сахара на кондитерской фабрике – 700 т., патоки – 300 т., пюре фруктового – 150 т.
Предполагается, что количество выработанной продукции может быть реализовано. Определить оптимальный объем выпуска каждого вида карамели.
Математическая постановка задачи.
Обозначим искомые переменные:
Х = (х1, х2, х3) – объем выпуска карамели каждого вида.
| Вид сырья | Расход сырья на 1 т карамели | ||
| П1 | П2 | П3 | |
| Сахар-песок | 0,7 | 0,7 | 0,7 |
| Патока | 0,3 | 0,3 | 0,2 |
| Пюре фруктовое | - | 0,2 | 0,3 |
| Уровень прибыли |
Запишем целевую функцию, выражающую зависимость общей суммы прибыли от ассортимента выпускаемой продукции.
F(X) = 100*x1 + 110*x2 + 120*x3 → max
Ограничения по наличию каждого вида ресурса:
0,7*х1 + 0,7*х2 + 0,7*х3 = 700
0,3*х1 + 0,3*х2 + 0,2*х3 ≤ 300
0,2*х2 + 0,3*х3 ≤ 150
Решение задачи линейного программирования в среде Excel:
1. Указываем адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения
Х = (х1, х2, х3) – объем выпуска карамели каждого вида.
оптимальное значение целевой функции – в ячейке D3.
2. Вводим исходные данные
1. Вводим зависимость для целевой функции
2. Вводим зависимости для ограничений
3. Запускаем команду <поиск решения>
4. Назначаем ячейку для целевой функции
5. Вводим ограничения, после введения последнего на экране появится диалоговое окно <Поиск решения> с введенными ограничениями
1. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудования, необходимыми для производства любого из 4-х видов товара. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в таблице .
| Вид ресурса | Объем ресурса | Вид товара | |||
| Сырье, кг | |||||
| Рабочая сила, ч | |||||
| Оборудование, маш. ч. | |||||
| Прибыль на единицу товара, руб. |
Найти план выпуска продукции.
2. Пищевое предприятие для изготовления 4-х видов продукции использует сырье и 5 видов оборудования. Кроме того, упаковка продукции требует выполнения определенных работ. Найти план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации является максимальной. Исходные данные приведены в таблице:
| Ресурсы | Нормы затрат на изготовление одного изделия | Общий объем ресурсов | |||||
| Оборудование (чел-час) | |||||||
| - | - | ||||||
| - | - | ||||||
| Сырье | |||||||
| Упаковочные работы | 4,5 | 4,5 | 4,5 | 4,5 | |||
| Прибыль от реализации 1-го изделия | |||||||
| Мин. выпуск | - | - | - | ||||
| Макс. выпуск | - | - | - | ||||
3. Завод производит корпуса для холодильных камер, используемых в пищевых производствах, и комплектует их оборудованием, поставляемым без ограничений другими предприятиями. В таблице 6 указаны нормы трудозатрат, затрат материалов для изготовления корпусов, ограничения по этим корпусам в расчете на месяц и прибыль от реализации холодильника каждой из 5-ти марок.
Найти оптимальный план выпуска продукции при максимизации прибыли.
Выпуск холодильников третьей марки должен составлять не менее 30% от общего выпуска.
| Наименование ресурса | Марка холодильника | Объем ресурса | |||
| Трудозатраты (чел/ч) | |||||
| Металл (м2) | |||||
| Пластик (м2) | |||||
| Краска (кг) | |||||
| Прибыль (руб.) |
4. На кондитерской фабрике для изготовления 3-х видов изделий используется оборудование двух типов, сахар и молоко. Составить такой план изготовления кондитерских изделий, согласно которому будет произведено требуемое количество изделий данного вида, а общая стоимость всей продукции максимальная. Исходные данные задачи приведены таблице
| Ресурсы | Нормы затрат на 1 кг изделий | Общее количество ресурсов | ||
| 1 вида | 2вида | 3вида | ||
| Оборудование 1-го типа | 0,02 | - | 0,04 | |
| Оборудование 2-го типа | 0,04 | 0,03 | 0,01 | |
| Сахар (кг) | 0,5 | 0,8 | ||
| Молоко (кг) | 0,03 | 0,02 | 0,025 | |
| Цена 1 кг конд. изделий | ||||
| Мин. выпуск конд. изделий | ||||
| Макс. выпуск конд. изделий |
5.На хлебозаводе могут вырабатываться три вида батонов: нарезной, подмосковный, столовый. При их производстве используется следующее сырье: мука пшеничная высшего сорта, дрожжи прессованные, соль пищевая, сахар-песок, маргарин столовый.
Удельные нормы расхода каждого вида сырья на производство батонов каждого вида и уровень прибыли на единицу продукции приведены в таблице .
| Вид сырья | Расход сырья на 1 т изделий | ||
| Нарезной | Подмосковный | Столовый | |
| Мука пшеничная высшего сорта | 0.735 | 0.735 | 0.725 |
| Дрожжи прессованные | 0.007 | 0.011 | 0.014 |
| Соль пищевая | 0.011 | 0.011 | 0.014 |
| Сахар-песок | 0.029 | 0.029 | 0.014 |
| Маргарин | 0.026 | 0.022 | 0.058 |
| Уровень прибыли, руб. |
Мощность хлебозавода равна 45т/сут. Общий запас муки – 240 т, дрожжей – 1.0 т, соли – 7.5 т, сахарного песка – 8 т, маргарина – 1.5 т.
Предполагается, что все количество выработанной продукции может быть реализовано. Определить оптимальный объем выпуска каждого вида изделий.
6. Пивзавод может вырабатывать три вида пива: «Балтика №3», «Балтика №5», «Балтика №7».
При производстве используются следующие виды сырья: солод, вода, хмель, дрожжи. Удельные нормы расхода каждого вида сырья на производство пива каждого вида, запас сырья, цена и себестоимость единицы продукции приведены в таблице
| Сырье | Сорт пива | |||
| Балтика№3 | Балтика№5 | Балтика№7 | Запас сырья | |
| Солод | 0,07 | 0.08 | 0.09 | |
| Вода | 0,4 | 0.4 | 0.4 | |
| Хмель | 0,01 | 0.007 | 0.003 | 0.075 |
| Дрожжи | 0,003 | 0.004 | 0.002 | 0.5 |
| Цена, руб. | - | |||
| С/с, руб. | - |
.
Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной.
7. На заводе производится три вида пиццы, для ее изготовления используется шесть видов сырья: грибы, колбаса, ветчина, кетчуп, маслины, сыр. Удельные нормы расхода каждого вида сырья на производство пиццы каждого вида и уровень прибыли на единицу продукции приведены в таблице :
| Вид сырья | Расход сырья на 1т пиццы | ||
| Грибы | Ветчина | Ассорти | |
| Грибы | |||
| Колбаса | - | ||
| Ветчина | - | - | |
| Кетчуп | |||
| Маслины | - | ||
| Сыр | |||
| Уровень прибыли, руб./т |
Общий запас сырья на заводе соответственно равен 100, 30, 15, 200, 50, 400т. Требуется определить план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной.
8.В пекарне могут вырабатываться несколько видов мелкоштучных изделий:
-плюшка «Московская» (A)
-слойка «Свердловская» (B)
-сдоба «Обыкновенная» (C)
-булочка «Столичная» (D)
При изготовлении изделий используется сырье: мука, сахар-песок, дрожжи, маргарин, соль. Удельные нормы расхода каждого вида сырья на производство мелкоштучных изделий каждого вида и прибыль на единицу продукции приведены в таблице.
| Вид сырья | Расход сырья на 1 тонну изделий | |||
| A | B | C | D | |
| мука | ||||
| сахар-песок | 14.5 | |||
| дрожжи | ||||
| маргарин | 14.5 | |||
| соль | 7.3 | 7.3 | ||
| уровень прибыли |
Общий запас муки в пекарне -150 т, сахара-песка- 50 т, дрожжей- 3т, маргарина- 10т, соли- 2т. Предполагается, что все количество выработанной продукции может быть реализовано. Определить оптимальный объем выпуска каждого вида изделий.
9. Молокозавод выпускает молоко различной жирности (0.5, 2.5 и 3.5%) путем разведения сухого молока. Каждый вид молока обогащают йодом, железом, смесью витаминов.
Удельные нормы расходов каждого вида сырья на производство каждого вида молока и уровень прибыли на единицу продукта приведены в таблице
| Вид сырья | Расход сырья и добавок на 1т молока | ||
| Молоко 0.5% | Молоко 2.5% | Молоко 3.5% | |
| Сухое молоко | 0.14 | 0.24 | 0.38 |
| Йод | 0.0002 | 0.00025 | 0.00015 |
| Железо | 0.000015 | 0.00001 | 0.00002 |
| Витаминная смесь | 0.00011 | 0.00015 | 0.0001 |
| Уровень прибыли |
Общий запас сырья и добавок на молокозаводе составляет: сухого молока-150т; йода-0.006т; железа-0.00025т; витаминной смеси-0.003т.
Определить оптимальный объем выпуска молока каждого вида.
10.На предприятии «Русский продукт» могут вырабатываться 3 вида чипсов: П1, П2, П3. При изготовлении чипсов используется: сухое картофельное пюре, соль, вода, укроп, паприка. Удельные нормы расхода каждого вида сырья на производство чипсов каждого и уровень прибыли на единицу продукции приводится в таблице31.
Общий запас сырья: сухое картофельное пюре- 500; соль-40; паприка-60; укроп-50. Предполагается, что все количество вырабатываемой продукции может быть реализовано.
1.Определить оптимальный объем выпуска каждого вида чипсов.
2. Определить оптимальный объем выпуска каждого вида чипсов при дополнительном условии: на 3т. П1 должно выпускаться 2т. чипсов П2 и 2т. чипсов П3.