Лекция 6. особенности электромагнитных процессов в направляющих системах

1.Распространение и потери энергии (затухание) в направляющих системах Электромагнитная энергия будет распространяться в заданном направлении вдоль направляющей системы только тогда, когда векторы напряженности электрического и магнитного полей будут лежать в плоскости, поперечной относительно оси системы.

Рис. 1

Вначале рассмотрим процесс распространения электромагнитной энергии вдоль однородной симметричной цепи без потерь. Пусть плоские падающие волны распространяются в положительном направлении оси z , совпадающей с осью проводника, а ось r проходит через центры проводников а и б рис.1. Тогда векторы напряженности электрического и магнитного полей в любой точке пространства, окружающего проводники, находятся в плоскости, перпендикулярной к оси проводов. Предположим, что в сечении цепи, проходящем через точку m на проводе а будет положительный потенциал, а на проводе б - отрицательный. Тогда в соответствии с направлением векторов электрического и магнитного поля в этом сечении цепи вектор Умова-Пойтинга ( ), представляющий собой векторное произведение векторов и показывающий плотность и направление движения энергии, будет направлен от генератора к нагрузке вдоль оси системы (рис.1).

В сечении цепи, проходящем через точку n и отстоящем на расстоянии λ/2 от сечения в точке m, направления векторов изменяется на противоположные, а направление вектора Умова-Пойнтинга останется неизменным, хотя токи в проводах имеют противоположное направление. Отсюда следует, что электромагнитная энергия передается от генератора к нагрузке не зарядами, движущимися по проводам, а электромагнитным полем, которое распространяется в окружающем провода диэлектрике. Провода здесь являются только системой, направляющей движение волн в межпроводном тракте.

На потерях энергии при распространении волн всегда сказывается влияние проводников и диэлектриков, встречающихся на их пути. В однородной цепи, обладающей активным сопротивлением, кроме возникновения напряжения между проводами происходит его падение вдоль проводов. Поэтому в двухпроводных цепях с потерями линии электрического поля искривляются (рис.2,а) Тогда вектор Умова-Пойнтинга вблизи от проводов отклоняется от оси цепи. Разложим его на две составляющие (рис. 2,б), из которых большая П _z соответствует потоку энергии, передаваемой вдоль цепи, а меньшая П _пр есть часть энергии, проникающей внутрь провода и расходуемой на нагрев проводов. Оба процесса движения электромагнитного поля вдоль и внутри проводников являются волновыми. Энергия теряется также и в близлежащих проводниках (в соседних цепях кабеля, экранах, металлической оболочке, броне), в которых наводятся вихревые токи. При этом наибольшее воздействие оказывают близко расположенные к рассматриваемой цепи металлические элементы кабеля. Кроме того, вихревые токи создают поле, которое воздействуя на поле проводников цепи, изменяет их параметры.

Рис.2

Если направляющая система включает в себя диэлектрик (не считая воздуха, являющегося идеальным диэлектриком), то часть энергии расходуется на поляризацию диэлектрика. Поляризацией называется смещение положительных и отрицательных зарядов в изоляции под действием электрического поля. Переменная поляризация обусловливает возникновение токов смещения (емкостных токов) и вызывает затраты энергии на переориентацию диполей (потери в диэлектрике). Чем выше частота колебаний, тем сильнее токи смещения и больше потери. При постоянном токе потери отсутствуют.

Таким образом, уменьшение энергии волны при ее движении вдоль направляющей системы обусловлено потерями в металле проводников, образующих цепь, и в металле посторонних проводников, находящихся в ее поле, а также в диэлектрике и вследствие излучения. Это уменьшение передаваемой энергии оценивается затуханием сигнала

Величина первого слагаемого α_пр (потери в металле) прямо пропорциональна корню квадратному частоты колебаний , второго – зависит от частоты линейно, а третьего – прямо пропорциональна величине f ² (рис.3) Отдельные слагаемые затухания в некоторых направляющих системах очень малы или могут быть равны нулю. Напомним, что в технике связи затуханием называется выраженное в логарифмическом масштабе отношение мощности сигнала в начале и конце цепи.

Рис.3

Поверхностный эффект. С увеличением частоты тока активное сопротивление проводника растет, а индуктивность уменьшается. Это явление получило название поверхностного эффекта и объясняется особенностями распространения электромагнитной энергии вдоль проводников. В отличие от постоянного тока, плотность распределения которого одинакова по всему сечению проводника, плотность переменного тока наибольшая у поверхности проводника и убывает по направлению к его центру. Ток проводимости может существовать только в той части проводника, которая пронизывается электромагнитным полем. Поэтому при слабом поверхностном эффекте плотность тока больше у поверхности проводника и меньше в средней части его сечения (рис. 4,а), а при сильном - ток течет только в поверхностном слое (рис. 4,б). Неполное использование сечения проводника приводит к увеличению его сопротивления при переменном токе. Количественная оценка увеличения сопротивления проводников за счет поверхностного эффекта дана в п.2.

Рис. 4

Эффект близости. Если вблизи провода, поля которого определяются для вычисления первичных параметров, находится другой провод или проводящая поверхность (земля, экран, оболочка кабеля), то в результате взаимодействия зарядов и токов в этих сближенных проводниках распределение полей меняется. Это изменение полей по сравнению с полями уединенного проводника называется эффектом близости.

В двухпроводных цепях переменное магнитное поле провода вызывает в массе соседнего провода перераспределение плотности тока по его сечению (рис. 5,а), направления токов показаны стрелками и влияют на параметры цепи.

Рис.5

Эффект близости прямо пропорционален частоте, магнитной проницаемости и диаметру проводника и, кроме того, зависит от расстояния между проводниками цепи. При сближении проводников друг к другу действие эффекта близости возрастает пропорционально квадрату расстояния.

При расчете активного сопротивления и индуктивности цепей симметричных и коаксиальных кабелей необходимо учитывать влияние поверхностного эффекта и эффекта близости, которые приводят к различному распределению тока по сечению проводников указанных цепей. Так, в симметричной цепи указанные эффекты приводят к несимметричному распределению тока по сечению проводников: плотность тока наибольшая на обращенных друг к другу поверхностях проводников (рис. 5,б). В коаксиальной цепи плотность тока в проводнике А распределяется по сечению проводника симметрично; в проводнике Б ток сосредоточен на его внутренней поверхности (рис. 5,в). В коаксиальных кабелях оба эффекта вызывают сосредоточение токов проводимости на наружной поверхности внутреннего проводника и на внутренней наружного.

Электромагнитное экранирование. В технике передачи электрических сигналов очень важно избежать взаимных влияний между соседними цепями, а также влияния внешних электромагнитных полей, так как индуцированные токи и напряжения создают помехи и затрудняют безошибочный прием сигналов. Действенной мерой защиты от влияния переменных электромагнитных полей является электромагнитное экранирование.

Для защиты кабельных цепей от внешних помех применяются экраны и другие металлические элементы конструкции кабеля: металлические оболочки и броневые покровы. Металлические оболочки, как правило, имеют сплошную цилиндрическую оболочку из алюминия, стали или свинца. Известны также конструкции двухслойных экранирующих оболочек, например, алюминий – сталь.

Экраны изготавливают из алюминиевых, медных, стальных лент, накладываемых спирально или продольно вдоль кабеля, а оплеточные экраны - из плоских или круглых проволок. В коаксиальных кабелях для обеспечения требуемых норм помехозащищенности при однокабельной системе связи внешний проводник выполняется биметаллическим (медь-сталь).

В реальных условиях необходимо считаться с воздействием как магнитных, так и электрических полей. Наибольшее воздействие при внешних влияниях оказывает магнитное поле; при взаимных влияниях соотношение между электрическим и магнитным полем определяется волновым сопротивлением цепи и зависит от частоты тока.

Электромагнитное экранирование основано на том, что поле, проникая из диэлектрика в металл, сильно затухает, распространяясь в металле.

Эффект экранирования оценивают коэффициентом экранирования

, (1)

или затуханием экранирования

, (2)

где Е и Н – напряженности электрического и магнитного полей в точке пространства при отсутствии экрана;

Е_Э и Н_Э – напряженности электрического и магнитного полей при наличии экрана.

Экранизирующее действие тем сильнее, чем толще экран, чем больше магнитная проницаемость и меньше удельное сопротивление металла, а также чем выше частота колебаний поля. Значение коэффициента экранирования изменяется от 1 до 0 , характеризуя в последнем случае наивысший экранирующий эффект.

Так как в коаксиальных кабелях и металлических волноводах используют очень высокие частоты, то наружный проводник первого и металлическая трубка второго обеспечивают их высокую степень экранирования. Для повышения коэффициента экранирования используют многослойные экраны, причем в них чередуют слои из магнитных и немагнитных металлов. Повышение экранирующего действия достигается здесь не только за счет поглощения, но и отражений волны на нескольких границах металлов с разными волновыми характеристиками. Наилучший эффект дают многослойные экраны, состоящие из чередующихся слоев меди и стали. С удалением экрана от экранируемых цепей коэффициент экранирования возрастает. Одновременно уменьшаются потери в экране на вихревые токи, т.е. снижается затухание цепи. Однако увеличение диаметров экранов в кабелях экономически невыгодно, так как приводит к увеличению поперечного сечения кабеля и дополнительному расходу материалов.

Коэффициент защитного действия. Эффективность экранирования в диапазоне низких частот (50-3400 Гц) называется коэффициентом защитного действия (КЗД), численные значения которого определяются тем же выражением (1), что и для коэффициента экранирования. При низких частотах влияние внешнего электромагнитного поля на цепи частично компенсируется электромагнитным полем, создаваемым продольными токами, индуцируемыми в металлических элементах конструкции кабеля (металлической оболочке, броневых покровах). Численные значения коэффициента защитного действия кабельной оболочки и троса зависят не только от их электрических характеристик, но и от величин сопротивлений их заземления. Эффективность защитного действия металлических покровов тем выше, чем меньше их величина их сопротивлений и сопротивлений заземлений. Защитное действие также оказывают рельсовые пути. Суммарный коэффициент защитного действие кабельной оболочки S_об, рельсов S_р и троса S_т определяется выражением

2. Внутреннее сопротивление уединенного круглого провода

Сопротивление проводника является суммой активного и индуктивного сопротивлений. Индуктивное сопротивление зависит от сцепленного с проводом магнитного потока. При решении задач по определению параметров цепи удобно суммарный магнитный поток делить на две части: внутренний (в проводах) и внешний (вне провода). Индуктивность проводника в этом случае разделяется соответственно на внутреннюю и внешнюю.

Внутренним сопротивлением провода (Z) называется зависящая от частоты часть полного сопротивления провода, состоящая из активного сопротивления R и реактивного сопротивления , где - внутренняя индуктивность провода. Внутреннее сопротивление можно определить как коэффициент пропорциональности на единице длины провода между продольной составляющей электрического поля на поверхности провода и полным током, протекающим через поперечное сечение провода.

Внутреннее сопротивление отличается от полного на величину jωL’’, где L’’ - внешняя индуктивность провода.

Для определения внутреннего сопротивления провода удобно использовать дифференциальное уравнение второго порядка для продольных составляющих Е_Z, электрического поля в области внутри провода. Значение Е _Z можно определить из уравнения (18, лекц. 5) с учетом следующих условий: изменение Е _Z на единицу длины проводника ничтожно мало по сравнению с изменением в направлении к оси проводника, поэтому величиной можно пренебречь; имеется осевая симметрия поля, и , следовательно, = 0. В этом случае уравнение (18, лекц. 5) примет вид :

(3)

Здесь через k обозначен коэффициент распространения волны в проводе, равный

(4)

Особенность уравнения (3) состоит в том, что коэффициент при производной первого порядка есть величина переменная, зависящая от параметра r.

По степени проявления поверхностного эффекта последний условно можно разделить на сильный и слабый. Такое разделение позволяет рассчитывать величину внутреннего сопротивления Z в случае сильного поверхностного эффекта по простым формулам.

Сильный поверхностный эффект. Если поверхностный эффект проявляется настолько сильно, что глубина проникновения поля в провод мала по сравнению с радиусом провода r ₀ , то можно не считаться с кривизной волны, проникающей в провод, т.е. положить, что и . В этом случае уравнение (3) превращается в обычное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентами:

, (5)

аналогичное уравнению (9, лекц.5). Его решение определяет плоские волны в металлическом проводнике.

Решение уравнения (5) можно записать в виде :

(6)

Первое слагаемое соответствует отраженной волне, второе - падающей, так как убывает при удалении от оси провода, а - при приближении к оси провода.

Поскольку сделано предположение, что электромагнитное поле из пространства, окружающего провод, проникает в тонкий поверхностный слой проводника, то нет отраженной волны. Это значит, что А₁ = 0 , тогда с учетом выражения (4) из (6) получим

(7)

Для определения постоянной интегрирования, положим r = r ₀. Тогда

и

(8)

Отношение (8) есть отношение плотности тока в сечении радиуса r к плотности тока у поверхности проводника.

Если вместо радиуса r рассматривать расстояние от поверхности провода вглубь проводника а = (r ₀ - r), то формула (8) примет вид :

, (9)

где j (a) , j (0) - плотности тока соответственно на глубине а и у поверхности проводника.

Общий ток, текущий по проводнику, численно равен интегралу плотности тока по площади поперечного сечения, занятой током. Предполагая, что ток течет по плоскому проводнику, ширина поперечного сечения которого равна 2πr₀ , получим

, (10).

Заменив на S , получим

,

где i - полный переменный ток, протекающий по проводнику;

i ₀= S j(0) - постоянный ток, протекающий по проводнику при той же напряженности электрического поля.

Имея в виду, что отношение токов обратно отношению сопротивлений, внутреннее сопротивление проводника

(11)

где R ₀ - сопротивление проводника постоянному току.

Из выражения (11) следует, что при сильном поверхностном эффекте внутреннее реактивное сопротивление численно равно активному сопротивлению проводника и обе эти величины прямо пропорциональны квадратному корню от частоты.

Слабый поверхностный эффект. Если глубина проникновения поля (тока) в провод соизмерима с радиусом его сечения и требуется учитывать кривизну волны, наблюдается слабый поверхностный эффект. В этом случае математически задача более сложна и требует решения дифференциального уравнения (3) с переменными коэффициентами, называемого уравнением Бесселя нулевого порядка.

Общее решение этого уравнения выражается через функции Бесселя от комплексного аргумента (jkr) в виде :

(12)

где А ₁ и А ₂ - постоянные интегрирования;

J₀ (jkr) и N₀ (jkr) - функции Бесселя соответственно первого и второго родов нулевого порядка.

Функция J₀(jkr) относится к одной из разновидностей так называемых цилиндрических функций. Она трансцендентна и вычисляется через разложение в асимптотический ряд. Зависимость изменения модуля этой функции от аргумента (|k|r) соответствует кривой 1 на рис.6,откуда видна некоторая аналогия с характером изменения модуля показательной функции е^kr (кривая 2), характеризующей степень ослабления плоской волны. Цилиндрическая волна в проводнике ослабевает медленнее, чем плоская.

Рис. 6

Первое слагаемое в уравнении (12) можно трактовать как падающую волну цилиндрической формы в отличие от падающей плоской волны, которой соответствует слагаемое - А₂ е^kr в уравнении (6). Второе слагаемое в уравнении (34) соответствует отраженной волне, но так как энергия падающей волны расходуется на нагрев тонкого поверхностного слоя проводника, то отраженной волны нет. Это значит, что А₂ = 0. Тогда искомое решение имеет вид:

(13)

Отсюда

(14)

Умножая обе части последнего равенства на проводимость проводника, получим для плотности тока

. (15)

Отношение / характеризует поверхностный эффект в случае цилиндрической волны. При заданном материале проводника степень уменьшения напряженности поля внутри проводника зависит не только от частоты тока, но и от диаметра проводника. На рис.7 кривые 1, 2 ,3 характеризуют уменьшение плотности тока при частоте f = 100 кГц в N раз в зависимости от расстояния r ₁ от поверхности проводника при его диаметре соответственно равном 1; 1,2; 1,4 мм. Кривая 4 соответствует плоской волне. Из рассмотрения приведенных кривых видно, что крутизна уменьшения плотности тока в цилиндрическом проводнике возрастает с увеличением диаметра проводника. Это обстоятельство следует учитывать при выборе диаметра жил кабеля для работы высокочастотных систем передачи.

Рис. 7

Для определения полного тока в проводе воспользуемся вторым уравнением системы (2, лекц.5). Интересующая нас составляющая в цилиндрических координатах имеет вид :

. (16)

Так как внутри проводника токи текут только вдоль оси проводника, принимаемый нами за ось z , то в уравнении (16) параметр Е _r = 0 и

(17)

Подставив в уравнение (17) значение параметра Е _z из выражения (14), получим

(18)

где - производная от по r .

Полный ток в проводе можно определить из уравнения .

Интегрирование вдоль магнитной силовой линии, проходящей по поверхности провода, дает

(19)

Полное внутреннее сопротивление единицы длины провода

(20)

Так как , то выражение (20) можно представить следующим образом: (21)

Обозначая отношение R/ R ₀ через k ₁ , а через k₂ , где - внутренняя индуктивность провода при постоянном токе . Коэффициенты k ₁ и k ₂ , связывающие параметры провода при переменном токе с параметрами провода при постоянном токе, определяются из выражения (21):

Коэффициент k₂ получен с учетом того, что .

Коэффициенты k₁ и k₂ зависят от произведения величин k r ₀. Вычисление коэффициентов k₁ и k₂ требует определения значений функций J₀ (jkr₀) и J₀^’ (jkr₀) комплексного аргумента, так как , что весьма затруднительно.

Для упрощения расчетов сопротивления и индуктивности проводов круглого сечения при переменном токе составлены таблицы и графики значений k₁ и k₂ в зависимости от значений величины

(24)

где d = 2 r ₀ - диаметр проводника.

В том случае, когда требуется рассчитать индуктивность и сопротивление двухпроводной кабельной цепи, задача по сравнению с рассмотренной значительно усложняется за счет необходимости учета эффекта близости, т.е. воздействия внешнего поля от второго проводника цепи.