Иллюстративное изображение

ВВЕДЕНИЕ

Учебный процесс подготовки инженерных кадров предусматривает участие студентов в научно - исследовательской работе.

Целью преподавания дисциплины «Методы и средства исследований» является формирование у студентов первоначальных навыков выполнения самостоятельных научно - исследовательских работ, обработке полученных данных, развития творческой инициативы.

В процессе работы каждый инженер, менеджер или научный работник непременно сталкивается со статистическими исследованиями, будь то при сборе данных с производственной линии при изучении спроса, или анализа результатов эксперимента и т.д. Часто возникают задачи связанные с изменением параметров, каких - либо процессов, например, как изменяется выпуск продукции или как экспериментальные данные подтверждают некоторую теорию подлежащую проверке. Целесообразно аргументировать выводы с помощью таблиц, диаграмм, графиков.

Все эти вопросы входят в область исследований, известных под названием «статистика».

Эксперимент занимает центральное место в инженерной практике. Под инженерным экспериментом понимают совокупность научно - спланированных и поставленных опытов с целью решения той или иной инженерной задачи с требуемой точностью. Инженерный эксперимент может проводиться в лабораторных условиях, на производстве и т. д. Студенты должны грамотно планировать и обрабатывать активные однофакторные эксперименты, анализировать математические модели аналитических и численных методов, а также применять современную измерительную технику для исследования технологических процессов.

Статистическая процедура

Статистическую процедуру можно разделить на три этапа:

1. Сбор данных. Множество, возникающее при измерении некоторого процесса или при проведении серии экспериментов, называются выборкой.

2. Описательные статистики — запись данных в сокращённой форме. Прежде всего, необходимо всю массу рядов наблюдений записать в виде таблиц, которые помогли бы выявить закономерности в колебаниях и тенденцию изменений. Можно так же нарисовать графики, схемы и рисунки.

3. Статистические выводы — прогнозы и решения. Выборка наблюдений несёт сравнительно немного информации об изучаемом процессе. По выборке наблюдений можно сделать определённые выводы обо всём процессе. Вычислить пределы, в которых будет протекать процесс при нормальном развитии в будущем. Если выборка наблюдений недостаточна для формирования надёжных выводов, то делаются попытки для получения дополнительных наблюдений.

Иллюстративное изображение

При изучении большого количества рядов наблюдений полезно представить их в виде некоторых рисунков или графиков. При изучении процессов многие важные особенности, которые нельзя очевидным образом получить из массы наблюдений, часто можно сразу увидеть на рисунке.

Наиболее часто применяются следующие виды наглядных изображений: «временной ряд», «круговая диаграмма», «прямоугольная диаграмма», «кумулятивная прямая», «полигон» и другие.

При работе с большим множеством данных, измерения группируют, чтобы получить достаточно наглядную картину колебания распределения частот.

Под группировкой будем понимать разбиение числовой шкалы "х" на определённое число интервалов и подсчитывание числа наблюдений, попавших в каждый интервал. Число попаданий в каждый интервал называется частотой данного интервала.

Рассмотрим данные примера, для иллюстрации этой процедуры. Наблюдения представляют собой оценку возраста 50 покупателей.

Пример: Анализ возраста покупателей в фирменном магазине (50 человек).

Взглянув на эти оценки, мы сразу определим, что наименьшая из них равна - 14, а наивысшая - 77. Возьмём семь одинаковых интервалов на шкале "х": 10 — 19, 20 — 29, 30 — 39 ,…., 70 — 79 и подсчитаем, сколько оценок попадут в каждый из них.

0 10 20 30 40 50 60 70 80

_____│_____│_____│_____│____│____│_____│_____│___ х

Все получаемые результаты занесём в таблицу сгруппированных частот:

№ груп-пы	Пределы группы	Границы группы	Среднее группы i	Единицы счета	Частота fi	Кумуля-тивная частота Fi
	10-19	9,5 - 19,5	14,5
	20-29	19,5 - 29,5	24,5	1+1
	30-39	29,5 - 39,5	34,5	5+2
	40-49	39,5 - 49,5	44,5	5+5+5+3
	50-59	49,5-59,5	54,5	5+5+1+1
	60-69	59,5-69,5	64,5	5+1+1+1
	70-79	69,5 - 79,5	74,5	1+1

Итого: 50

При большем числе данных берётся большее число интервалов. Выбор числа интервалов оказывает влияние на получаемые значения частот.

Если после подсчёта частот оказалось, что в несколько групп вовсе не попадали частоты или их очень мало, то целесообразно взять меньшее число интервалов. Приблизительно в таких процедурах берут от 6 до 15 интервалов, их число зависит от количества имеющихся данных.

Объяснения к таблице.

Колонка 1 показывает номер группы.

Колонка 2 показываетпределы, которые определяются по шкале "х". Важно, чтобы соседние группы не пересекались.

Например, если бы первые две группы были 10 — 20 и 20 — 30, они бы пересекались для оценки х = 20. В таком случае невозможно было бы определить, в какую группу входит оценка 20.

В нашем примере наблюдения представляют собой измерения на непрерывной шкале, и необходимо брать интервалы с открытым правым концом, т.е. [10... ), [20... ) и т. д.

Колонка 3 определяет границы группы. Одна граница называется нижней, а другая соответственно называется верхней. Чтобы получить границы группы надо расширить пределы группы на 0,5. Обратите внимание, что верхняя граница предыдущей группы совпадает с нижней границей последующей группы. Расстояние между нижней и верхней границами группы называется шириной группы. g = 19,5 - 9,5 = 10.

Колонка 4 содержит средние значения оценки групп. Они находятся путем деления суммы пределов группы на два.

Пример: Для первой группы ₁= ( 10 + 19 ) / 2 = 14,5

Для второй группы ₂ = ( 20 + 29 ) / 2 = 24,5 и так далее;

Колонка 5 — это колонка единиц счёта. Позволяет определить сколько оценок попадут в каждый интервал. Например, берём первый интервал и просматриваем последовательно все множества данных, обнаруживаем, что одно число попадает в данный интервал, и в колонке ставим 1. Для второй группы – два числа. Для третьей группы – это семь чисел и т.д..

Колонка 6 - включает в себя результаты подсчёта единиц в 5 колонке. Полученные суммы называются частотами групп, обозначаются f. Например, для третьей группы: f₃=5+2=7

Колонка 7 включает в себя числа, называемые кумулятивными частотами и обозначаемые F. Каждое число этой колонки равно числу наблюдений, которые имеют значения, меньшее или равное значению верхней границы Х соответствующей группы. Они получаются из чисел колонки 6 путем сложения предшествующих результатов подсчёта.

Пример: F₁ = 1, число покупателей в возрасте, меньше или равном 19,5. F₂ = 1+2 = 3, число покупателей в возрасте, меньшем или равном 29,5, для третьей группы F₃ = 1+2+7 = 10, для четвёртой группы: F₄= 1+2+7+18=28 и т. д.

На основании полученной таблицы сгруппированных частот строится гистограмма, в которой по горизонтальной оси – ось абсцисс, откладываются пределы групп, а по вертикальной оси – ось ординат, откладывается частота f_i.

f

Гистограмма - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников одинаковой ширины, а их высоты будут пропорциональны частотам. В гистограмме концы оснований прямоугольников совпадают с границами группы. Середина прямоугольников должна совпадать со средней точкой группы.

Если распределение имеет только одну вершину, то значение Х для которого эта вершина достигается, называется модой и обозначается . Для нахождения моды распределения надо определить группу с наибольшей частотой, которая называется модальной группой.

Значение Х, для которого 50% множества наблюдений меньше этого значения, а 50% больше его, называется медианой и обозначается . Медиана определяется по формуле:

,

где L - нижняя граница медианной группы (для нашего примера медианная это 4-ая группа, т.к. на неё приходится середина наблюдений – N/2=50/2=25, см. Колонку 7), где по предварительному мнению лежит медиана;

N - число наблюдений;

g - ширина медианной группы;

и F – кумулятивные частоты медианной группы и группы предшествующей ей.

Задание

Для приведённой таблицы наблюдений выполнить:

1. Найдите наибольшее и наименьшее наблюдения.

2. Постройте таблицу сгруппированных частот.

3. Найдите ширину группы.

4. Найдите верхнюю границу 5-ой группы.

5. Найдите среднюю оценку 4-ой группы.

6. Найдите нижний предел 3-ей группы.

7. Найдите нижнюю границу 2-ой группы.

8. Нарисуйте гистограммы.

9. Определите модальную группу.

10. Определите медиану совокупности по сгруппированным данным, если для построения распределения частот используют:

а) 6 групп; б) 8 групп; с) 10 групп.

Таблица наблюдений для выполнения контрольной работы

№№ - Последние цифры номера зачетной книжки

№№	Дана выборка
01, 31, 61, 91	101 155 138 133 115 107 122 160 152 121 142 167 143 137 148 139 130 117 150 152 141 162 146 113 178 134 135 120 147 171 128 136 111 141 137 155 140 144 124 151 152 130 156 128 159 120 144 119 134 147
02, 32, 62, 92	102 136 169 146 171 154 108 147 160 122 145 156 110 173 117 114 139 158 129 125 152 155 149 143 133 141 138 148 135 172 119 158 163 128 141 151 142 116 149 127 154 146 137 143 154 136 141 140 151 153
03, 33, 63, 93	103 142 139 135 154 125 138 131 141 153 162 152 176 133 157 149 109 121 147 127 113 116 140 120 180 112 158 151 145 173 123 137 140 135 147 157 155 153 115 137 115 130 146 155 159 121 139 146 128 152
04, 34, 64, 94	104 118 172 116 105 111 163 151 128 114 112 100 168 131 133 150 110 120 136 127 144 157 161 180 167 123 119 155 156 174 111 144 108 157 121 106 150 142 115 132 151 171 145 137 165 138 117 134 131 120
05, 35, 65, 95	105 158 141 133 129 143 122 165 145 165 135 156 170 113 108 119 138 140 121 106 125 127 128 130 149 131 118 110 124 175 132 137 136 144 155 146 142 114 139 114 126 129 140 114 150 123 146 126 154 140
06, 36, 66, 96	106 150 174 152 119 128 147 113 132 126 110 165 105 178 172 111 136 103 125 179 166 144 171 167 170 100 102 131 169 176 128 163 124 130 129 138 142 143 120 152 155 169 135 117 173 140 151 133 121 122
07, 37, 67, 97	107 124 162 152 153 176 123 142 127 167 164 160 125 157 154 119 156 174 133 155 147 138 112 161 144 108 166 139 169 177 116 157 165 133 147 162 141 137 165 144 143 137 126 153 173 135 138 139 159 146
08, 38, 68, 98	108 116 134 167 134 151 147 161 169 158 112 173 155 153 149 172 128 126 127 165 148 162 168 152 157 145 133 120 143 178 112 151 143 154 164 143 154 161 127 146 155 160 151 127 161 121 142 141 156 141
09, 39, 69, 99	109 140 165 121 110 122 116 167 151 169 152 124 118 108 135 154 164 111 118 100 159 114 132 113 162 130 120 172 176 179 125 143 116 142 160 138 113 145 138 109 137 123 146 147 178 137 131 113 145 152
10, 40, 70, 100	110 135 151 134 174 148 128 132 153 150 155 116 156 121 166 153 169 142 178 158 130 104 143 163 152 159 165 161 146 180 123 143 161 130 152 136 139 160 156 168 117 153 156 163 164 131 135 151 140 154
11, 41, 71	111 156 168 170 144 150 172 148 154 151 142 134 164 155 138 167 110 127 105 135 161 152 103 121 175 149 123 163 162 171 134 169 147 160 153 138 160 153 119 120 157 112 162 143 167 140 163 158 149 148
12, 42, 72	112 134 147 159 128 157 140 131 160 122 155 151 119 170 180 129 113 177 149 144 152 164 151 166 169 101 162 133 150 172 123 153 143 136 141 153 145 155 145 147 158 159 135 148 161 130 147 134 144 158
13, 43, 73	113 158 117 144 131 149 127 121 120 133 111 167 147 140 174 128 136 108 129 153 123 167 119 137 130 104 126 116 157 173 136 131 140 124 127 139 144 151 122 141 145 128 117 121 165 115 151 129 135 116
14, 44, 74	114 150 149 161 125 169 147 138 121 124 170 158 131 148 129 102 152 107 155 130 134 141 111 132 162 133 116 136 180 174 132 155 147 143 123 164 140 116 130 143 138 122 148 126 177 132 156 136 154 146
15, 45, 75	115 143 137 109 121 148 142 162 113 145 146 131 177 132 149 138 150 168 158 152 125 119 135 128 136 143 145 160 100 175 129 123 135 152 129 139 155 144 159 155 122 132 140 153 138 126 127 132 155 130
16, 46, 76	116 131 135 142 157 137 102 156 133 136 126 139 163 124 105 180 169 162 152 118 146 178 147 158 148 141 112 121 120 176 124 139 147 129 135 133 144 143 166 135 162 153 145 117 148 126 137 130 147 130
17, 47, 77	117 138 168 159 131 139 135 125 128 137 141 129 149 171 108 180 144 145 146 163 127 113 161 118 151 122 155 134 103 177 128 164 135 130 133 135 160 144 145 155 120 140 137 145 140 143 149 133 132 135
18, 48, 78	118 170 138 141 169 132 145 140 149 128 122 110 102 142 133 100 150 156 112 125 158 160 127 134 139 151 136 131 134 178 144 140 151 143 139 116 122 117 153 119 59 131 145 134 156 128 156 157 136 137
19, 49, 79	119 162 136 124 160 170 148 110 161 149 168 172 163 151 153 166 156 107 124 155 129 132 135 101 154 142 157 123 145 179 141 130 165 129 155 170 157 160 132 140 131 118 148 140 162 128 143 154 140 165
20, 50, 80	120 155 169 161 121 146 139 179 152 170 102 148 164 121 134 159 142 154 129 112 150 149 137 132 119 172 158 117 145 180 138 165 134 159 161 125 143 147 148 121 150 135 146 138 163 145 158 130 163 127
21, 51, 81	121 178 138 108 117 180 156 134 165 151 143 102 146 120 170 127 159 113 111 124 131 145 125 115 144 129 166 135 163 161 150 123 149 145 158 123 133 149 136 118 138 120 137 151 162 130 143 137 157 154
22, 52, 82	122 139 154 156 130 115 149 137 155 172 178 111 145 101 150 138 153 127 136 108 142 167 148 143 119 131 165 141 126 162 131 155 123 143 164 145 123 144 140 122 155 146 125 153 144 138 148 140 126 167
23, 53, 83	123 118 151 145 180 126 120 169 121 133 144 131 132 149 176 133 136 111 130 140 153 101 156 114 161 164 141 154 104 163 121 148 153 145 127 138 141 155 124 135 127 135 163 148 134 137 132 150 148 133
24, 54, 84	124 141 158 130 147 160 117 102 140 114 162 145 153 108 177 170 119 155 148 126 134 129 179 131 161 139 133 132 156 164 133 144 154 110 127 154 131 174 137 138 132 155 150 133 160 141 136 132 131 151
25, 55, 85	125 132 136 113 157 153 104 137 144 175 141 149 123 170 133 159 151 128 146 125 115 107 139 120 169 135 122 111 179 165 129 125 155 121 160 145 147 146 140 136 111 130 152 117 172 131 123 131 145 143
26, 56, 86	126 159 141 164 103 157 155 138 132 176 121 117 109 46 152 111 144 113 105 112 156 124 135 178 149 153 169 128 119 166 143 153 130 147 154 119 128 132 129 109 140 157 151 149 143 134 162 129 148 127
27, 57, 87	127 100 142 145 130 146 105 141 149 157 122 144 156 137 117 131 155 160 134 161 147 155 132 173 176 162 113 126 123 167 114 144 138 123 153 133 147 124 158 148 151 153 169 120 145 135 123 118 144 136
28, 58, 88	128 124 174 163 169 157 145 143 112 118 132 100 139 147 130 151 159 134 149 106 148 136 172 137 121 155 115 126 138 168 126 169 163 144 115 116 143 141 147 128 142 155 138 121 153 151 144 157 150 122
29, 59, 89	129 178 161 113 146 131 121 111 114 159 139 124 169 133 175 115 110 157 108 122 119 152 148 100 145 154 105 128 136 169 154 137 139 116 137 132 151 145 134 115 136 124 150 117 153 145 146 134 121 127
30, 60, 90	130 152 149 127 123 131 178 148 116 140 112 174 153 106 139 150 141 138 147 164 180 159 145 162 144 151 109 165 129 170 141 138 127 163 128 143 130 145 140 156 170 154 148 137 150 140 141 151 140 114

Литература

1. Иванова В. М. и др. Математическая статистика. М.: Высшая школа,1981, 371стр.

2. Рузавин Г. И. Методы научного исследования. М.: Мысль, 1974, 300 стр.

3. Тернер д. Вероятность, статистика и исследование операций. М.: Статистика, 1976, 431стр.

4. Испирян Г. П., Рожок В. д. Математические методы в планировании и управлении на предприятиях лёгкой промышленности. Киев: Техника, 1974, 300 стр.

5. Сиденко В. М., Глушко И. М. Основы научных исследований. Харьков, 1978, 200стр.