Лекция 7. характеристики передачи цепей автоматики и связи

При использовании электрической цепи в качестве передающей линии желательно, чтобы она незначительно ослабляла электрический сигнал и не искажала его форму. Свойства цепи определяются ее реакцией на те или иные воздействия, поэтому реакцию рассматривают как характеристику цепи. Так как каждому воздействию соответствует своя реакция, то для цепи можно установить ряд характеристик. Реакция цепи на воздействие электрического сигнала определяется, во-первых, свойствами самой цепи, во-вторых, видом (формой сигнала). Свойства собственно цепи в свою очередь определяются ее реакцией на элементарные сигналы, поэтому последнюю рассматривают как характеристику передачи цепи. Практически используют несколько характеристик передачи цепи, являющихся ее реакциями на элементарные сигналы, входящие в состав сложных сигналов, а именно, частотные, временные, операторные.

Поэтому математическая модель физической цепи может быть задана частотными, временными или операторными характеристиками передачи. Выбор тех или иных характеристик передачи практически определяется принятым способом представления сигнала сложной формы через элементарные сигналы. Если воспользоваться каким-либо «новым» способом представления входного сигнала, то одновременно возникли бы и «новые» характеристики передачи цепи.

Различные характеристики передачи, описывающие по разному свойства одной и той же цепи, имеют взаимно однозначное соответствие, если они обладают равной полнотой.

Для решения многих практических задач, связанных с передачей электрического сигнала по цепи связи достаточно знать соотношения между напряжениями и токами на входе и выходе цепи и не интересоваться законом распределения напряжений и токов по длине цепи, Если генератор и приемник считать внешними элементами по отношению к цепи, то последняя представляет собой четырехполюсную цепь. Это позволяет получить зависимость условий передачи цепи отдельно от свойств генератора и приемника. Для определения характеристик передачи уединенной цепи используют теорию четырехполюсника. Или, другими словами, в этом случае, достаточно определить входные и передаточные функции цепи.

Передаточными функциями называют любые функции, показывающие в комплексной форме соотношения между выходными и входными величинами, например, между напряжениями.

Частотные характеристики

Определяются для установившегося режима гармонических колебаний. Частотные характеристики цепи полностью определяются ее передаточной функцией (здесь термин «функция» подчеркивает зависимость соответствующей характеристики от частоты). Комплексная передаточная функция цепи в режиме заданного входного напряжения (рис.1) определяется как

(1)

Рис. 1

где и - комплексная амплитуда напряжения синусоидального колебания частотой w соответственно на входе и выходе цепи,

j ₁(w) и j ₂(w) - фазы синусоидальных колебаний соответственно на входе и выходе цепи.

При согласованных нагрузках по концам цепи определяется собственными характеристиками цепи, т.е. зависит только от свойств цепи.

Амплитудно-частотную характеристику цепи можно рассчитать через модуль передаточной функции

(2)

в неперах,

или в децибеллах,

(3)

Фазо-частотная характеристика цепи (в радианах)

(4)

характеризует изменение разности фаз напряжений на выходе и входе цепи связи.

Для обеспечения передачи сигналов без искажений цепь должна обладать не зависящей от частоты характеристикой затухания и линейной фазо-частотной характеристикой (рис.2,а и б соответственно). Аналогично на временном языке это требование означает неизменность формы импульса на входе и выходе цепи.

Рис. 2

Для однородных цепей можно перейти к километрическим значениям характеристик (коэффициентам) затухания цепи из выражения (2.3) и фазового сдвига b(w) из выражения (2.4)

(5)

(6)

где - длина однородной цепи, км.

Временные характеристики.

Определяются для переходного режима работы цепи. К временным характеристикам цепи относятся переходная функция h(t) и импульсная переходная функция g(t) = dh(t)/d(t). Здесь термин «функция» означает зависимость соответствующей характеристики от времени.

Физически h(t) характеризуется напряжением на выходе цепи при подаче на вход цепи напряжения типа единичного скачка u ₀ (t) ® s (t) . Аналогично g(t) характеризуется напряжением на выходе цепи при подаче на вход цепи импульса напряжения имитирующего функцию d (t).

Любые из характеристик цепи (частотные или временные) являются полной математической моделью передаточных свойств цепи и эквивалентны. Они могут быть выражены одни через другие преобразованиями Лапласа или Фурье.

Выбор функций, характеризующих параметры передачи данной цепи, определяется удобствами вычислений или измерений в зависимости от следующих условий: однородная или составная цепь; согласованная или несогласованная нагрузка на конце цепи; наличие соответствующего программного обеспечения.

Частотные зависимости характеристик передачи цепей симметричных и коаксиальных кабельных линий достаточно хорошо изучены, поэтому в настоящее время определение временных характеристик цепи выполняется через известные частотные характеристики.

В случае однородных согласованно нагруженных цепей задача упрощается и сводится к аппроксимации коэффициента распространения волны g^* = a+ j b , где a - километрический коэффициент затухания, а b - километрический фазовый сдвиг. При этом можно определить временные характеристики однородной цепи любой длины через известные значения коэффициента распространения волны в заданном диапазоне частот. Во всех остальных случаях требуется подбирать аппроксимационное выражение для заново для каждого варианта условий, в том числе и при изменении длины цепи.

* - Здесь и далее по умолчанию зависимость коэффициентов от частоты тока не указывается.

Задача аппроксимации g как функции частоты может быть решена на основании экспериментально определенных значений a и b в требуемом диапазоне частот или аналитическим расчетом по конструктивным параметрам цепи.

Частотный коэффициент затухания a обычно аппроксимируют функцией вида

, дБ/км, (7)

где a₀- коэффициент затухания на постоянном токе, - соответственно сопротивление цепи и проводимость изоляции цепи при постоянном токе);

8,69 – коэффициент перехода от единицы затухания «Непер» к «децибелл»

b и c - коэффициенты, характеризующие потери соответственно в металлах и диэлектриках;

f - частота , МГц.

Коэффициенты b и c по измеренным значениям a (f) вычисляются методом наименьших квадратов .

Коэффициент фазы аппроксимируют выражением

рад/км, (8)

где первое и второе слагаемые соответственно аппроксимируют линейную и нелинейную составляющую b.

С учетом (7) и (8) коэффициент распространения имеет вид

, (9)

где L и C - километрические значения соответственно индуктивности и емкости цепи.

Аппроксимация вида (9) наиболее точно отражает физические процессы в цепи. Однако определение временных характеристик цепи по выражению (9) в общем случае встречает значительные математические трудности.

В частном случае при использовании высококачественной (стирофлексной или полиэтиленовой) изоляции потери в проводниках значительно превышают потери в диэлектрике и последними можно пренебречь. В этом случае с достаточной для практики точностью можно пользоваться аппроксимационным выражением вида

. (10)

где = /8,69 и .

Расчет операторным методом реакции цепи на воздействие прямоугольным импульсом. Для определения условий прохождения последовательно­сти импульсов по цепи достаточно знать форму одиночного импульса на выходе цепи, при подаче на ее вход импульса прямоугольной формы.

Форма импульса на выходе цепи может быть определена через переходную функцию цепи. Переходная функция h(t) в свою очередь наиболее просто может быть выражена че­рез комплексную передаточную функцию цепи . В случае одно­родной цепи, длиной

(11)

Вводя оператор и скорость распространения вол­ны , выражение (10) можно переписать в виде

(12)

Для однородной, согласованно нагруженной линии напря­жение в конце цепи при воздействии единичного скач­ка напряжения в начале цепи с учетом выражений (11) и (12) равно:

(13)

Найдем по L-изображению (13) его оригинал. .Множи­тель , как не зависящий от p, можно вынести за знак преобразования. Множитель связан с коэффици­ентом фазы и согласно теореме запаздывания показывает, что начало отсчета должно быть смещено на время , равное времени пробега волны до конца цепи.

Оригинал изображения является табличным и выражается через интеграл вероятности:

. (14)

Таким образом, окончательное решение имеет вид

(15)

Для функции erf(z)=Ф(z ), называемой интегралом вероятности, составлены таблицы.

Это выражение характеризует переходный процесс от еди­ничного скачка напряжения и является переходной функцией цепи

Переходная функция цепи позволяет рассчитать форму импульса в конце цепи при прямоугольной форме импульса на ее входе. Представляя прямоугольный импульс длительно­стью t как сумму двух функций (рис.3,а) в виде

Рис. 3

Получим в конце цепи (рис.3,б) с учетом (2.15)

. (16)

При не единичном напряжении прямоугольного импульса в начале цепи, а равном U₀ В, необходимо ввести это значение в качестве сомножителя в выражение (16).

При получении выражения (16) предполагалось, что цепь нагружена на согласованную нагрузку, т.е. Z_н = Z_в. Практически наибольшая несогласованность нагрузки имеет место в области относительно низких частот, в которой изменение волнового сопротивления в зависимости от частоты происходит наиболее резко.

Результаты расчета по формуле (16) лучше совпадают с измеренными значением , если в указанной формуле вместо множителя использовано выражение , где – сопротивление нагрузки, а - сопротивление жил.