Перечень вопросов, подлежащих разработке

Аналитический обзор

1.1 Анализ методов статистической обработки экспериментальных данных.

Основная часть. Технология разработки программного комплекса

2.1. Разработка пользовательского интерфейса.

2.2. Разработка программы, реализующей подбор статистической модели методом наименьших квадратов

2.3. Написание тестов для программы.

2.4. Написание инструкции пользователя программного комплекса.

Перечень графического материала

1. Алгоритм программы, реализующей подбор статистической модели методом наименьших квадратов

2. Скриншоты пользовательского интерфейса в процессе работы программы.

Требования к аппаратному и программному обеспечению

Программное обеспечение должно быть написано на зыке программирования Microsoft Visual Basic

Дата выдачи задания ______

Срок представления к защите ______________________________

Заведующий кафедрой ______________ В.И. Халимон .

(подпись, дата) (инициалы, фамилия)

Лектор, ____________________ ____________________

должность (подпись, дата ) (инициалы, фамилия)

Руководитель, ____________________ ____________________

должность (подпись, дата ) (инициалы, фамилия)

Задание принял ____________________ ____________________

к выполнению (подпись, дата ) (инициалы, фамилия)

ОПИСАНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пусть имеется установка, работающая по принципу «черного ящика». На входе в данную установку мы можем установить вектор входных параметров , а на выходе из установки измерить вектор выходных параметров , где . Число представляет собой число опытов (см. рис. ).

Рисунок 1 - Изображение исследуемого объекта.

Существование зависимости между двумя наборами величин и , где можно определить с помощью коэффициента парной корреляции , численная величина которого вычисляется по формуле:

(1)

.

Коэффициент парной корреляции находится в пределах , то есть или . Чем ближе коэффициент парной корреляции находится к единице, тем сильнее зависимость . При равенстве коэффициента парной корреляции нулю зависимость отсутствует. По числовому значению коэффициента парной корреляции можно сделать предположение о виде зависимости.

Если коэффициент парной корреляции по абсолютной величине равен единице, то существует линейная зависимость (см. рис.).

Рисунок 2 – Вид линейная зависимости

Если коэффициент парной корреляции положительный, то с увеличением аргумента, увеличивается значение функции (см. рис.)

Рисунок 3 – С увеличением аргумента увеличивается значение функции

При отрицательном коэффициенте парной корреляции с увеличением аргумента, уменьшается значение функции.

Рисунок 4 – С увеличением аргумента уменьшается значение функции

В случае существования зависимости между входными и выходными параметрами объекта исследования ищется уравнение регрессии. Для поиска уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов заключается в следующем. Предполагается, что зависимость между величинами является линейной: и сумма квадратов отклонений расчетных значений от экспериментальных - должна быть минимальной.

Расчетное значение запишем в следующем виде:

(2)

Сумму квадратов отклонений расчетных значений от экспериментальных запишем в виде:

(3)

В выражение (3) подставим уравнение регрессии (2) и получим:

(4)

Известно, что экстремум функции достигается тогда, когда первая производная равна нулю. В нашем случае имеются два неизвестных: и .По данным коэффициентам возьмем две частные производные:

(5)

Разделим оба уравнение системы (5) на -2. В результате, раскрыв скобки получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными и (6):

;

(6)

Данная система может быть решена с помощью метода Крамера. Главный определитель системы равен:

Коэффициенты при неизвестном и заменяем столбцом свободных членов, получаем определители:

и

Вычисляем коэффициенты по правилу Крамера:

(7)

Таким образом, получены коэффициенты уравнения регрессии .

Уравнение регрессии (2) может адекватно описывать процесс только в интервале экспериментальных значений, с помощью которых вычислялись коэффициенты уравнения регрессии:

.

Для оценки адекватности модели, на практике могут быть использованы следующие оценки: корреляционное отношение и средняя относительная ошибка :

, (8)

где - среднее значение выходного параметра.

(9)

В настоящее время существует ряд нелинейных зависимостей, которые могут быть приведены к линейному виду . Операция приведения нелинейной зависимости к линейному виду называется линеаризацией.

Например, зависимость константы скорости химической реакции от температуры описывается уравнением Аррениуса:

, (10)

Приведем нелинейное уравнение (10) к линейному виду. Прологарифмируем обе части уравнения:

.

Проведем замену переменных: , в результате получим уравнение или .

Таким образом, для того, чтобы найти предэкспоненциальный множитель и энергию активации , необходимо проделать следующие действия:

1.

2.

3.

4.

Построение графика

Public Class Form1

Dim x() As Single

Dim y() As Single

Dim n As Integer

Dim f() As Single

Dim i As Integer

Dim S1 As Single

Dim S2 As Single

Dim S3 As Single

Dim S4 As Single

Dim a As Single

Dim b As Single

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByValue As System.EventArgs) Handles Button1.Click

n = CSng(InputBox("Введите число n="))

ReDim x(n)

ReDim y(n)

For i As Integer = 1 To n

x(i) = CSng(InputBox("Введите число x(" & i & ")"))

TextBox1.Text = TextBox1.Text + CStr(x(i)) + vbCrLf

Next

For i As Integer = 1 To n

y(i) = CSng(InputBox("Введите число y(" & i & ")"

TextBox2.Text = TextBox2.Text + CStr(y(i)) + vbCrLf

Next

End Sub

Private Sub Button4_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button4.Click

S1 = 0: S2 = 0

S3 = 0: S4 =

For i As Integer = 1 To n

S1 = x(i) + S1

S2 = S2 + y(i)

S3 = S3 + x(i) * y(i)

S4 = S4 + x(i) ^ 2

Next

a = (S1 * S2 - n * S3) / (S1 ^ 2 - n * S4)

b = (S2 - a * S1) / n

TextBox4.Text = CStr(a)

TextBox5.Text = CStr(b

ReDim f(n

For i As Integer = 1 To n

f(i) = a * x(i) + b

TextBox3.Text = TextBox3.Text + CStr(f(i)) + vbCrLf

Next

End Sub

СТРОИМ ГРАФИК

Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

Chart1.Series.Clear() - Стирает то что было в объекте Chart1

Chart1.Series.Add("y(x)") - Задаем название графика

Chart1.Series.Add("f(x)") - Задаем название графика

Chart1.ChartAreas("ChartArea1").AxisX.Title = "x" - Задаем название оси х

Chart1.ChartAreas("ChartArea1").AxisY.Title = "y(x), f(x) " - Задаем название оси у

Chart1.Series("f(x)").ChartType = DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Spline

- Задаем тип линии (сглаженная линия)

Chart1.Series("y(x)").ChartType = DataVisualization.Charting.SeriesChartType.FastPoint - Задаем тип линии (точки)

Chart1.Series("y(x)").Color = Color.Red - Задаем цвет линии

Chart1.Series("f(x)").Color = Color.Blue - Задаем цвет линии

Chart1.Series("y(x)").BorderWidth = 3 - Задаем толщину линии

Chart1.Series("f(x)").BorderWidth = 2 - Задаем толщину линии

For i As Integer = 1 To n

Chart1.Series("y(x)").Points.AddXY(x(i), y(i)) - Задаем график

Chart1.Series("f(x)").Points.AddXY(x(i), f(i)) - Задаем график

Next

End Sub

End Class