Элементы теории статистических игр

Комплекс внешних обстоятельств, при которых приходится принимать решение, называют «природа».

Игрока (группу лиц) называют статистиком, а игры, в которых одним участником является человек (игрок А), а другим – природа (игрок П), называют статистическими.

Статистик может использовать несколько стратегий А₁, …, А_m.

Природа П также обладает множеством стратегий П₁, …, П_n.

Под стратегией природы понимают полную совокупность внешних условий (или состояние природы), в которых статистику приходится выбирать свою стратегию.

Из прежнего опыта статистику обычно известны возможные состояния природы, а иногда и вероятности, с которыми природа их реализует.

Эти вероятности называют априорными.

Статистик может уточнить свои знания о состояниях П_j природы и вероятности q_j их реализации путём проведения экспериментов.

Вероятности, установленные таким образом, называют апостериорными.

В своих взаимоотношениях с природой статистик может пользоваться как чистыми стратегиями A_i, так и смешанными стратегиями

р = (р₁; …; р_m),

где p_i ≥0; i = 1, …, m;

Если он имеет возможность оценить последствия применения каждой своей чистой стратегии A_i, в зависимости от любого состояния П_j природы, т.е. если ему известен численный результат a_ij для каждой допустимой комбинации (A_i; П_j), то статистическую игру можно задать платёжной матрицей (табл. 5).

Таблица 5

Ai	Пj	рi
П1	…	Пn
А1 … Аm	а11 … аm1	… … …	а1n … аmn	р1 … рm
βj	β1	…	βn

Пример.

За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья S в зависимости от его качества составляет 10-12 единиц. Если для выпуска запланированного объёма основной продукции сырья S окажется недостаточно, то запас его можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в размере 5 единиц в расчёте на единицу сырья. Если же запас сырья превысит потребности, то дополнительные затраты на содержание и хранение остатков составят 2 единицы в расчёте на единицу сырья. Придать описанной производственной ситуации игровую схему и составить платёжную матрицу игры.

Решение.

В качестве статистика (игрок А) выступает администрация предприятия, которая может заказать 10, 11 или 12 единиц сырья (стратегии А₁, А₂, А₃).

Вторым игроком (природой П) будем считать фактический расход сырья в процессе производства, зависящий от качества сырья и составляющий 10, 11 или 12 единиц (состояния П₁, П₂, П₃).

Элементы a_ij матрицы игры (табл. 6) будут характеризовать дополнительные затраты, вызванные доставкой сырья в случае недостачи или хранения его избытка.

Таблица 6

Ai	Пj	αi = min aij
П1(10)	П2(10)	П3(12)
А1(10) А2(11) А3(12)	-2 -4	-5 -2	-10 -5	-10 -5 -4
βj = max aij

Так в ситуации (A₂; П₁) придется хранить 11 - 10 = 1 единицу сырья, что вызовет затраты, равные двум единицам, а в ситуации (A₁; П₃) необходимо дополнительно приобрести 12 - 10 = 2 единицы сырья, и это сопряжено с дополнительными затратами , составляющими 5 * 2 = 10 единиц.