Основы теории напряженного и деформированного состояния

Теоретическая часть

В начале изучения этого раздела необходимо хорошо усвоить, что понимается под напряженным состоянием в произвольной точке деформированного тела. Следует помнить, что напряжения, действующие в какой-либо площадке, проведенной через рассматриваемую точку, зависит от ориентации этой площадки.

Анализ напряженного состояния в точке деформированного тела осуществляется методом продольного перехода к бесконечно малым объемам. Для этого в окрестности исследуемой точки выделяют элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Учитывая малость размеров параллелепипеда, можно считать, что все его грани есть площадки, проходящие через данную точку и тогда напряжения на гранях параллелепипеда могут рассматриваться как напряжения, действующие в рассматриваемой точке.

Рисунок 19 - Основные виды напряженного состояния

Необходимо знать определение основных видов напряженного состояния: линейного (одноосного), плоского (двухосного) и объемного (трехосного), а также уметь изображать напряжения, действующие по граням выделяемых элементарных объемов при различных видах напряженного состояния (Рисунок 19).

Следует ясно представлять, какие площадки среди бесчисленного множества площадок, проходящих через исследуемую точку деформируемого тела, называются главными и какие напряжения действуют по ним. Обратите внимание на более простое изображение сложного напряженного состояния через главные напряжения s₁,s₂,s₃, (s₁>s₂>s₃).

Необходимо усвоить методику определения напряжения по различным площадкам при произвольном напряженном состоянии, в частности, рассмотреть линейное и плоское напряженное состояние.

При исследовании плоского напряженного состояния возникают задачи двух видов:

1 Для напряженного состояния, заданного главными напряжениями s₁, s₂, надо определить нормальное s₂ и касательные t_a напряжения по произвольно ориентированной площадке, заданной углом (Рисунок 19);

2 Для напряженного состояния, заданного в общем виде (Рисунок 19), нужно определить нормальные и касательные напряжения по произвольно ориентированной площадке, а также найти положение главных площадок и величину главных напряжений.

Следует иметь ввиду, что указанные задачи решаются как аналитически, так и графически с помощью кругов Мора. Необходимо знать обобщенный закон Гука для различных видов напряженного состояния и потенциальную энергию упругой деформации.

Прежде чем приступить к изучению различных теорий прочности, необходимо хорошо усвоить их значения. Надо ясно представлять, в каких условиях расчета на прочность приходится прибегать к гипотезам прочности. Далее необходимо изучить основные теории прочности и уметь записывать условие прочности по каждой теории для данного напряженного состояния.

Практическая часть

Задача 1.Элементарный параллелепипед, находящийся в произвольном месте стальной конструкции подвергается действию системы напряжений, лежащих в одной плоскости (рисунок 20).

Рисунок 20-Элементарный параллелепипед

Требуется найти:

1) главные напряжения и направление главных площадок;

2) максимальные касательные напряжения;

3) главные деформации ₁, ₂, ₃;

4) эквивалентное напряжение по четвертой (энергетической) теории прочности;

5) относительное изменение объема;

6) удельную потенциальную энергию деформации.

Исходные данные: _х = 90 МПа, _у = 80 MПa , _хy = 50 МПа.

Решение:

При выполнении этой задачи необходимо руководствоваться следующим правилом знаков для нормальных и касательных напряжений: нормальное напряжение положительно, если оно направлено по внешней нормали к плоскости сечения, то есть оно является растягивающим, а сжимающее - отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор до совмещения с внешней нормалью следует повернуть против часовой стрелки.

Расставим знаки напряжений на рисунке 20.

Получим: = -90 МПа, = -80 MПa , = 50 МПа, =-50 МПа

1 Найдем главные напряжения

(8)

Главные напряжения обозначают при этом индексы расставляют так, чтобы выполнялось неравенство:

(9)

В задаче рассматривается плоское напряженное состояние, т.е. одно из трех главных напряжений равно нулю, поэтому из формулы (8) и правила (9) следует:

Направление главных площадок относительно заданных площадок, определяется по формуле:

Рисунок 21 – Распределение напряжений

Отрицательный угол α₀ откладывается по часовой стрелке от площадки с большим нормальным напряжением (в данном случае σ_х, на рисунке 21). Можно также пользоваться правилом: для определения положения главной площадки с напряжением σ_max необходимо площадку с большим (в алгебраическом смысле) нормальным напряжением повернуть на угол α₀ в направлении, в котором вектор касательного напряжения, действующего по этой же площадке, стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.

2 Найдем максимальные касательные напряжения. Они равны наибольшей полуразности главных напряжений:

МПа

3 Найдем главные деформации ε₁ , ε₂ и ε₃ из обобщенного закона Гука, приняв коэффициент Пуассона равным μ= 0,5:

4 Найдем эквивалентное напряжение σ_экв

5 Найдем относительное изменение объема:

6 Найдем удельную потенциальную энергию деформации:

В данной задаче .

Задача 2.Дано: a=5 см; b=2 cм; [σ_с]=100 МПа; [σ_р]=27 МПа.

Определить напряжение, действующее в сечении (рис. 22).

Решение:

Найдем положение главных центральных осей, определив положение центра тяжести фигуры. Разобьем сложную фигуру на составляющие простые. Площадь фигуры

Откладываем эти координаты и проводим через центр тяжести точку С главные центральные оси z .

Найдем моменты инерции всей фигуры относительно осей и :

Изгибающие моменты входящие в формулу определения напряжения создаются силой F, которая приложена в точке А с координатами

[-4,166;-4,166]

Наибольшее значение напряжений в растянутой и сжатой зонах можно вычислить если известны координаты опасных точек. Эти точки наиболее удалены то нейтральной оси, положение которых определяется отрезками

Квадраты радиусов инерции равны

Проведя нейтральную ось находим наиболее удаленные от нее точки С[-4.166;5.833]; В[5.833;-4.166]. Определим напряжение в этих точках

Откуда

Рисунок 22- Эпюра напряжения, действующее в сечении

В качестве допустимой нагрузки принимаем меньшее значение силы действующее при растяжении стержня откуда

Задача 3.Для составного сечения, состоящего из швеллера №20 и уголка №14(10) (рисунок 23).

Рисунок 23- Составное сечение

Требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти величины осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей;

3) определить направления главных центральных осей;

4) найти величины моментов инерции относительно главных нейтральных осей;

5) вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все размеры в числах и все оси.

Вопросы для самопроверки

1 Что называется напряженным состоянием в данной точке деформируемого тела?

2 Какие имеются виды напряженного состояния материала?

3 Как определить напряжение на наклонной площадке растянутого стержня?

4 В чем заключается закон парности касательных напряжений?

5 Как называются площадки, по которым действуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения?

6 Какие напряжения называются главными?

7 Как производится графическое построение для определения напряжений в наклонных площадках в случае плоского напряженного состояния?

8 Чему равно наибольшее касательное напряжение в случае плоского и объемного напряженного состояния?

9 Напишите формулу обобщенного закона Гука.

10 Чему равно изменение объема при сложном напряженном состоянии?

11 Как определяется потенциальная энергия упругой деформации?

12 Как формируются основные теории прочности?

13 Как записывается условие прочности по этим теориям?

СДВИГ И КРУЧЕНИЕ

Теоретическая часть

В теории изгиба и кручения важную роль играют моменты инерции сечения. Необходимо вспомнить и повторить из теоретической механики правила нахождения центра тяжести сечения и статических моментов плоских фигур.

Необходимо уяснить вычисление моментов инерции для простейших плоских фигур (прямоугольника, треугольника, круга).

Рассматривая теорему о моменте инерции сечения относительно оси, параллельной центральной (I_y1=I_y+a²A), необходимо понять, что теорема справедлива только в том случае, если ось «у» проходит через центр тяжести фигуры.

Важно уяснить, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.

Приступая к изучению раздела «Кручение», следует отметить, что данную деформацию испытывают такие детали машин, как валы, пружины, иногда болты при затяжке гайки ключом и др. Деформация кручения появляется при нагружении бруса парами сил, плоскости, действия которых перпендикулярны к его оси. Моменты этих пар называют вращающими моментами.

При вычислении вращающих моментов пользуются формулой:

,

где N – мощность в кВт,

угловая скорость;

n – число оборотов в минуту;

М – вращающий момент в н.м.

Необходимо уяснить те допущения, на которых основана элементарная теория кручения стержней круглого сечения: крайние сечения остаются плоскими, расстояния между поперечными сечениями не изменяются, радиусы, проведенные на торцевых сечениях, остаются прямолинейными и поворачиваются вместе с сечениями на некоторый угол.

Следует разобраться в построении эпюры крутящих моментов. Эпюра показывает изменение величины крутящего момента по длине вала. Необходимо уметь самостоятельно выполнять вывод формулы для напряжений при кручении стержня круглого сечения.

При кручении напряжение распределяется по поперечному сечению неравномерно (в линейной зависимости от расстояния точки до полюса сечения)

, (10)

где ρ – расстояние до точки сечения;

I_p – полярный момент инерции площади сечения;

М_кр – крутящий момент в поперечном сечении;

τ – касательное напряжение в точке, находящейся на расстоянии ρ от оси бруса.

Опасными считаются все точки контура сечения, геометрическими характеристиками прочности и жесткости сечения являются соответственно полярный момент сопротивления и полярный момент инерции, значения которых зависят не только от площади, но и от формы сечения. Рациональным (т.е. дающим экономию материала) является кольцевое сечение, имеющее по сравнению с круглым сплошным, меньшую площадь при равном моменте сопротивления (моменте инерции).

Необходимо уметь рассчитывать диаметр вала из условия прочности:

и условия жесткости:

, где

где W_p – полярный момент сопротивления площади сечения,

ℓ - длина вала,

G – модуль упругости при сдвиге,

І_р – полярный момент инерции площади сечения.

Для бруса из пластичного материала принимают [τ]=(0,55-0,6) [σ_р], для валов из конструкционных сталей обычно принимают [τ]=20 … 50 МПа.

Допускаемый угол закругления в машиностроении принимают:

[φ⁰]=0,25 … 1,00 град/м.

Практическая часть

Задача 1.К стальному валу приложены скручивающие моменты: М₁ , M₂ , M₃ , M₄ (рисунок 24).

Рисунок 24- Стальной вал

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшего большего значения из данного ряда диаметров 30, 35, 40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Исходные данные: М₁ = М₃ = 2 кНм, М₂ = М₄ = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, [τ] = 80 МПа,[μ]=0,3.

Решение.

1 Построить эпюру крутящих моментов.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются с помощью метода сечений. Крутящие моменты в произвольных поперечных сечениях бруса численно равны алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Рассекая последовательно участки вала, получим:

I участок ( КD ):	Мz1=-М4=-1,6 кНМ
II участок ( DC ):	Мz2=-М4+М3=-1,6+2=0,4кНм
III участок ( СВ ):	Мz3=-М4+М3-М2=-1,6+2-1,6=-1,2кНм
IV участок ( ВА ):	Мz4=-М4+М3-М2+М1=-1,6+2-1,6+2=0,8кНм

По значениям этих моментов строим эпюру Мк в выбранном масштабе. Положительные значения Мк откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры (рисунок 25).

2 При заданном значении [τ] определим диаметр вала из расчета на прочность. Условие прочности при кручении имеет вид:

где - абсолютная величина максимального крутящего момента на эпюре М_к (рисунок 25).

;

- полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала. Диаметр вала определяется по формуле

Рисунок 25- Эпюры внутренних силовых факторов при кручении

Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3 Построим эпюру углов закручивания вала.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле

где GJ р - жесткость сечения вала при кручении.

Модуль сдвига для стали

.

Jp - полярный момент инерции круглого вала.

Вычислим углы закручивания сечений В, С, D и К относительно закрепленного конца вала (сечения А )

φ_А=0

Строим эпюру углов закручивания (рисунок 23).

4 Найдем наибольший относительный угол закручивания

Задача 2.Дано: L=0,86м; С₁=0.22м; С₂=0.48м; С₃=0.62м; d₁/d=4; d₂/d=2; М₁=2кНм; М₂=-4кНм; М₃=-6кНм; ; ; М=2кНм.

Рисунок 26- Схема нагружения стержня

Вопросы для самопроверки

1 Дайте определение понятия "крутящий момент в поперечном сечении бруса".

2 Что такое эпюра крутящих моментов? Как производить ее построение?

3 Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого стержня при кручении? Как находится их величина в произвольной точке поперечного сечения?

4 Как нужно нагрузить брус, чтобы он работал только на кручение?

5 Каким образом определить в любом поперечном сечении бруса величину крутящего момента?

6 Сформулируйте правило знаков при определении величины крутящего момента.

7 На каких гипотезах и допущениях основаны выводы расчетных зависимостей при кручении?

8 По какому закону распределяются напряжения в поперечном сечении круглого бруса при кручении?

9 Какой величиной характеризуется величина деформации при кручении?

10 По каким формулам определяются величины деформации кручения (относительный угол закручивания) в радианах на метр и в градусах на метр?

11 Что такое полярный момент инерции поперечного сечения бруса?

12 По каким формулам определяется полярный момент инерции круга и кругового кольца?

13 Что такое жесткость сечения бруса?

14 Как определяется при кручении напряжение в любой точке круглого поперечного сечения бруса и как определяется наибольшее напряжение?

МЕТОД СИЛ

Теоретическая часть

Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил».

Алгоритм расчета методом сил. Независимо от особенностей рассматриваемой конструкции, можно выделить следующую последовательность расчета статически неопределимых систем методом сил:

1. Определить степень статической неопределимости;

2. Выбрать основную систему;

3. Сформировать эквивалентную систему;

4. Записать систему канонических уравнений;

5. Построить единичные и грузовые эпюры внутренних силовых факторов, возникающих в элементах рассматриваемой конструкции;

6. Вычислить коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений;

7. Построить суммарную единичную эпюру;

8. Выполнить универсальную проверку коэффициентов при неизвестных и свободных членов;

9. Решить систему канонических уравнений, т.е. определить реакции лишних связей;

10. Построить эпюры возникающих внутренних силовых факторов для заданной системы (иначе говоря, окончательные эпюры) ;

11. Выполнить статическую и кинематическую проверки.

Отметим, что пункты 7, 8, 11 приведенного алгоритма не являются безусловно необходимыми, хотя и позволяют контролировать правильность выполнения расчета. А для систем с одной лишней связью пункты 7 и 8 просто лишены смысла, так как в этом случае суммарная единичная эпюра совпадает с единичной.

Практическая часть

Задача 1.Для статически неопределимой Е-образной рамы с одной скользящей и двумя неподвижными опорами используя метод сил, формулу Мора и правило Верещагина необходимо определить реакции опор и построить эпюры моментов, поперечных и продольных сил. Построить эпюры M, Q и N.

Рисунок 27- Статически неопределимая Е-образная рама

Решение:

Данная система дважды статически неопределима, так как рама прикреплена пятью связями, а уравнений статики для их определения – три. Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей и заменой их неизвестными усилиями Х₁ и Х₂. Фактически Х₁ будет являться реакцией опоры С, а Х₂ – вертикальной составляющей реакции опоры В.

Рисунок 28 – Основная система

Составляем систему канонических уравнений метода сил:

d₁₁×Х₁ + d₁₂×Х₂ + D_1Р = 0;

d₂₁×Х₁ + d₂₂×Х₂ + D_2Р = 0.

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членах необходимо построить эпюры изгибающих моментов поочередно для каждой силы.

Рисунок 29- Эпюра изгибающих моментов

Эпюра единичных изгибающих моментов от единичной силы Х₁

Рисунок 30 - Эпюра единичных изгибающих моментов

Эпюра единичных изгибающих моментов от единичной силы Х₂

Рисунок 31 - Эпюра единичных изгибающих моментов

Подсчитываем коэффициенты, по формуле Мора используя правило Верещагина:

где – величина изгибающего момента единичной эпюры Х_j в точке, где расположен центр тяжести фигуры, образованной единичной эпюрой Х_i;

– площадь фигуры, образованной единичной эпюрой Х_i.

Например, для трапециевидного участка длиной L и размерами сторон м и М единичной эпюры Х₁ находим координату центра тяжести для трапеции:

;

Далее находим значение М^ц.т. в этой точке для всех эпюр.

– для эпюры Х₁ это будет:

,

для эпюры Х₂ в любой точке данного участка М равно а, следовательно:

для эпюры Р это будет:

Соответственно площади эпюр на данном участке будут равны:

Аналогичным образом находим составляющие уравнения Мора для других, более простых участков и вычисляем требуемые коэффициенты:

Подставив найденные коэффициенты в систему канонических уравнений и сократив на и а³ получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

×Х₁ + ×Х₂ + Р = 0; 56×Х₁ + 11×Х₂ + 6Р = 0;

×Х₁ + ×Х₂ + ×Р = 0.11×Х₁ + 10×Х₂ + 7Р = 0;

Вычитая из первого уравнения второе, получим более простое выражение, из которого выразим Х₂ и подставим затем во второе уравнение;

45Х₁ + Х₂ – Р = 0;®Х₂ = Р – 45Х₁;

11 Х₁ + 10Р – 450 Х₁ + 5Р = 0;

Х₁ = Р = 0,034Р;

Х₂ = Р – Р = – Р = –0,538Р;

Найдя значения неизвестных усилий Х₁ и Х₂, обратимся к основной системе и найдем Х_А, У_А и Х_В.

SУ = 0;

У_А – Х₁ – Х₂ – Р = 0;

У_А = Х₁ + Х₂ + Р = 0,034Р – 0,538Р + Р = 0,496Р;

SМ_А = 0;

Х₁×а + Х_В×а – Р×а = 0;

Х_В = Р – Х₁ = 0,966Р;

SХ = 0;

Х_А – Х_В = 0;

Х_А = Х_В = 0,966Р;

Зная значения всех усилий, действующих на раму, строим эпюры М, Q и N:

Рисунок 32 - эпюры М, Q и N

Задача 2

Для изображенной на рисунок 33 нагруженной в своей плоскости рамы, вертикальные элементы которой имеют моменты инерции J , а горизонтальные элементы – к J ;

Рисунок 33 – Статически неопределимая плоская рама

Исходные данные:

k = 1,5; l = 6 м, h = 3 м, q = 10 кН/м.

Требуется:

1) установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему;

2) написать канонические уравнения;

3) построить эпюры изгибающего момента от единичных сил и от заданной нагрузки;

4) найти коэффициенты канонических уравнений;

5) найти величины «лишних» неизвестных Х ;

6) выполнить деформационную проверку правильности определения неизвестных;

7) построить эпюры внутренних силовых факторов N , Q y , M x .

Вопросы для самопроверки

1. Как составляют канонические уравнения метода сил?

2. В какой последовательности выполняют расчет статически неопределимой балки?

3. Какие плоские рамы считаются статически неопределимыми?

4. Какой метод расчета наиболее предпочтителен для расчета рам?

5. Что понимается под выражением «каноническое уравнение» метода сил?

6. Как определяется степень статической неопределимости рамы?

7. Объясните смысловую сторону метода сил?

8. Какой порядок расчета принят при решении статически неопределимых рам?

9. Можно ли использовать метод сил при решении пространственных статически неопределимых рам?

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Теоретическая часть

На практике часто встречаются случаи, когда в результате действия нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно появляется несколько компонентов внутренних сил. Тогда говорят, что брус находится в условиях сложного сопротивления (рисунок 34).

а)

б)   в)

Рисунок 34- Сложное сопротивление:

а) косой изгиб; б) одновременного растяжения или сжатия с изгибом;

в) внецентренное растяжения (сжатия) одновременного кручения и изгиба

Задачи на сложное сопротивление решаются исходя из принципа независимости действия сил. Это принцип позволяет получить окончательный результат решения задачи при совместном действии различных силовых факторов путем наложения (суммирования) результатов, вызванных каждым внешним силовым фактором в отдельности.

Наиболее часто на практике в поперечных сечениях бруса возникают следующие комбинации внутренних силовых факторов: два изгибающих момента, действующие во взаимно перпендикулярных плоскостях; продольная сила и изгибающие моменты; изгибающие и крутящий моменты; продольная сила и крутящий момент. Следует иметь ввиду, что напряжение s надо рассматривать как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных растягивающими и изгибающими внешними силовыми воздействиями, а касательное напряжение τ – как алгебраическую сумму касательных напряжений в данной точке, вызванных кручением и изгибом.

Необходимо более детально рассмотреть задачу об определении напряжений и деформаций для трех случаев сложного сопротивления: косого изгиба, внецентренного растяжения (сжатия), совместного действия изгиба и кручения.

Практическая часть

Задача 1.Дано: N=26л.с.; n=360 об/мин; а=1.2м; в=0.6м; с=1.1м; D1=450cм; D2=400см; .

Определить:

Определить моменты, приложенные к шкивам;

Определить окружные усилия;

3) Определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях, и строить эпюры изгибающих моментов;

4) Построить эпюру суммарных изгибающих моментов;

5) Определить опасные сечения и величины максимального расчетного момента по третьей теории прочности.

Решение:

1) Определение моментов, приложенных к шкивам. Момент на шкивах по передаваемой мощности и скорости вращения вала определяется по формуле

,

где N - передаваемая валом мощность, Вт,

– угловая скорость вращения вала, рад/с.

Угловую скорость можно вычислить по формуле

Вычисляем момент на первом шкиве:

Моменты на втором и третьем шкивах будут одинаковыми и равны половине момента первого шкива

Построим эпюры крутящих моментов.

2) Определение окружных усилий (рисунок 35).

Спроектируем усилия и на координатные оси и :

Рисунок 35 – Окружные усилия

3) Определяем силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях, и строим эпюры изгибающих моментов.

Рассматриваем изгиб вала в плоскости ZOX.

Проверка:

Рассматриваем изгиб вала в плоскости YOZ.

Проверка:

4) Построим эпюру суммарных изгибающих моментов

Находим суммарный момент по формуле:

5) Определение опасного сечения и величины максимального расчетного момента по третьей теории прочности.

Из эпюр и видно, что опасное сечение будет в точке C, где ;

5) Условие прочности вала по третьей теории прочности определяется по формуле

,

где - осевой момент сопротивления сечения. Для круга:

Принимаем диаметр вала:

Рисунок 36-Эпюры внутренних силовых факторов при сложном сопротивлении