Решение статистических игр по различным критериям

Статистическая игра (игра с природой) – это парная матричная игра, в которой сознательный игрок А(статистик), заинтересованный в наиболее выгодным для него исходе игры выступает против участника, совершенно безразличного к результатам игры (назовем его природой П).

Статистик может использовать несколько стратегий А₁, А₂,…,А_m. Природа также обладает множеством стратегий (состояний) П₁, П₂,…,П_n. Под состоянием природы будем понимать полную совокупность внешних условий, в которых статистику приходится выбирать свою стратегию. Из прежнего опыта статистику обычно известны возможные состояния природы, а иногда и вероятности q_j, с которыми природа реализует их. Эти вероятности называют априорными. Статистик может уточнить свои знания о состоянии П_j природы и вероятности q_j, их реализации путем проведения экспериментов. Вероятности, установленные таким образом, называют апостериорными.

В своих взаимоотношениях, с природой статистик может пользоваться как

чистыми стратегиями А_i, так и смешанными стратегиями =(p₁;…..p_m). Если он имеет возможность оценить последствия применения каждой своей чистой стратегии А_i в зависимости от любого состояния П_j природы, т.е. если ему известен численный результат a_ij для каждой допустимой комбинации (А_i;П_j),то статистическую игру можно задать платежной матрицей [a_ij]_m*n.

Критерий Вальда

Критерий Вальда – это максиминный критерий, и его можно сформулировать как для чистых, так и для смешанных стратегий. Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, так как здесь статистик исходит из предположения, что природа «действует» против него наихудшим образом, т.е. реализует такие состояния П_j, при которых величина его выигрыша принимает наименьшее значение. Исходя из этого, статистик выбирает такую чистую стратегию А_i, при которой наименьший выигрыш будет максимальным, т.е. обеспеченным (См. пример 5, п. 2, стр.17).

, i,j=

Как видно из этой таблицы v= =6

Следовательно, оптимальной по Вальду является чистая стратегия А₂ (открывать ателье на 4тыс ремонтов в год).

Для смешанных стратегий критерий Вальда формируется следующим образом: оптимальной смешанной стратегией статистика считается та, при которой его минимальный средний выигрыш максимизируется. В рассмотренном примере для нахождения оптимальной по Вальду смешанной стратегии * = ( *, *,..., *) решается соответствующая задача линейного программирования. В результате получится *=(0,75;0;0;0,25), v=9. С практической точки зрения результат решения удобней использовать в следующем виде: показатель эффективности телеателье будет максимальным и составит 9 тыс.ден.ед., если открыть ателье на 2*0,75+4*0+6*0+8*0,25=3,5 тыс. ремонтов в год. Найденное значение в смешанных стратегиях явно рациональней, нежели в чистых стратегиях, так как мощности ателье меньше (3,5<4), а показатель эффективности выше (9>6).

2. критерий Гурвица, называемый критерием пессимизма-оптимизма, рекомендует рассчитывать на нечто среднее. В области чистых стратегий оптимальной считается стратегия, найденная в условиях

, где принимает значение из интервала (0;1) и выбирается из субъективных соображений. При =1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (крайнего пессимизма), а при =0 в критерий крайнего оптимизма.

Пусть в нашем примере =0,8, тогда имеем

= .

Все промежуточные результаты приведены в исходной таблице в последнем столбце (См. пример 5, п. 2, стр.17).

Отсюда maxG_i=12 и соответствует стратегии А₂ (открыть ателье на 4 тыс.ремонтов год, которая и будет оптимальной).

Критерий Сэвиджа

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма. Согласно критерию Сэвиджа рекомендуется выбрать в качестве оптимальной ту чистую стратегию А_i, при которой величина максимального риска будет минимальной.

где r_ij – элементы матрицы [r_ij]_4*4

Элементы r_ij матрицы рисков определяются по формуле r_ij=β_j-a_ij≥0, где β_j – максимально возможный выигрыш при состоянии П_j (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы), т.е. (j= ),

Отсюда, матрица рисков будет

Аi	Пj	П1(2)	П2(4)	П3(6)	П4(8)	S
А1(2)
А2(4)
А3(6)
А4(8)

Из нее следует S=min(84;56;28;36)=28, т.е. оптимальной чистой стратегией по Сэвиджу будет стратегия А₃ (открывая ателье на 6 тыс. ремонтов в год), так как именно при этой стратегии минимизируется максимальный риск.

При использовании критерия Сэвиджа в области смешанных стратегий вместо среднего выигрыша (как было в критерии и Вальда) рассматривается средний риск. Самым неблагоприятным для статистика является такое состояние П_j природы, при котором величина среднего риска достигает наибольшего значения. Критерий Сэвиджа рекомендует в качестве оптимальной стратегии выбирать ту смешанную стратегию *, при которой максимальное значение среднего риска будет минимальным.

Другая группа критериев – это критерий Байеса и Лапласа. В этих критериях пользуются как средние значения , для

определяемые для каждой чистой стратегии A_i, так и средние значением r_i риска, которые определяются по матрице рисков.

В качестве оптимальной стратегии по критерию Байеса принимается чистая стратегия А_i, при которой средний выигрыш статистика будет максимальным. Предположим, что вероятности q_j состояний природы П_j известны и соответственно равны (0,2;0,35;0,25;0,2). Тогда значения средних выигрышей для каждой чистой стратегий определяется:

A₁ =0,2*18+0,35*8+0,25(-2)+0,2*(-12)=3,5

A₂ =0,2*6+0,35*36+0,25*26+0,2*16=23,5

A₃=0,2*(-6)+0,35*24+0,25*54+0,2*44=29,5

A₄=0,2*(-18)+0,35*12+0,25*42+0,2*72=25,5

Наибольший средний выигрыш, равный 29,5,достается при стратегии А₃ (открытие ателье на 6 тыс.ремонтов в год), которая и будет оптимальной по Байесу.

Аналогично можно найти оптимальную по Байесу стратегию, используя матрицу рисков. В этом случае средний риск следует минимизировать. Можно доказать, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш, совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск.

Если статистик не располагает объективной информацией об априорных вероятностях q_j состояний природы Пj и считает в равной мере правомерным все состояния, то их вероятности полагаются одинаковыми, т.е. q₁=q₂=….q_n=1/n. Этот пример называют принципом недостаточного основания Лапласа. Отсюда и критерий Лапласа, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш Аi при равенстве всех априорных вероятностей. В нашем примере для критерия Лапласа априорные вероятности

q₁=q₂= q₃=q₄=0,25

Средний выигрыш составят:

q₁ =0,25(18+8-2-12)=3

q₂ =0,25(6+36+26=16)=21

q₃=0,25(-6+24+54+44)=29

q₄=0,25(-18+12+42+72)=27

Наибольший средний выигрыш, равный 29, достигается при стратегии А₃ (открыть ателье на 6 тыс.ремонтов в год),который будет оптимальный по Лапласу.

В интересах объективности можно найти средние значения j вероятностей, определенных квалифицированными экспертами для каждого состояния на основе субъективного опыта экспертов.

9 Тестовые вопросы

0011234 Суть игры состоит в том, что:

1. Следует последовательно распределить все запасы, имеющиеся в первом, во втором и т.д. пунктах производства, по первому, второму и т.д. пунктах потребления;

2. Каждый из участников принимает такие решения в развивающийся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить наилучший исход:

3. Найти максимум или минимум выбранной в соответствии с интересами аналитика целевой функции при имеющихся ограничениях;

4. Квадрат суммы разностей между фактически значением результативного признака и его теоретическим значением сводится к минимуму.

0022134 Исход игры – это:

1. Значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша, которая может задаваться аналитическим выражением;

2. Выбор и реализация игроком одного из предложенных вариантов;

3. Значение некоторой функции выигрыша, которая может задаваться либо

аналитическим, или таблично;

4. Значение некоторой функции, называемой функции выигрыша, которая может задаваться только таблично.

0034123 Стратегия игры – это:

1.Математическая дисциплина конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации;

2. Упрощенная математическая модель конфликтных ситуаций, отличающаяся от реальных конфликтов тем, что ведётся по определенным правилам;

3. Совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающаяся в процессе игры;

4. Действия, которые обеспечили бы наилучший результат.