Многопродуктовая модель управления запасами с ограниченной вместимостью склада

В подавляющем большинстве случаев на предприятии хранится значительный ассортимент n товаров, имеющих определенные размеры и объем.

Предположим, что специалистами из отдела логистики весь ассортимент товара разделен на группы, и каждая группа управляется определенной моделью управления запасами, т.е. рассчитаны оптимальный размер заказа и время поставки. Рассчитаем площадь, которую занимает весь ассортимент товаров. Может оказаться, что она больше площади склада. В данном случае перед отделом логистики ставится задача уменьшения количества товаров, хранимых на складе, за счет корректировки оптимального размера заказа. Математическая модель данной задачи имеет вид:

, (1.5.1)

где

СЗ – суммарные затраты на хранение и доставку всех товаров, руб.;

А_i – стоимость оформления (подачи) заказа на поставку i-го товара, руб.;

S_i – потребность в i-ом товаре в единицу времени, шт;

Q_i – оптимальный размер заказа на поставку i-го товара, шт.;

W_i – стоимость хранения единицы i-го товара.

при ограничениях:

, (1.5.2)

,

i – целое положительное число.

где

а_i – площадь, занимаемая при хранении единицы i-го товара, м²;

N – площадь склада, м².

Если весь ассортимент товаров на складе можно разделить на группы по степени важности, то сокращение оптимального размера заказа происходит за счет наименее прибыльных. В случае если рассматривается группа товаров, взаимоувязанных между собой или имеющих высокие издержки на хранение и относительно стабильный спрос, то для корректировки оптимального размера заказа можно использовать метод множителей Лагранжа.

Построим функцию Лагранжа:

, (1.5.3)

, (1.5.4)

где

l - множитель Лагранжа (l≤0).

Представим (1.5.4) в более удобном для дальнейшего анализа виде:

,

или

(1.5.5)

где

L_i – слагаемое, соответствующее скорректированным суммарным затратам на поставку i-го товара, .

Оптимальные значения Q* и l* находятся из следующей системы уравнений (необходимые условия для экстремума функции Лагранжа):

(1.5.6)

.

Из формулы (1.5.6) найдем скорректированный оптимальный размер заказа для каждого товара:

. (1.5.7)

Алгоритм решения:

1 шаг. Для каждого товара рассматриваемой группы определить оптимальный размер заказа по формуле Уилсона (1.1.5).

2 шаг. Определить суммарную площадь, занимаемую всеми товарами, и коэффициент использования склада:

. (1.5.8)

Если K_u >1 (рассчитанная площадь больше площади склада или выходит за заданные в задаче ограничения), то следует перейти к шагу три, в противном случае расчет прекращается.

3 шаг. Рассчитывать значение скорректированного оптимального размера заказа для каждого товара по формуле 1.5.7, уменьшая значение множителя Лагранжа, до тех пор, пока не будет соблюдено ограничение 1.5.2. или достигнуто требуемое значение K_u.

Задача

Предприятие планирует выделить 135 м² для хранения трех видов товаров, обладающих стабильным спросом. Затраты на хранение, потребность, стоимость подачи заказа и занимаемая площадь для всех товаров отражены в таблице. Определить оптимальный размер заказа для трех товаров, чтобы коэффициент использования склада был больше 0,96.

Товар	А, руб.	S, т./день	W, руб./сутки	а, м2
			1,7
			3,1	1,5

Решение

Определим оптимальный размер заказа для каждого товара по формуле Уилсона:

т.;

т.;

т.

Рассчитаем суммарную площадь, занимающую партией товаров:

м²;

м²;

м²;

м².

Так как суммарная площадь товаров превышает размеры склада, то для определения оптимального размера заказа воспользуемся формулой 1.5.7. Расчет будем вести в табличной форме.

l	Q1	Q2	Q3	a1 x Q1	a2 x Q2	a3 x Q3
-0,1	34,2	27,5	29,4	68,4	27,5	44,1	1,04
-0,2	31,6	26,2	28,2	63,2	26,2	42,3	0,97
-0,3	29,6		27,1	59,2		40,65	0,92

При l = -0,2 коэффициент использования склада будет больше 0,96 и равен 97 %. Таким образом, оптимальный размер заказа для первого, второго и третьего товара равен 31,6 т., 26,2 т. и 28,2 т. соответственно.

Задачи

1. Объем продаж телевизоров составляет в месяц 4000 шт. Стоимость хранения одного телевизора в год обходится магазину в 210 у.е. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 100 у.е. Время доставки телевизоров 15 дней, возможное время задержки 3 дня. Определить оптимальную стратегию управления запасами и дать графическое представление стратегии.

2. Спрос на продукцию компании составляет 2100 шт. в месяц. Издержки на хранение единицы продукции составляют 0,7 у.е./день. Стоимость подачи заказа составляет 300 у.е. Время доставки продукции 12 дней, возможное время задержки 2 дня. Определить параметры системы управления запасами с фиксированным размером заказа и дать графическую модель системы

3. Предприятие желает определить оптимальный размер заказа для каждого из трех видов продукции таким образом, чтобы коэффициент использования склада был равен 0,96. Площадь склада 140 м².

Товар	Стоимость подачи заказа, у.е.	Потребность, дн.	Затраты на хранение, у.е./день	Площадь товара, м2
			0,3	1,1
			0,2	0,7
			0,1	2,4

4. Для производства трехколесного велосипеда компания заказывает колеса по цене 100 у.е./шт. Годовая потребность в велосипедах составляет 4000 шт. Издержки на хранение одного колеса на складе составляют 0,4 у.е./день. Стоимость подачи заказа составляет 120% от стоимости колеса. Время поставки партии колес – 11 дней, возможное время задержки – 2 дня. Определить параметры системы управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами и дать графическую модель системы.

5. Определить оптимальный размер заказа для трех видов продукции таким образом, чтобы количество заказов в год (365 дней) для каждого вида товара составляло не более 110, 120 и 115 соответственно.

Товар	Стоимость подачи заказа, у.е.	Потребность, дн.	Затраты на хранение, у.е./день
			0,4
			0,5
			0,4

6. Стулья продаются по 30 у.е. за штуку, но предполагается 15% скидка при покупке партии 130 шт. и более. Квартальная потребность в стульях для компании составляет 120 шт., стоимость подачи заказа составляет 70 у.е. Издержки на хранение единицы товара на складе составляет 0,4 у.е./день. Определить оптимальную стратегию управления запасами.

7. Определить оптимальный размер заказа для 4-х видов товаров, если площадь склада равна 140 м².

Товар	Стоимость подачи заказа, у.е.	Потребность, дн.	Затраты на хранение, у.е./день	Площадь товара, м2
			0,3	1,2
			0,3	0,9
			0,4	0,8
			0,4	1,4

8. Ежегодная потребность в материалах для строительства составляет 3200 т. Стоимость подачи заказа – 230 у.е. Затраты на хранения одной тонны материалов на складе составляет 0,9 у.е. в сутки. Время доставки материалов на строительную площадку составляет 17 дней, максимально возможное время задержки в поставке составляет 2 дня. Определить оптимальную стратегию управления запасами и дать графическое представление модели.

9. Для изготовления люстр с тремя лампочками компания заказывает лампочки по цене 10 у.е. за штуку. Годовая потребность в люстрах составляет 4300 штук. Стоимость подачи заказа составляет 250 у.е. Издержки на хранение одной лампочки на складе обходится компании в 5,6% от стоимости лампочки в день. Время доставки материалов на строительную площадку составляет 14 дней, максимально возможное время задержки в поставке составляет 1 день. Определить параметры системы управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами и дать графическую модель системы.

10. В каждом из следующих случаев дефицит не допускается, а время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно 30 дней. Требуется определить оптимальную стратегию управления запасами и соответствующие дневные затраты, если

1) А = $100, W = $0.05, S = 30 единиц в день, или

2) А = $50, W = $0.05, S = 30 единиц в день, или

3) А = $100, W = $0.01, S = 40 единиц в день, или

4) А = $100, W = $0.04, S = 20 единиц в день.

11. Ресторан заказывает мясной фарш в начале каждой недели для удовлетворения недельного спроса в 300 фунтов. Фиксированная стоимость размещения заказа равна 20 долларов. Стоимость замораживания и хранения одного фунта фарша обходится ресторану примерно в 0.03 доллара в день. Определите недельные затраты ресторана, связанные с существующей стратегией создания запаса. Определите оптимальную стратегию управления запасами в предположении, что время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно нулю. Вычислите разность между текущими недельными затратами ресторана и теми, которые определяются оптимальной стратегией управления запасами.

12. Компания хранит на складе продукцию, которая потребляется с интенсивностью 50 единиц в день. За размещение заказа компания каждый раз платит 20 долларов. Стоимость хранения единицы продукции на складе обходится в $0.35 в неделю. Определите оптимальную стратегию управления запасами, предположив, что время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно 1 неделе. Определите оптимальное количество заказов в течение года (считая, что год имеет 365 дней).

13. Отдел снабжения компании предложил две стратегии управления запасами.

Стратегия 1. Объем заказа 150 единиц при точке возобновления заказа в 50 единиц и времени выполнения заказа 10 дней.

Стратегия 2. Объем заказа 200 единиц при точке возобновления заказа в 75 единиц и времени выполнения заказа 15 дней.

Затраты на оформление заказа равны 20 долларов, а стоимость хранения единицы продукции на складе обходится в $0.02 в день. Какую из двух стратегий следует утвердить? Если бы вы отвечали за разработку стратегии управления запасами, какова была бы ваша рекомендация?

14. Магазин прессует и складывает в поддоны пустые картонные упаковочные коробки для их последующей переработки. За день штабелируется пять поддонов. Стоимость хранения одного поддона на заднем дворе магазина составляет 0.10 доллара в день. Компания, которая перевозит поддоны в перерабатывающий центр, устанавливает оплату в 100 долларов за аренду своего погрузочного обору­дования плюс 3 доллара за перевозку каждого поддона. Изобразите графически изменение количества поддонов с течением времени и разработайте оптимальную стратегию доставки поддонов в перерабатывающий центр.

15. Отель использует внешнюю прачечную для стирки полотенец. За день в отеле накапливается 600 грязных полотенец. Прачечная забирает эти полотенца и заменяет их чистыми через постоянные промежутки времени. Стоимость однократной доставки полотенец в прачечную и обратно равна 81 доллар. Стирка одного полотенца обходится в $0.60. Стоимость хранения в отеле грязного и чистого полотенец равна $0.02 и $0.01 соответственно. Как часто следует отелю пользоваться службой доставки полотенец? (Подсказка. В этой задаче имеется два типа складируемых предметов. Если количество грязных полотенец возрастает, то количество чистых уменьшается с равной интенсивностью.)

16. Фирма может производить изделие или покупать его у подрядчика. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 дол­ларов. Мощность производства составляет 100 единиц в день. Если изделие заку­пается, затраты на размещение каждого заказа равны 15 долларов. Затраты на со­держание изделия на складе, независимо от того, закупается оно или производится на фирме, равны $0.02 в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 260 000 единиц в год. Предположив, что фирма работает без дефицита, оп­ределите, что выгоднее – закупать или производить изделия?

17. Продукция используется с интенсивностью 30 единиц в день. Стоимость хранения единицы продукции равна 0.05 доллара в день, стоимость размещения заказа составляет 100 долларов. Предположим, что дефицит продукции не допускается, стоимость закупки равна 10 долларов за единицу продукции, если объем закупки не превышает 500 единиц, и 8 долларов в противном случае. Определите оптимальную стратегию управления запасами при условии, что срок выполнения заказа равен 21 день.

18. Комплектующие продаются по 25 долларов за единицу, но предлагается 10% скидка при покупке партии от 150 единиц и выше. Компания в день использует 20 единиц комплектующих. Стоимость размещения заказа равна 50 долларов, стоимость хранения единицы товара составляет 0.30 доллара в день. Следует ли компании воспользоваться скидкой?

19. В предыдущем упражнении определите пределы изменения скидки на цену комплектующих в процентах (предлагаемую за партию от 150 единиц и выше), при которых компания не получит никакой финансовой выгоды.

20. Определить оптимальный размер заказа для 4-х видов товаров, если площадь склада равна 120 м².

Товар	Стоимость подачи заказа, у.е.	Потребность, дн.	Затраты на хранение, у.е./день	Площадь товара, м2
			0,3	1,2
			0,2	1,9
			0,4	0,8
			0,4	1,4