Определение перемещений в фермах

Определение перемещений

Рассмотрим два состояния системы. В 1-м состоянии на нее действует любо число каких угодно сил и моментов (рис. 1, а), во 2-м к ней приложена одна лишь сосредоточенная сила Р₂ = 1 (рис. 1,б).

Составим выражение работы А₂₁ силы Р₂ = 1 2-го состояния на перемещении Δ₂₁, возникающем от сил 1-го состояния:

Δ₂₁ = Р₂Δ₂₁ = 1 • Δ₂₁ = Δ₂₁.

Выразив А₂₁ через внутренние усилия в стержнях системы, получим

Δ₂₁ = А₂₁ = S + S + S – универсальная ф-ла Мора

Черточки над M₂, N₂ и Q₂ указывают на то, что эти внутренние усилия возникают в «единичном» состоянии.

1-е состояние

(действительное)

б) 2-е состояние

(единичное)

Рис. 1

Таким образом, перемещние от любой нагрузки может быть выражено через внутренние усилия, возникающие в заданной системе от этой нагрузки и от единичной «силы». Направление единичной силы совпадает с направлением oпределяемого перемещения. Если определяется линейное смещение (например, прогиб какой-либо точки оси системы), то единичная «сила» представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, приложенную в этой точке; ее. же определяется угол поворота поперечного сечения в какой-либо точке оси системы, то единичная «сила» представляет собой сосредоточенный момент (также безразмерный) , приложенный в этой точке.

В отличие от «единичного» (или фиктивного) состояния системы, состояние, вызванное действием заданной нагрузки, называется действительн ы м (или грузовым). Эпюры внутренних усилий, возникающих стержнях системы в единичном состоянии, называются единичным и и обозначаются М, N, Q, а эпюры усилий, возникающих в действительном состоянии, называются грузовыми и обозначаются М_р, N_p и Q_р.

Иногда цифровые индексы 1 и 2 в формуле Мора заменяют буквенными, например тип (или р и k), тогда эта формула принимает вид:

Δ_mn = А₂₁ = S + S + S ,

где Δ_mn – перемещение по направлению «силы» Р_m =1, вызванное действием нагрузки n (группы «сил» n).

При размерах поперечных сечений каждого стержня системы, постоянных по его длине, эта формула принимает вид:

Δ_mn = S + S dx + S .

Каждое из последних трех равенств носит название формулы перемещений (интеграла или формулы Мора).

ТЕХНИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Техника определения перемещений в ряде случаев может быть значитель­но упрощена применением специального приема вычисления интеграла вида

òM_mM_ndx^[1]. В связи с тем, что в подынтегральное выражение входит произведение ординат эпюр М_m и М_n, этот прием называют способом пере­множения эпюр. Он может быть использован, когда одна из перемно­жаемых эпюр, например М_m, прямолинейная; другая эпюра может быть пря­молинейной, ломаной или криволинейной. В этом случае

М_m = xtg α;

величины х и α показаны на рис. 2.

Подставив значение М_т в выражение ò M_mM_ndx, получим

M_n dx = tg α _n dx = tg α Ω_n,

где М_n dx = dΩ_n – дифференциал площади Ω_n эпюры М_n.

Интеграл Ω_n представляет собой статический момент площади Ω_n эпюры М_n относительно оси 0–0^′.

Этот статический момент можно выразить иначе:

Ω_n = Ω_n×х_с,

где х_с – абцисса центра тяжести площади Ω_n эпюры М_n.

Тогда M_n dx = х_с tg α× Ω_n. Но так как

х_с tg α = у_с,

то M_n dx = Ω_n у_с.

Рис. 2

Рис. 3

Следовательно, результат перемножения двух эпюр равен произве­дению площади одной из них на ординату у_с другой (обязательно прямолиней­ной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры. При пере­множении ставится знак плюс, когда эпюра и ордината под центром ее тя­жести, взятая из другой эпюры, имеют одинаковые знаки, и минус, — когда разные знаки. Такой способ перемножения эпюр был предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А. Н. Верещагиным, а потому называется также правилом, или спо­собом, Верещагина.

Заметим, что левая часть последнего выражения отличается от интеграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения EJ. Следовательно, результат выполненного по правилу Верещагина перемножения эпюр для определения искомого перемещения следует разделить на величину EJ.

Очень важно отметить, что ордината у_с должна быть взята обязательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ордината может быть взята из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолиней­ные эпюры Mi и M_k (рис. 3, а), то совершенно безразлично, будет ли взято произведение Ω_i у_k(площади Ω_i эпюры M_i на ординату у_k под ее центром тяжести из эпюры М_k) или произведение Ω_i у_k (площади Ω_k эпюры M_k на ординату у_i под или над ее центром тяжести из эпюры M_i).

Определение перемещений в фермах

В стержнях ферм действуют только продольные силы, поэтому формула Мора для ферм запишется так:

Δ_кр = S .

Как правило, продольные силы не меняются по длине стержня фермы. Кроме того, каждый стержень имеет постоянное поперечное сечение.

Поэтому можно записать:

Δ_кр = S ,

где – длина стержня.

Δ_кр = S l – формула Максвелла – Мора для определения перемещений в системах, работающих на растяжение-сжатие (фермах).

^[1] А также интегралов вида òN_mN_ndx и òQ_mQ_ndx.