Аналитическое интегрирование уравнения движения поезда.

Уравнение движения поезда определяет зависимость между ускорением и равнодействующей приложенных к поезду сил:

км/ч², (13)

где ξ =120 — коэффициент уравнения движения поезда с учетом поправки на силы инерции вращающихся масс;

ƒ_κ -ω_κ – в_т — удельная сила, действующая на поезд, H/kH.

Интегрирование уравнения движения поезда позволяет найти зависимость между скоростью ν, временем tи пройденным расстоянием s.

В инженерной практике уравнение движения поезда обычно интегрируют, пользуясь методом конечных приращений скорости Δν=ν_n+1-ν_n. В пределах этих приращений величина равнодействующей силы принимается постоянной и соответствующей средней скорости ν_ср интервалов. Следовательно, кривая удельных равнодействующих сил заменяется ступенчатой кривой [2,рис.47].

t = (14)

s= (15)

где ν_н — начальная скорость выбранного интервала скоростей, км/ч;

ν_ĸ — конечная скорость интервала, км/ч;

( ƒ_κ - ω_κ – в_т )_ср — численное значение равнодействующей удельной силы, приложенной к поезду при средней скорости интервала (берется по диаграмме удельных равнодействующих сил).

Под равнодействующей удельных сил (ƒ_к- ω_к - в_т )_ср следует понимать разность удельных сил, действующих на поезда.

Эта разность в режиме тяги при движении по ровному горизонтальному пути представляет собой (ƒ_к-ω_ο)_ср при средней скорости интервала изменения скорости. Ее находят по постоянной диаграмме удельных сил для средних скоростей интервалов. При движении по подъему в режиме тяги она будет иметь вид (ƒ_к-ω_к-i )_ср(i – удельное сопротивление от подъема, численно равное числу тысячных подъема).

При движении по спуску, наоборот, к разности (ƒ_к-ω_ο)_срнужно прибавить удельную силу, создаваемую при спуске за счет составляющей веса поезда т.е. (ƒ_к-ω_ο+i_с )_ср.

В режиме холостого хода (выбега) сила тяги отсутствует и удельные равнодействующие силы будут иметь вид: (-ω_οх ± i)_ср, а в режиме торможения: (-ω_οх ± i - в_т)_ср.

Студенту следует учитывать эти изменения (элементов профиля и режимов движения), при расчете проходимого пути и времени в интервалах скоростей.

Для примера приведен расчет времени хода поезда по участку, состоящему из четырех элементов:

площадка длиной 1000 м;

cпуск (3‰) длиной 800 м;

подъем (9‰) длиной 3500 м ;

спуск (12‰) длиной 5000 м.

Равнодействующие удельные силы для режимов тяги, холостого хода и торможения берем из диаграммы удельных равнодействующих сил (рис.3) при средних скоростях интервалов.

Наибольшая допустимая скорость движения 80 км/ч.

Определим время хода поезда по участку от момента трогания до прохода подъемом последнего четвертого элемента участка.

Первый элемент участка

s₁=1000 м; i₁=0.

В интервале ν = 0÷10 км/ч по диаграмме удельных равнодействующих сил (рис.3) в режиме тяги при средней скорости 5 км/ч

(f_к-ω_ο)_ср=14,2 Н/кН;

t₁ = мин,

s₁ = м,

ν = 10 ÷ 20 км/ч; (ƒ_ĸ - ω_ο)_ср= 12 H/kH;

t₂ = мин,

s₂ = м,

ν= 20 ÷ 30 км/ч; (ƒ_ĸ - ω_ο)_ср= 8 H/kH

t₃ = мин,

s₃ = м,

ν= 30 ÷ 40 км/ч; (ƒ_ĸ - ω_ο)_ср= 5,8 H/kH

t₄ = мин,

s₄ = м,

Пройденный путь до достижения поездом скорости 40 км/ч:

s₁ + s₂ + s₃ + s₄ = 30 + 104 + 260 + 503 = 897 м.

До перехода на спуск осталось 1000 – 897 = 103 м. Методом подбора найдем повышение скорости, при котором поезд проходит оставшиеся 103 м:

ν = 40 ÷ 41,5 км/ч; (ƒ_ĸ - ω_ο)_ср = 4,9H/kH

t₅ = мин,

s₅ = м,

Второй элемент участка:

s_н = 800 м; i_н = -3 ‰.

В интервале от 41,5 до 50 км/ч:

(ƒ_κ - ω_ο + ί_с)_ср = 4 + 3 = 7 Н/κН;

t₆ = мин,

s₆ = м,

Оставшиеся 337 м поезд проследует при повышении скорости с 50 до 55 км/ч (опять подбором).

(ƒ_κ - ω_ο + ί_с)_ср = 3,4 + 3 = 6,4 Н/κН;

t₇ = мин,

s₇ = м,

Третий элемент участка:

s₃ = 3500 м; i₃ = 9 ‰.

На этом элементе удельная равнодействующая сила в режиме тяги отрицательна, т.е. скорость будет снижаться. Для средней скорости 50 км/ч в интервале от 55 до 45 км/ч:

( ƒ_κ - ω_ο – ί_n )_ср = 3,8 - 9 = -5,2 Н/κН;

t₈ = мин,

s₈ = м,

ν = 45 ÷ 35 км/ч; ( ƒ_κ- ω_ο– ί_n)_ср = 5,0 - 9 = -4,0 Н/κН;

t₉ = мин,

s₉ = м,

Следующий интервал скорости берем от 35 км/ч до расчетной скорости ν_р = 23,5 км/ч:

( ƒ_κ - ω_ο – ί_п )_ср= 6,7 - 9 = - 2,3 Н/κН;

t₁₀ = мин,

s₁₀ = м,

Итого пройденное расстояние по подъему крутизной 9 ‰ = 3272 м.

При расчетной скорости ν_р = 23,5 км/ч равнодействующая удельных сил

( ƒ_κ - ω_ο – ί_п ) = 9 - 9 = 0.

Поезд движется равномерно до конца 9 ‰-го подъема:

s₁₁ = 3500 – 3272 = 228 м;

t₁₁= мин,

Четвертый элемент участка:

s₄ = 5000 м, i₄ = -12 ‰.

Ускоряющая сила увеличивается, скорость растет.

ν = 23,5 ÷ 30 км/ч; ( ƒ_κ - ω_ο + ί_с ) = 7,5 + 12 = 19,5 Н/κН;

t₁₂ = мин,

s₁₂ = м,

ν = 30 ÷ 40 км/ч; ( ƒ_κ- ω_ο+ ί_с) = 5,8 + 12 = 17,8 Н/κН;

t₁₃ = мин,

s₁₃ = м,

ν = 40 ÷ 50 км/ч; ( ƒ_κ- ω_ο+ ί_с) = 4,1 + 12 = 16,1 Н/κН;

t₁₄ = мин,

s₁₄ = м,

ν = 50 ÷ 60 км/ч; ( ƒ_κ- ω_ο+ ί_с) = 2,8 + 12 = 14,8 Н/κН;

t₁₅ = мин,

s₁₅ = м,

ν = 60 ÷ 70 км/ч; ( ƒ_κ- ω_ο+ ί_с) = 2,1 + 12 = 14,1 Н/κН;

t₁₆ = мин,

s₁₆ = м,

Допустимая скорость по тормозам на крутом спуске ν_доп = 77 км/ч (см. рис. 4). Выключаем тяговые двигатели, достигнув скорости 70 км/ч, и продолжаем двигаться на холостом ходу до скорости 77 км/ч:

ν= 70 ÷ 77 км/ч; (- ω_οх + ί_с ) = -1,9 + 12 = 10,1 Н/κН;

t₁₇ = мин,

s₁₇ = м.

Скорость достигла максимально допустимой – 77 км/ч. Необходимо произвести служебное торможение, снизив скорость до 60 км/ч. Используем кривую служебного торможения диаграммы удельных равнодействующих сил (рис.3).

ν = 77 ÷ 70 км/ч; (-ω_οх - 0,5в_т + i_c) = -27,5 + 12 = -15,5 Н/κН;

t₁₈ = мин,

s₁₈ = м,

ν = 70 ÷ 60 км/ч; (-ω_οх- 0,5в_т+ i_c) = -28 + 12 = -16 Н/κН;

t₁₉ = мин,

s₁₉ = м.

Отпустив тормоза, двигаемся на холостом ходу:

ν = 60 ÷ 70 км/ч; ( ω_οх + i_c) = -1,6 + 12 = 10,4 Н/κН;

t₂₀ = мин,

s₂₀ = м,

ν= 70 ÷ 77 км/ч; ( -ω_οх+ i_c) = -1,9 + 12 = 10,1 Н/κН;

t₂₁ = мин,

s₂₁ = м,

Суммируем пройденный путь по спуску: S = 3285 м.

Оставшийся путь по спуску (5000 – 3285 = 1715 м) пройдем со скоростью 77 км/ч, поддерживаемой регулировочным торможением.

S₂₂ = 1715 м;

t₂₂ = мин.

Результаты расчетов заносим в табл. 7.

Техническая скорость поезда на заданном участке

ν_т = км/ч.

Таблица 7

Сводная таблица результатов расчётов

Параметры элемента	Скоростной интервал	1, км/ч	2, км/ч	(fк к - вт)ср , Н/кН	i , мин	t = t , мин	Si ,м	S= S , м	Режим работы локомотивов
I S1=1000 м i1=0			41,5	14,2 5,8 4,9	0,35 0,4 0,62 0,86 0,2	2,43			Режим тяги То же -//- -//- -//-
II S2=800 м i2= -3‰		41,5		4+3=7   3,4+3=6,4	0,6   0,4	1,0			Режим тяги   То же
III S2=3500 м i2= 9‰		23,5	23,5 23,5	3,8-9=-5,2 5,0-9=-4,0 6,7-9=-2,3 9-9=0	0,96 1,25 2,5 0,58	5,29			Режим тяги То же -//- -//-
IV S2=5000 м i2= -12‰		23,5		7,5+12=19,5 5,8+12=17,8 4,1+12=16,1 2,8+12=14,8 2,1+12=14,1 1,3+12=13,3 -27,5+12=15,5 -28+12=16 -1,6+12=10,4 -1,9+12=10,1	0,16 0,28 0,3 0,34 0,35 0,375 0,32 0,3 0,48 0,34+1,3	4,4			Режим тяги То же -//- -//- -//- -//- Служ. тормож Режим х.х. -//-