Задача 1. Методика расчёта развозочных маршрутов

Потребность в мелкопартийных поставках продукции потребителям с баз и складов систематически возрастает. Поэтому организация маршрутов на отгрузку потребителям мелких партий груза имеет большое значение.

Введём значение:

Хi – пунки потребления (i = 1, 2… n);

Хо – начальный пункт (склад);

q – потребность пунктов потребления в единицах объёма груза;

Qd – грузоподъёмность транспортных средств;

d – количество транспортных средств;

Сij – стоимость перевозки (расстояние);

j – поставщики (j – 1, 2…М).

Имеются пункты потребления Хi (i = 1, 2…n). Груз необходимо развести из начального пункта Хо (склад во все остальные (потребители). Потребность пунктов потребления в единицах объёма груза составляет: q1, q2, q3…qn.

В начальном пункте имеются транспортные средства грузоподъёмностью Q1, Q2… Qd.

n

При этом d > n в пункте Хо количество груза Хо ³ å Хi , каждый пункт

i=1

потребления снабжается одним типом подвижного состава.

Для каждой пары пунктов (Хi, Хj) определяют стоимость перевозки (расстояние) Сij> 0, причём матрица стоимостей в общем случае может быть асимметричная, т.е. Сij ¹ Cij.

Требуется найти m замкнутых путей L1, L2… Lm из единственной общей точки Хо, так чтобы выполнялось условие:

m

å Lk ® min

k=1

 Методика составления рациональных маршрутов при расчётах вручную.Схема размещения пунктов и расстояния между ними:

А

2,2 7,0

5,0

4,4 3,6 4,2 3,2 5,6

2,4

1,9 2,0

2,0 3,4 2,8

2,6 5,8

Потребители продукции	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К
Объём продукции, кг.	375,0

Груз находится в пункте А – 4000 кг. Используется автомобиль грузоподъёмность 2,5 т.; груз – II класса (g = 0,8). Необходимо организовать перевозку между пунктами с минимальным пробегом подвижного состава.

Решение состоит из нескольких этапов:

Этап 1.Строим кратчайшую сеть, связывающую все пункты без замкнутых контуров.

Кратчайшая связывающая сеть («минимальное дерево»):

А

4000 кг

375 кг 3,2 км

2,2 км

500 500 кг

2,0 км

3,6 км 300 кг

5,0

525 кг

425 кг

2,4 км 2,8 км

2,6 675 кг

575 кг 2,0

Затем по каждой ветви сети, начиная с пункта, наиболее удалённого от начального А (считается по кратчайшей связывающей сети), группируем пункты на маршрут с учётом количества ввозимого груза и грузоподъёмности единицы подвижного состава. Причём ближайшие с другой ветви пункты группируем вместе с пунктами данной ветви.

Исходя из заданной грузоподъёмности подвижного состава Q = 2,5, g = 0,8 все пункты можно сгруппировать так:

Маршрут 1	Маршрут 2
пункт	объём завоза, кг.	пункт	объём завоза, кг.
Б		Ж
В		Д
Е		И
З		Г
К
Итого:		Итого:

Сгруппировав пункты по маршрутам, переходим ко второму этапу расчётов.

Этап 2.Определяем рациональный порядок объезда пунктов каждого маршрута. Для этого строим таблицу-матрицу, в которой по диагонали размещаем пункты, включаемые в маршрут, и начальный пункт А, а в соответствующих клетках – кратчайшие расстояния между ними. Для примера матрица является симметричной Сij = Cji, хотя приведённый ниже способ применим для размещения несимметричных матриц.

А	7,0	9,2	9,0	11,4	10,6
7,0	Б	2,2	4,2	6,6	7,6
9,2	2,2	В	3,6	4,4	6,4
9,0	4,2	3,6	Е	2,4	3,4
11,4	6,6	4,4	2,4	З	2,0
10,6	7,6	6,4	3,4	2,0	К
å 47,2	27,6	25,8	22,6	26,0	30,0

Начальный маршрут строим для трёх пунктов матрицы АКБА, имеющих наибольшее значение величины, показанных в строке (47,2; 30,0; 27,6), т.е. А; К; Б. Для включения последующих пунктов выбираем из оставшихся пункт, имеющий наибольшую сумму, например 3 (сумма 25,8), и решаем, между какими пунктами его следует включать,т.е. между А и К, К и Б или Б и А.

Поэтому для каждой пары пунктов необходимо найти величину приращениямаршрута по формуле:

kp = Cki + Cip – Ckp,

где С – расстояние, км.; i – индекс включаемого пункта; k – индекс первого пункта из пары; p – индекс второго пункта из пары.

При включении пункта 3 между первой парой пунктов А и К, определяем размер приращения DАК при условии, что i = 3, k = A, p = K. Тогда

DАК = С_АЗ + С_ЗК - С_АК.

Подставляя значения из таблицы на с. 127, получаем, что DАК = 11,4 + 2,0 – 10,6 = 2,8.

Таким же образом определяем размер приращения DКБ, если 3 включим между пунктами К и Б: DКБ = С_КЗ + С_ЗБ + С _КБ = 2,0 + 6,6 – 7,6 + 1,0 км., DБА, если 3 включить между пунктами Б и А:

DБА = С_БЗ + С_ЗА – С_АБ = 6,0 + 11,4 – 7,0 = 11,0 км.

Из полученных значений выбираем минимальные, т.е. DКБ = 1,0. Тогда из А-К-Б-А®А-К-З-Б-А. Используя этот метод и формулу приращения, определяем, между какими пунктами расположить пункты В и Е. Начнём с В, т.к. размер суммы (см. табл.) этого пункта больше (27,6 > 22,6):

DАК = С_АБ + С_ВК – С_АК = 9,2 + 6,4 - 10,6 = 5,0,

DКЗ = С_КВ + С_ВЗ – С_КЗ = 6,4 + 4,4 – 2,0 = 8,8,

DЗБ = С_ЗВ + С_ВБ – С_ЗБ = 4,4 + 2,2 – 6,6 = 0.

В случае, когда D = 0, для симметричной матрицы расчёты можно не продолжать, т.к. меньше значение чем 0 получено быть не может. Поэтому пункт В должен быть между пунктами З и Б. Тогда маршрут получит вид: А-К-З-В-Б-А.

В результате проведённого расчёта включаем пункт Е между пунктами З и В, т.к. для этих пунктов мы получим минимальное приращение 1,6:

DАК = С_АЕ + С_ЕК – С_АК = 9,0 + 3,4 – 10,6 = 1,8;

DКЗ = С_КЕ + С_ЕЗ – С_КЗ = 3,4 + 2,4 – 2,0 = 3,9;

DЗВ = С_ЗЕ + С_ЕВ – С_ЗВ = 2,4 + 3,6 – 4,4 = 1,6;

DВБ = С_ВЕ + С_ЕБ – С_ВБ = 3,6 + 4,2 – 2,2 = 5,4;

DБА = С_БЕ + С_ЕА – С_БА = 4,2 + 9,0 – 7,0 = 6,1.

Таким образом, окончательный порядок движения по маршруту 1 будет А-К-З-Е-В-Б-А.

Таким же методом определим кратчайший путь объезда пунктов по маршруту 2. В результате расчётов получим маршрут А-Г-Д-И-Ж-А длиной 19,4 км. Порядок движения по маршрутам 1 и 2 приведён ниже:

7,0

2,2

3,2

10,6 5,6

3,6 2,0

2

2,4 5,8

2,8

2,0

Исходные данные для решения задачи 1. (по вар.) m = 69 т.

1.7,9 8,1 q = 23 т.

5,9 6,9

8,3 4,5 8,4 5,8 3,4

9,3 9,3

3,7 6,2 6,8 1,2 8,9 5,6

9,2 7,3 6,7 8,9 6,7 7,4 6,8 7,8

10,8 3,3 3,5

3,4 5,6 9,1

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

К

Л

М

Н

О

П

С

2.m = 8 т. 6,3 9,1

А

q = 2 т. 8,9 7,8 7,1

6,3 2,3 4,3 9,3 7,8 9,3

4,5

5,5 3,6

1,2 4,5

7,8 9,8 8,9

3,4

3,4

6,3 1,2 8,9 4,3

8,9 7,5

4,8 7,1

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

К

Л

М

Н

О

П

С

Б 960 В 850 Г 790 Д 630   Е 275 Ж 715 З 240 И 435 К 585 Л 120

3.m = 5600 5,5 2,4 3,8

q = 2800 9,7

7,3 6,9

3,8 4,3 2,2

8,1

2,1 3,0 7,1 1,2 1,1

3,7

2,4 8,7 9,3

4.

А

m = 6000

q = 3000 9,3 5,6

1,2	Б		В
	Г		Д
	Е		Ж
6,8 3,6 3,4	З		И
8,9	К

9,6 4,3 8,9

6,7

4,5 3,8

3,44,5

8,7

5,5 6,9

5.m = 18.

А

q = 9 5,9

8,6

8,9

9,3 10,1 9,1

7,3 2,2

3,5 9,1 8,9

9,2 5,5 3,4 6,8

8,1

7,5 3,3

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К

6.m = 9 мм.

q = 2,5 мм. 9,2

5,5

3,5 3,4 2,8

3,0

4,3

9,7

9,3 8,5 7,5

6,9 5,8 6,4 7,5

1,2

5,5 10,1

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К

7.m = 12 т.

q = 6 т.

4,6 8,9

А

6,6 5,1

3,8 9,2 3,9 7,7

4,8 8,3

7,9

5,6 1,2 6,7

9,5

4,3

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К

8.

А

m = 54

q = 18 5,5 9,1

1,2 1,3

9,7 4,8 3,7

4,1

4,5 8,9

2,1 6,1

6,5

3,4 7,7 7,2

3,8 9,7

4,2

4,8 3,1

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л

9.

А

m = 15 т.

q = 5 т. 1,8

9,2

1,4 10,4 5,6

8,9

8,7 2,1 5,3 3,8

3,2 3,6 7,4 5,5 4,5 4,1 8,8

5,4 10,6

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л

10.

А

m = 51 т.

q = 17 т. 5,9 7,6

3,9

4,4 9,4 6,7

3,1 5,53,8 8,1

7,1 9,34,1 7,9

7,8 7,7

11,3 4,7 5,9