Расчет статически неопределимой арки
Задание. Для двухшарнирной арки или арки с затяжкой (рис. 29) с выбранными по шифру из табл. 9 размерами и нагрузкой требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы 9.
При вычерчивании оси арки необходимо руководствоваться указаниями к задаче 2 (см. с. 36). В целях сокращения объема вычислительной работы можно ограничиться рассмотрением лишь шести точек оси арки, включая сюда и два опорных шарнира.
Особенностью расчета арок методом сил является невозможность применения способа Верещагина для определения единичных и грузовых перемещений, входящих в канонические уравнения. Прямое интегрирование формулы Мора, как правило, оказывается невозможным из-за сложности закона изменения сечения арки по длине. Таким образом интегрирование приходится заменять суммированием по участкам со средними значениями величин, входящих в формулу Мора:
Наиболее удачной основной системой для двухшарнирной арки следует считать кривой брус, приняв за неизвестное горизонтальную реакцию в одной из опор (распор); для арки с затяжкой за неизвестное обычно принимают усилие в затяжке.
Подсчет коэффициентов и свободных членов удобнее проводить в табличной форме, построив предварительно эпюры МР и Q0 в основной системе. При указанных основных системах такими эпюрами будут эпюры М и Q для балки на двух опорах.
Форму сечения арки следует принять прямоугольной с высотой, меняющейся по закону
d = dc cos ,
где dс — высота сечения посредине.
В первую очередь вычисляются ординаты исследуемых точек оси арки и угловые характеристики касательных в данных точках. В зависимости от заданного очертания (парабола или окружность) рекомендуется следующая форма таблиц:
а) при очертании оси по параболе |
б) при очертании оси по окружности |
Рис. 30 |
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы 8. При расчете фермы методом сил следует иметь в виду, что при узловом приложении нагрузки в стержнях фермы возникают лишь нормальные усилия, в связи с чем из общей формулы Мора учитывается только член, включающий силы N. Так как усилия, площади поперечных сечений и модули упругости по длине стержня не меняются, то интегрирование сводится к суммированию:
Основную систему удобнее выбрать симметричной — это значительно сократит объем вычислительной работы. Если за неизвестное принято усилие в стержне, то этот стержень не выбрасывается и поэтому усилие в нем должно учитываться в расчете.
При использовании симметрии можно в расчет включать только половину фермы, однако здесь следует помнить о тех стержнях, которые не имеют парного во второй половине; очевидно, длину таких стержней надо будет уменьшать вдвое.
в соответствии с общим порядком статически неопределимых систем методом сил первую очередь надо определить усилия во всех стержнях основной системы единичной силы (неизвестного) и нагрузки. Дальнейший расчёт удобно свести в таблицу:
Здесь за величину F0 удобно принять F. Растягивающие усилия в стержнях должны иметь знак плюс, а сжимающие — минус.
Сумма величин, подсчитанных в графе 7, дает значение коэффициента канонического уравнения EF0δ1,1,u а в графе 8 — значение
свободного члена EF0∆1,P.
После подсчета этих величин следует определить значение неизвестного
р
и затем заполнить последующие графы (9—11). При проверке можно допустить ошибку не более 1—2%.
11. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений
Задание. Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 31) с выбранными по шифру из табл. 11 размерами и нагрузкой требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных
и продольных сил.
Рис. 31 |
Таблица 11
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы 10.
При выборе основной системы метода перемещений необходимо учитывать, что линейные связи должны быть поставлены не только по направлению возможных линейных перемещений, но и для устранения мгновенной изменяемости системы, образованной после постановки шарниров во все узлы (включая опорные).
При построении единичных и грузовых эпюр моментов используются таблицы реакций, имеющиеся в учебниках.
Прежде чем приступать к подсчету коэффициентов канонических уравнений, необходимо значения ординат на всех единичных эпюрах выразить через какую-либо одну жесткость (Е11 или Е12). Удобно также перейти к погонным жесткостям стержней (i= Е1:l). При определении коэффициентов следует внимательно следить за их знаками, а также использовать теорему о взаимности реакций. Решением системы канонических уравнений необходимо проверить.
После определения значений неизвестных рекомендуется построить эпюры моментов (MiZi). Суммирование этих эпюр между собой и с грузовой эпюрой дает окончательную эпюру моментов. Суммирование рекомендуется производить по характерным точкам и в пояснениях обязательно приводить все расчеты.
Эпюры поперечных и продольных сил строятся по эпюре моментов так же, как и в задаче 7.
Проверку полученных эпюр надо проводить как статическую (равновесие узлов и рамы в целом), так и кинематическую. Для последней проверки необходимо выбрать основную систему метода сил и построить хотя бы одну единичную эпюру, которую следует «умножить» на окончательную эпюру моментов по правилу Верещагина.