Это так называемый биноминальный закон распределения

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Оглавление.

1. Дискретные случайные величины.

2. Часто встречающиеся распределения дискретной случайной величины.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.

4. Непрерывные случайные величины.

5. Равномерное распределение.

6. Нормальное распределение.

7. Экспоненциальное распределение.

8. Двумерные случайные величины.

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, является число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.

В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин — дискретные и непрерывные.


1. Дискретные случайные величины.

Рассмотрим случайную величину (случайные величины будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru ) Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru . Такая случайная величина Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru называется дискретной (прерывной).

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно пере­числить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинако­вые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому

для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Важнейшей характеристикой случайной величины служит ее распределение вероятностей.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналити­чески (в виде формулы) или графически.

При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru
Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное зна­чение, заключаем, что события Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru , Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru , …, Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru образуют полную группу; следовательно, сумма вероят­ностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru .

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru (3.1)

Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru . Наглядно функцию р(х) можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости. По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru , а по вертикальной оси - значения функции Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru . График функции р(х) изображен на рис. 3.1. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.

Пример 3.1. Пусть событие А — появление одного какого-либо очка при бросании игральной кости. Как мы знаем, вероятность выпадения какого-либо очка для всех цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6) одинакова и равна Р(A)=1/6. Рассмотрим случайную величину Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru — число наступлений события А (т.е. число т) при десяти бросаниях игральной кости (т.е. n=10). Значения функции р(х) (закона распределения) приведены в следующей таблице:

Значения Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru
Вероятности Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru 0,162 0,323 0,291 0,155 0,054 0,013 0,002

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru означает, что цифра 1 (или любая другая из шести, могущих выпасть) при десяти бросаний кости не выпала ни разу. Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru - цифра 1 при десяти бросаний выпала один раз. Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru - два раза и т.д.

Вероятности Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru приведенные в таблице, вычислены по формуле Бернулли ( Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru ) при n=10. Для x>6 они практически равны нулю:

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru

Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru Это так называемый биноминальный закон распределения - student2.ru

График функции p(x) изображен на рис. 3.2.

Это так называемый биноминальный закон распределения

Наши рекомендации