Аёвёзґбєё ­ґа§аґиёлґ їа®ў«ґл.

Џа®Ў«Ґ б®ЇаЁҐ­Ё®бвЁ:

- ‘гйҐбвўгҐв «Ё «Ј®аЁв, Є®в®ал© ¤«п «оЎ®© иЁ­л ’моаЁ­Ј Ї®§ў®«пҐв ўлпб­Ёвм, пў«пҐвбп «Ё нв иЁ­ б®ЇаЁҐ­Ё®© Ё«Ё ­Ґв.

- ‘гйҐбвўгҐв «Ё вЄп иЁ­ ’моаЁ­Ј L, ЇаЁҐ­Ёп Є Є®¤г N(T) Їа®Ё§ў®«м­®© иЁ­л, зв® ў бў®Ґ §Є«озЁвҐ«м­® б®бв®п­ЁЁ L §ўЁбҐв ­¤ 0, Ґб«Ё T – ­Ґб®ЇаЁҐ­Ё, Ё ­¤ 1 – Ґб«Ё ®­ б®ЇаЁҐ­Ё

’Ґ®аҐ (®Ў «Ј®аЁвЁзҐбЄ®© ­Ґа§аҐиЁ®бвЁ Їа®Ў«Ґл б®ЇаЁҐ­Ё®бвЁ): ­Ґ бгйҐбвўгҐв вЄ®© иЁ­л L, Є®в®ап аҐи« Ўл Їа®Ў«Ґг б®ЇаЁҐ­Ё®бвЁ.

„®Є-ў®: „®ЇгбвЁ, зв® иЁ­ L бгйҐбвўгҐв. Ќ Ў§Ґ L б®бвўЁ иЁ­г L¢ вЄго, зв® ў L¢ ў®©¤г⠢ᥠЄ®­¤л Ё§ L, ­® ўў®¤Ёвбп ­®ў®Ґ б®бв®п­ЁҐ s₀¢, Є®в®а®Ґ Ё Ўг¤Ґв §Є«озЁвҐ«м­л б®бв®п­ЁҐ L¢. ‚ бЇЁб®Є Є®­¤ ўўҐ¤Ґ ҐйҐ ¤ўҐ: (s₀,l)®(s₀¢,Ќ,l) Ё (s₀,1)®(s₀¢,Ќ,1).

Њл Ї®«гзЁ«Ё иЁ­г L¢, Є®в®ап ®Ў«¤Ґв б«Ґ¤гойЁЁ бў®©бвўЁ:

1) ­ҐЇаЁҐ­Ё Є Є®¤г б®ЇаЁҐ­Ёле иЁ­;

2) ЇаЁҐ­Ё Є Є®¤г ­Ґб®ЇаЁҐ­Ёле иЁ­.

‡ЇгбвЁ L¢ ­ б®Ўбвў. Є®¤® N(L¢):

…б«Ё L¢ ®бв­®ўЁвбп, §­зЁв L¢ б®ЇаЁҐ­Ё Þ L¢ ЇаЁҐ­Ё Є Є®¤г б®ЇаЁҐ­Ёле иЁ­, ў®§­ЁЄҐв Їа®вЁў®аҐзЁҐ.

…б«Ё L¢ ­Ґ ®бв­®ўЁвбп §­зЁв L¢ ­Ґб®ЇаЁҐ­Ё Þ L¢ ­ҐЇаЁҐ­Ё Є Є®¤г ­Ґб®ЇаЁҐ­Ёле иЁ­, ў®§­ЁЄҐв Їа®вЁў®аҐзЁҐ.

’ЄЁ ®Ўа§®, ­Ґ бгйҐбвўгҐв иЁ­л, аҐио饩 §¤зг б®ЇаЁҐ­Ё®бвЁ. з.в.¤.

А®Ў«Ґ ЇаЁҐ­Ё®бвЁ.

Џа®Ў«Ґ ЇаЁҐ­Ё®бвЁ:

- ‘гйҐбвўгҐв «Ё «Ј®аЁв, Є®в®ал© ¤«п «оЎле иЁ­л ’моаЁ­Ј ’ Ё б«®ў β Ї®§ў®«пҐв ўлпб­Ёвм, пў«пҐвбп «Ё нв иЁ­ ЇаЁҐ­Ё®© Є β Ё«Ё ­Ґв.

- ‘гйҐбвўгҐв «Ё иЁ­ L, ЇаЁҐ­Ёп Є® ўбҐ б«®ў ўЁ¤ N(T)λβ, Ј¤Ґ N(T) – Є®¤ Їа®Ё§ў®«м­®© иЁ­л ’, β – Їа®Ё§ў®«м­®Ґ б«®ў®, вЄп, зв® ў бў®Ґ §Є«озЁвҐ«м­® б®бв®п­ЁЁ L §ўЁбҐв ­¤ 0, Ґб«Ё T – ­Ґ ЇаЁҐ­Ё Є β, Ё ­¤ 1 – Ґб«Ё ®­ ЇаЁҐ­Ё Є β.

ЌЇЁиҐ Їа®Јаг аЎ®вл иЁ­л T₁, Є®в®ап ЇаЁҐ­Ё Є «оЎ®г б«®ўг ўЁ¤ x₁, x₂,…, x_n, Ё ¤гЎ«ЁагҐв нв® б«®ў® зҐаҐ§ λ: x₁, x₂,…, x_n λ x₁, x₂,…, x_n, Ї® ®Є®­з­ЁЁ аЎ®вл ў®§ўайҐвбп ў ­з«®.

λ	λ ‹ 7	λ Џ 3	a ‹ 4	λ ‹ 4	λ Џ 6	b ‹ 4	λ Џ 0
a	a¢ Џ 2	a Џ 2	a Џ 3	a ‹ 4	a Џ 5	a Џ 6	a ‹ 7
b	b¢ Џ 5	b Џ 2	b Џ 3	b ‹ 4	b Џ 5	a Џ 6	b ‹ 7
a¢				a Џ 1
b¢				b Џ 1

Џа®ўҐаЁ ¤«п б«®ў aba.

a ba	a¢ b a	a¢ b a	a¢ b a λ	a¢ b a λ λ	a¢ b a λ a	a¢ b a λ a...	a¢ b a λ a
a b a λ a	a b¢ a λ a	a b¢ a λ a	a b¢ a λ a	a b¢ a λ a λ	a b¢ a λ a b	ab¢a λ ab...	a b¢ a λ a b
a b a λ a b	a b a¢ λ ab	a b a¢ λ a b	a b a¢ λ a b	aba¢λ a b λ	aba¢λaba...	ab a¢ λaba	a b a λ aba
a b a λ aba	a b a λ aba	a b a λ aba	λ abaλaba	a baλaba

’Ґ®аҐ (®Ў «Ј®аЁвЁзҐбЄ®© ­Ґа§аҐиЁ®бвЁ Їа®Ў«Ґл ЇаЁҐ­Ё®бвЁ): ­Ґ бгйҐбвўгҐв вЄ®© иЁ­л L, Є®в®ап аҐи« Ўл Їа®Ў«Ґг ЇаЁҐ­Ё®бвЁ.

„®Є-ў®: Џгбвм бгйҐбвўгҐв иЁ­ L, Є®в®ап аҐиҐв Їа®Ў«Ґг ЇаЁҐ­Ё®бвЁ. Џ®бва®Ё иЁ­г L¢ вЄго, зв® ®­ Ўг¤Ґв ўЄ«озвм ў бҐЎп ўбҐ Є®­¤л L Ё ’₁: L¢= ’₁ ºL – в.Ґ. б ­з« аЎ®вҐв ’₁, §вҐ L.

ЌЇЁиҐ ­ «Ґ­вҐ Є®¤ N(T₁) Ё §ЇгбвЁ L¢: N(T₁)→ N(T₁) λ N(T₁). Њл Ї®«гзЁ«Ё, зв® L¢ аҐиҐв Їа®Ў«Ґг б®ЇаЁҐ­Ё®бвЁ, зв® Їа®вЁў®аҐзЁв ⥮॥ ®Ў «Ј®аЁвЁзҐбЄ®© ­Ґа§аҐиЁ®бвЁ Їа®Ў«Ґл б®ЇаЁҐ­Ё®бвЁ. ’ЄЁ ®Ўа§®, ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ, зв® бгйҐбвўгҐв иЁ­ L – ­ҐўҐа­®. з.в.¤.

А«м­лҐ «Ј®аЁвл ЊаЄ®ў

Ђ«дўЁв – «оЎ®Ґ ­ҐЇгб⮥ ­®¦Ґбвў® бЁў®«®ў – Ђ.

‘«®ў® – §ЇЁбм ўЁ¤ a₁, a₂,... a_p, Ј¤Ґ a_iÎA.

‘«®ў® P ўе®¤Ёв ў Q, Ґб«Ё Q ЁҐҐв ўЁ¤ Q= α₁Pα₂, Ј¤Ґ α₁, α₂-б«®ў, ў®§®¦­® ЇгбвлҐ. Ќ®а«м­л «Ј®аЁв® ­¤ «дўЁв® Ђ ­§лўҐвбп Їа (‚,S), Ј¤Ґ ЂÍ‚, ­® ‚ – ­Ґ ᮤҐа¦Ёв бЁў®«®ў ‘®’ Ё ‘.’, S – ­ҐЄ®в®ап ­®а«м­п беҐ Ї®¤бв­®ў®Є ­¤ «дўЁв® ‚.

d_i –бЁў®«: Їгб⮥ Ґбв® Ё«Ё ‘.’; ђ_i, Q_i – б«®ў.

‡ЇЁбм P₁→Q₁ ®§­зҐв, зв® ЄЄ®©-в® даЈҐ­в «дўЁв ђ §Ґ­пҐвбп ­ ЄЄ®©-в® даЈҐ­в Q. ‡ЇЁбм P₁→.Q₁ – §Є«озЁвҐ«м­п д®аг« Ї®¤бв­®ўЄЁ.

ЏаЁ ࡮⥠­®а«м­®Ј® «Ј®аЁв ­¤ б«®ў® аббваЁўовбп ўбҐ «ҐўлҐ збвЁ д®аг« беҐл Ї®¤бв­®ў®Є ᢥаег ў­Ё§, Ё ᮥ ЇҐаў®Ґ ўе®¦¤Ґ­ЁҐ, ­©¤Ґ­­®Ґ ў «Ґў®© збвЁ §Ґ­пҐвбп Їаў®© збвмо ᮮ⢥вбвўго饩 д®аг«л. ѓ®ў®апв, зв® «Ј®аЁв ЇаЁҐ­Ё Є б«®ўг Ђ:

1. …б«Ё ­ ЄЄ®-в® иЈҐ ЁбЇ®«м§гҐвбп §Є«озЁвҐ«м­п д®аг« Ї®¤бв­®ўЄЁ;

2. …б«Ё ­ ­ҐЄ®в®а® нвЇҐ ­Ё ®¤­ Ё§ «Ґўле зб⥩ д®аг«л беҐл Ї®¤бв­®ў®Є ­Ґ ўе®¤Ёв ў ¤­­®Ґ б«®ў®.

ЏаЁҐа: Џ®бва®Ёвм ­®а«м­л© «Ј®аЁв , ЇаЁҐ­Ёл© Є® ўбҐ б«®ў x₁, x₂,..., x_n ў «дўЁвҐ {a,b} Ё ЇҐаҐў®¤пйЁ© Ёе ў б«®ў® α= .

Џа®ўҐаЁ аЎ®вг нв®Ј® «Ј®аЁв ­¤ б«®ўЁ abba Ё baba.

1. abba→ αabba→ aβbba→ abδba→ abbδa→ abbaδ→ abbabb;

2. baba→αbaba→ bβaba→ bγba→ bγa→ bγ→ b.

_; N₀ = {0,1,...n}

(x₁, x₂,..., x_n) = 1^x1+1*1^x2+1*...*1^xn+1; (1)

ѓ®ў®апв, зв® дг­ЄжЁп f(x₁.. x_n) ўлзЁб«Ё Ї® ЊаЄ®ўг, Ґб«Ё бгйҐбвўгҐв вЄ®© ­®а«м­л© «Ј®аЁв, Є®в®ал© «оЎ®© ­Ў®а аЈгҐ­в®ў ўЁ¤ (1) ЇаҐ®Ўа§гҐв ў §­зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ ­ нв® ­Ў®аҐ. ”г­ЄжЁп f(x₁, x₂,..., x_n) ўлзЁб«Ё Ї® ЊаЄ®ўг, Ґб«Ё бгйҐбвўгҐв «Ј®аЁв, ЇаЁҐ­Ёл© Є «оЎ®г б«®ўг ўЁ¤ 1^x1+1*1^x2+1*…*1^xn+1, ЇҐаҐў®¤пйЁ© ҐЈ® ў б«®ў® 1^y+1, Ј¤Ґ y= f(x₁, x₂,..., x_n).

ЏаЁҐа: Џ®бва®Ёвм ­®а«м­л© «Ј®аЁв ¤«п ўлзЁб«Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ f(x,y)=x+3y;

Џа®ўҐаЁ ¤«п f(2,1): 111*11→111111*1→111111111*→111111. ’ЄЁ ®Ўа§®, f(2,1)=5.

ҐЄгабЁў­лҐ дг­ЄжЁЁ.

€б室­лЁ дг­ЄжЁпЁ ­§лўовбп дг­ЄжЁЁ ўЁ¤:

1. 0(x)º0 – ­г«Ґўп дг­ЄжЁп;

2. S(x)=x+1 – дг­ЄжЁп б«Ґ¤®ў­Ёп;

3. - Їа®ҐЄвЁа®ў­ЁҐ Ё«Ё ўлЎ®а аЈгҐ­в.

ЋЇҐажЁЁ ­¤ Ёб室­лЁ дг­ЄжЁпЁ:

1. ‘гЇҐаЇ®§ЁжЁп. Џгбвм ¤­л

f(x₁... x_n);

g₁(y₁... y_k);

g₂(y₁... y_k);

...

g_n(y₁... y_k).

’®Ј¤ h(y₁...y_n)=f (g₁,g₂,…,g_n). ѓ®ў®апв, зв® h Ї®«гзҐвбп б Ї®®ймо бгЇҐаЇ®§ЁжЁЁ дг­ЄжЁ© g_i. ЏаЁзҐ §­зҐ­Ёп h Ўг¤Ґ бзЁввм ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ в®«мЄ® ­ вҐе ­Ў®ае аЈгҐ­в®ў, ­ Є®в®але Є¦¤п Ё§ g_i Ё f ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­л ЇаЁ ¤­­ле ­Ў®ае аЈгҐ­в®ў. ‹оЎго Є®­бв­вг ®¦­® Ї®«гзЁвм в®«мЄ® Ё§ Ёб室­®© б Ї®®ймо бгЇҐаЇ®§ЁжЁЁ k(x)=S(...S(O(x)))_{k – а§}.

2. ЏаЁЁвЁў­п ४габЁп. Џгбвм ¤­л g(x₁... x_n-1), f(x₁... x_n), h(x₁... x_n-1). Ѓг¤Ґ Ј®ў®аЁвм, зв® дг­ЄжЁп f Ї®«г祭 Ё§ g Ё h б Ї®®ймо ЇаЁЁвЁў­®© ४габЁЁ, Ґб«Ё ўлЇ®«­повбп б«Ґ¤гойЁҐ ᮮ⭮襭Ёп:

f(x₁... x_n-1,0)=g(x₁... x_n-1);

f(x₁... x_n-1,y+1)=h(x₁... x_n-1,y,f(x₁... x_n-1,y)) – беҐл ЇаЁЁвЁў­®© ४габЁЁ.

”г­ЄжЁп ­§лўҐвбп ЇаЁЁвЁў­®-४габЁў­®©, Ґб«Ё ®­ ®¦Ґв Ўлвм Ї®«г祭 Ё§ Ёб室­®© дг­ЄжЁЁ б Ї®®ймо ЇаЁҐ­Ґ­Ёп Є®­Ґз­®Ј® зЁб« а§ ®ЇҐажЁЁ бгЇҐаЇ®§ЁжЁЁ Ё ЇаЁЁвЁў­®© ४габЁЁ.

ЏаЁҐа: ¤®Є¦Ґ ЇаЁЁвЁў­го ४габЁў­®бвм ­ҐЄ®в®але дг­ЄжЁ©.

1. const – ўбҐ ЇаЁЁвЁў­®-४габЁў­лҐ дг­ЄжЁЁ: C(x₁...x_n)=S(...S( ))_{c – а§} – Ї®«гзЁ Є®­бв­вг C;

2. ‘г f(x₁,x₂)=x₁+x₂:

g(x₁)=f(x₁,0)=x₁=I₁¹(x₁);

f(x₁,y+1) =h(x₁,y,f(x₁,y))=h(x₁,y,x₁+y) =x₁+y+1, Ј¤Ґ h(x₁,x₂,x₃)=S(I₃³(x₁,x₂,x₃));

x₁+x₂=f(x₁,x₂); g(x₁)®f(x₁,0)=g(x₁);

3. Џа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ f(x₁,x₂)=x₁×x₂:

f(x₁,0)=g(x₁)=0=Ћ(x₁);

f(x₁,y+1)=h(x₁,y,x₁×y)=x₁×(y+1)=x₁×y+x₁, Ј¤Ґ h(x,y,z)=I₃³(x,y,z)+I₁³(x,y,z); в.Є. бг ЇаЁЁвЁў­®-४габЁў­, в® Ё Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ⮦Ґ.

4. Џ®Є§вҐ«м­® – б⥯Ґ­­п дг­ЄжЁп f(x₁,x₂)=x₁^x2 Ё x₁>0:

f(x₁,0)=1=const (ЇаЁЁвЁў­®-४габЁў­);

f(x₁,y+1)=x₁^y×x₁=h(x₁,y,x₁^y), Ј¤Ґ h(x,y,z)=I₃³(x,y,z)×I₁³(x,y,z), в.Є. Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ЇаЁЁвЁў­®-४габЁў­®, в® Ё Ї®Є§вҐ«м­® – б⥯Ґ­­п дг­ЄжЁп ⮦Ґ ЇаЁЁвЁў­®-४габЁў­.

ЇҐажЁп Ё­ЁЁ§жЁЁ.

ЋЇҐажЁп Ё­ЁЁ§жЁЁ: M_y[f(x₁... x_n-1,y)= x_n] – ®ЇҐажЁп Ё­ЁЁ§жЁЁ Ї® Ї®б«Ґ¤­Ґ© ЇҐаҐҐ­­®© . f(x₁... x_n-1,y)= x_n ”ЁЄбЁа㥠x₁... x_n-1, Ё аҐиҐ ЇҐаҐЎ®а®, Ї®¤бвў«пп ўҐбв® y зЁбҐ« 0,1,2... ’®Ј¤ ў®§®¦­л б«гзЁ:

1. …б«Ё ­ ЄЄ®-в® иЈҐ Ї®«гзЁвбп ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ґ ўлথ­ЁҐ, в® бзЁвҐ, зв® ®ЇҐажЁп Ё­ЁЁ§жЁЁ ­ ­Ў®аҐ x₁...x_n ­Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­.

2. Ќ Є¦¤® иЈҐ §­зҐ­ЁЁ «Ґў®© збвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­®, ­® Ё§ ўЁ¤ гаў­Ґ­Ёп пб­®, з⮠ࢥ­бвў® ­ЁЄ®Ј¤ ­Ґ Ўг¤Ґв ўлЇ®«­Ґ­®. ‡­зҐ­ЁҐ ®ЇҐажЁЁ Ё­ЁЁ§жЁЁ ­ ¤­­® ­Ў®аҐ ­Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­®.

3. ЏаЁ Ї®¤бв­®ўЄҐ ўҐбв® y зЁбҐ« 0,1,2…y-1 «Ґўп збвм ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­, ­® ࢥ­бвў® ­Ґ ўлЇ®«­п«®бм, ЇаЁ Ї®¤бв­®ўЄҐ y бв«® ўҐа­л, в® y – §­зҐ­ЁҐ ®ЇҐажЁЁ Ё­ЁЁ§жЁЁ ­ ­Ў®аҐ x₁…x_n.

—бвЁз­®-४габЁў­®© дг­ЄжЁҐ© ­§лўҐвбп дг­ЄжЁп, Є®в®ап ®¦Ґв Ўлвм Ї®«г祭 Ё§ Ёб室­ле § Є®­Ґз­®Ґ зЁб«® иЈ®ў б Ї®®ймо ®ЇҐажЁ© бгЇҐаЇ®§ЁжЁЁ, ЇаЁЁвЁў­®© ४габЁЁ Ё Ё­ЁЁ§жЁЁ.

’Ґ®аҐ (® ўлзЁб«Ёле дг­ЄжЁпе): Њ­®¦Ґбвў® дг­ЄжЁ©, ўлзЁб«Ёле Ї® ’моаЁ­Јг б®ўЇ¤Ґв б® ­®¦Ґбвў® дг­ЄжЁЁ, ўлзЁб«Ёле Ї® ЊаЄ®ўг Ё б®ўЇ¤Ґв б® ­®¦Ґбвў® збвЁз­® ४габЁў­ле дг­ЄжЁ©.

„®Є-ў®: б«ЁиЄ® Ў®«м讥 ¤«п ЇаЁўҐ¤Ґ­Ёп.

АҐ¤ЁЄвл

Б­®ў­лҐ Ї®­пвЁп

‚лбЄ§лў­ЁҐ – ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ, ўлথ­­®Ґ ­ ­ҐЄ®в®а® п§лЄҐ, Є®в®а®г ®¦­® ЇаЁЇЁбвм §­зҐ­ЁҐ ЁбвЁ­ (1) Ё«Ё «®¦м (0).

ЏаҐ¤ЁЄв – дг­ЄжЁп f(x), б ®Ў«бвмо ЇаЁЎлвЁп {0,1}.

…б«Ё P(x₁..x_n)º1, в® ЇаҐ¤ЁЄв ­§лўҐвбп ⮦¤Ґб⢥­­® ЁбвЁ­­л.

…б«Ё ђ(x₁..x_n)º0, в® ЇаҐ¤ЁЄв ­§лўҐвбп ⮦¤Ґб⢥­­® «®¦­л. ЏаҐ¤ЁЄв ­§лўҐвбп ўлЇ®«­Ёл, Ґб«Ё ­©¤Ґвбп ­Ў®а аЈгҐ­в®ў, ­ Є®в®а® ®­ ЇаЁ­ЁҐв §­зҐ­ЁҐ ЁбвЁ­: P(x₁..x_n)=1.

ЇҐажЁЁ ­¤ ЇаҐ¤ЁЄвЁ

ЌЎ®а ®ЇҐажЁ©: Ø, Ù, Ú, Å, →, «, ½, ¯ Ё ¤а.

Џгбвм ¤­ ЇаҐ¤ЁЄв P(x₁..x_n). Џ®Є¦Ґ ­ҐЄ®в®алҐ ®ЇҐажЁЁ, Є®в®алҐ ®¦­® ўлЇ®«­Ёвм:

- ЋваЁж­ЁҐ ЇаҐ¤ЁЄв. в®Ј¤ Ё в®«мЄ® в®Ј¤, Є®Ј¤ ЇаҐ¤ЁЄв P(x₁..x_n)=0;

- €Ї«ЁЄжЁп.Џгбвм ¤­л ЇаҐ¤ЁЄвл P(x₁..x_n) Ё Q(x₁..x_n). €Ї«ЁЄжЁҐ© P Ё Q Ўг¤Ґ­­­­­­ ­§лўвм ЇаҐ¤ЁЄв P®Q, Є®в®ал© ЇаЁ­ЁҐв §­зҐ­ЁҐ 0 в®Ј¤ Ё в®«мЄ® в®Ј¤, Є®Ј¤ P(x₁..x_n)=1, Q(x₁..x_n)=0;

- Љў­вЁдЁЄжЁп." -Єў­в®а ®Ўй­®бвЁ. $ - Єў­в®а бгйҐбвў®ў­Ёп. Џгбвм ЁҐҐвбп ЇаҐ¤ЁЄв P(x,y₁,y₂…y_n), §ўЁбпйЁ© ®в n+1 ЇҐаҐҐ­­®©. ђбб®ваЁ ЇаҐ¤ЁЄв "_xP(x,y₁,y₂…y_n)=Q(y₁,y₂…y_n) ЏаҐ¤ЁЄв Q(x₁…x_n) ЇаЁ­ЁҐв §­зҐ­ЁҐ 1, Є®Ј¤ P(y,a₁…a_n)º1, в.Ґ Q(a₁…a_n)=1 Û P(x,a₁…a_n)º1. …б«Ё ­ в®в ¦Ґ ЇаҐ¤ЁЄв P ­ўҐбЁвм Єў­в®а $_е, в® $_еP(x,y₁,y₂…y_n)=T(y₁,y₂…y_n), T(a₁…a_n)=1 Û P(е,a₁…a_n) – ўлЇ®«­Ё, T(a₁…a_n)=0Û P(x,a₁…a_n)º0.

ЋЇҐажЁп ­ўҐиЁў­Ёп Єў­в®а бЇаўҐ¤«Ёў ¤«п «оЎ®© ЇҐаҐҐ­­®©.

ЏаЁҐа: $_е(x×y=-1)=T(y).

T(1): x×1=-1 – ўлЇ®«­Ё => T(1)=1;

T(0): x×0=-1 – ­Ґ ўлЇ®«­Ё => T(0)=0;

’Ґ®аҐ (® ЇаҐ¤бвў«Ґ­ЁЁ Єў­в®а ®Ўй­®бвЁ зҐаҐ§ Є®­ко­ЄжЁо): Їгбвм ¤­ ЇаҐ¤ЁЄв P(x,y₁,y₂…y_n), Ј¤Ґ xÎ{a₁…a_k}. ’®Ј¤

"_xP(x,y₁,y₂…y_n)=P(a₁,y₁,y₂…y_n)ÙP(a₂, y₁,y₂…y_n)Ù…ÙP(a_k, y₁,y₂…y_n).

„®Є-ў®: §дЁЄбЁа㥠­Ў®а аЈгҐ­в®ў b₁…b_n вЄ, зв®Ўл «Ґўп збвм ЇаЁ­п« §­зҐ­ЁҐ ЁбвЁ­. Џ®«гзҐ: "_еP(е,b₁…b_n)=1 Û P(е,b₁...b_n)º1 Û P(a₁,b₁...b_n)=1, P(a₂,b₁...b_n)=1… P(a_k,b₁...b_n)=1 Û P(a₁,b₁...b_n)ÙP(a₂,b₁...b_n)Ù…ÙP(a_k,b₁...b_n)=1. ’.Є. ўбҐ бв५ЄЁ Û, в® б«гз© P(е,b₁...b_n)­Ґº1 ®¦­® ­Ґ аббваЁўвм. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® ЇаҐ¤бвў«Ґ­ЁЁ Єў­в®а бгйҐбвў®ў­Ёп зҐаҐ§ ¤Ё§ко­ЄжЁо): Їгбвм ¤­ ЇаҐ¤ЁЄв P(x,y₁,y₂…y_n), Ј¤Ґ xÎ{a₁…a_k}. ’®Ј¤

$_xP(x,y₁,y₂…y_n)=P(a₁,y₁,y₂…y_n)ÚP(a₂, y₁,y₂…y_n)Ú…ÚP(a_k, y₁,y₂…y_n).

„®Є-ў®: §дЁЄбЁа㥠­Ў®а аЈгҐ­в®ў b₁…b_n вЄ, зв®Ўл ЇаҐ¤ЁЄв Ўл« ўлЇ®«­Ёл©, ­® ­Ґ ⮦¤Ґб⢥­­® ЁбвЁ­­л©. Џ®«гзҐ: $_еP(е,b₁…b_n)=1 Û P(е,b₁...b_n) – ўлЇ®«­Ё Û P(a₁,b₁...b_n)=0, P(a₂,b₁...b_n)=0…,P(a_i,b₁...b_n)=1,…P(a_k,b₁...b_n)=0 Û P(a₁,b₁...b_n)ÚP(a₂,b₁...b_n)Ú…ÚP(a_k,b₁...b_n)=1. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® ⮦¤Ґб⢥­­®© ЁбвЁ­­®бвЁ ЇаҐ¤ЁЄв):Їгбвм ¤­ ЇаҐ¤ЁЄв P(x,y₁…y_n)º1 Û "_xP(x,y₁…y_n)º1.

„®Є-ў®:P(x,y₁…y_n)º1Û ¤«п «оЎ®Ј® Їа®Ё§ў®«м­®Ј® ­Ў®а (a₁,…,a_n) P(x,a₁…a_n)º1 Û "_xP(x,a₁…a_n)=1 Û "_xP(x,y₁…y_n)º1 (Ї® ⥮॥ ўлиҐ) з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® ⮦¤Ґб⢥­­®© «®¦­®бвЁ ЇаҐ¤ЁЄв):Їгбвм ¤­ ЇаҐ¤ЁЄв P(x,y₁…y_n)º0 Û $_xP(x,y₁…y_n)º0.

„®Є-ў®:P(x,y₁…y_n)º0 Û бгйҐбвўгҐв вЄ®© Їа®Ё§ў®«м­л© ­Ў®а (a₁,…,a_n), зв® P(x,a₁…a_n)º0 Û $_xP(x,a₁…a_n)=0 Û $_xP(x,y₁…y_n)º0. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® ЇҐаҐбв­®ўЄҐ ®¤­®ЁҐ­­ле Єў­в®а®ў): Їгбвм ¤­ ЇаҐ¤ЁЄв P(x,y,z₁…z_n). ’®Ј¤ бЇаўҐ¤«Ёўл б«Ґ¤гойЁҐ д®аг«л:

"_x"_y P(x,y,z₁…z_n)= "_y"_е P(x,y,z₁…z_n); (1)

$_x$_y P(x,y,z₁…z_n)= $_y$_x P(x,y,z₁…z_n). (2)

„®Є-ў®(1): Џгбвм Ґбвм Їа®Ё§ў®«м­л© ­Ў®а (a₁…a_n).’®Ј¤ "_x"_yP(x,y,a₁…a_n)=1 Û "_yP(x,y,a₁…a_n)≡1 Û P(x,y, a₁…a_n) ≡1Û "_x P(x,y, a₁…a_n) ≡1 Û "_x"_yP(x,y, a₁…a_n)=1. з.в.¤.

„®Є-ў®(2):‚®§мҐ Їа®Ё§ў®«м­л© ­Ў®а (a₁…a_n) ў ЄзҐб⢥ z_i. ’®Ј¤$_x$_yP(x,y,a₁…a_n)=0 Û $_yP(x,y,a₁…a_n)º0 Û P(x,y,a₁…a_n)º0 Û $_xP(x,y,a₁…a_n)º0 Û $_x$_yP(x,y,a₁…a_n)=0. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® ЇҐаҐбв­®ўЄҐ а§­®ЁҐ­­ле Єў­в®а®ў):$_x"_y P(x,y,z₁..z_n) ® "_y$_x P(x,y, z₁..z_n) ≡1.

„®Є-ў®: ¤®ЇгбвЁ, ­©¤Ґвбп вЄ®© ­Ў®а (a₁…a_n), зв® $_x"_y P(x,y, a₁…a_n)=1 Û "_y P(x,y, a₁…a_n) – ўлЇ®«­Ё Û ­©¤Ґвбп вЄ®Ґ x₀, зв® "_y P(x₀,y, a₁…a_n)=1 Û P(x₀,y, a₁…a_n)º1.

’Є¦Ґ, Ґб«Ё "_y$_x P(x,y, a₁…a_n)=0 Û $_x P(x,y, a₁…a_n) 1 Û ­©¤Ґвбп y₀ $_xP(x,y₀,a₁…a_n)=0 Û P(x₀,y,a₁…a_n)º0.

ЏаЁ y=y₀ Ї®«гзҐ P(x₀,y₀,a₁…a_n)=1;

ЏаЁ x=x₀ Ї®«гзҐ P(x₀,y₀,a₁…a_n)=0;

’ЄЁ ®Ўа§®, Ї®«гзҐ, зв® ­Ў®а a₁…a_n ­Ґ бгйҐбвўгҐв. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (®Ў ®ваЁж­ЁЁ Єў­в®а®ў): Џгбвм ¤­ P(x,y₁,y₂…y_n), в®Ј¤ бЇаўҐ¤«Ёўл д®аг«л:

„®Є-ў®(1): Џгбвм Їа®Ё§ў®«м­л© ­Ў®а (a₁…a_n) вЄ®©, зв® Û "_xP(x,a₁…a_n)=1 Û P(x, a₁…a_n) ≡1 Û Û =0. з.в.¤.

„®Є-ў®(2): Џгбвм Їа®Ё§ў®«м­л© ­Ў®а (a₁…a_n) вЄ®©, зв® Û $_xP(x,a₁…a_n)=1 Û P(x, a₁…a_n) – ўлЇ®«­Ё Û - ўлЇ®«­Ёл©, ­® ­Ґ ⮦¤Ґб⢥­­® ЁбвЁ­­л© ЇаҐ¤ЁЄв Û =0. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ Єў­в®а ®Ўй­®бвЁ ®в­®бЁвҐ«м­® Є®­ко­ЄжЁЁ): Џгбвм ¤­л ЇаҐ¤ЁЄвл P(x, y₁,y₂…y_n) Ё Q(x, y₁,y₂…y_n). ’®Ј¤ бЇаўҐ¤«Ёў д®аг«:

"_x (P(x, y₁,y₂…y_n) Ù Q(x, y₁,y₂…y_n)) = "_x P(x, y₁,y₂…y_n) Ù "_x Q(x, y₁,y₂…y_n).

„®Є-ў®: §дЁЄбЁа㥠⪮© ­Ў®а (a₁..a_n), зв® "_x (P(x, a₁…a_n) Ù Q(x, a₁…a_n)) =1 Û P(x, a₁…a_n) ÙQ(x, a₁…a_n) ≡1Û ЇаЁ «оЎ® x P(x, a₁…a_n)=1 Q(x, a₁…a_n)=1 Û "_x P(x, a₁…a_n)=1, "_x Q(x, a₁…a_n)=1 Û "_x P(x, a₁…a_n) Ù "_x Q(x, a₁…a_n)=1. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ Єў­в®а бгйҐбвў®ў­Ёп ®в­®бЁвҐ«м­® ¤Ё§ко­ЄжЁЁ): Їгбвм ¤­л ЇаҐ¤ЁЄвл P(x,y₁,.,y_n) Ё Q(x,y₁,..,y_n). ’®Ј¤ бЇаўҐ¤«Ёў д®аг«:

$_x ( P(x,y₁,..,y_n) Ú Q(x,y₁,..,y_n) ) = $_x P(x,y₁,..,y_n) Ú $_x Q(x,y₁,..,y_n).

„®Є-ў®:‡дЁЄбЁа㥠⪮© ­Ў®а (a₁..a_n), зв® $_x(P(x,a₁,..,a_n)ÚQ(x,a₁,..,a_n))=0 Û P(x,a₁,..,a_n)ÚQ(x,a₁,..,a_n)≡0 (®в­®бЁвҐ«м­® ЇҐаҐҐ­­®© x) Û ЇаЁ ­ҐЄ®в®але x P(x,a₁,..,a_n)=0, Q(x,a₁,..,a_n)=0 Û $_xP(x,a₁,..,a_n)=0, $_xQ(x,a₁,..,a_n)=0 – Ї®«г祭® ­ўҐиЁў­ЁҐ Єў­в®а бгйҐбвў®ў­Ёп Û $_xP(x,a₁,..,a_n)Ú$_xQ(x,a₁,..,a_n)=0. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® Ї®«г¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ Єў­в®а бгйҐбвў®ў­Ёп ®в­®бЁвҐ«м­® Є®­ко­ЄжЁЁ): $_x[P(x,y₁,..,y_n) Ù Q(x, y₁,..,y_n)] ® $_x P(x, y₁,..,y_n) Ù $_x Q(x, y₁,..,y_n) ≡1

„®Є-ў®: ‡дЁЄбЁа㥠­Ў®а (a₁..a_n) вЄ®©, зв®$_xP(x, a₁..a_n) Ù $_x Q(x, a₁..a_n) ≡ 0 Û $_x P(x, a₁..a_n)=0 Ё«Ё $_xQ(x, a₁..a_n)=0 Û P(x, a₁..a_n) ≡0 Ё«Ё Q(x, a₁..a_n) ≡0 Û $_x (P(x, a₁..a_n) Ù Q(x, a₁..a_n)) ≡0. з.в.¤.

’Ґ®аҐ (® Ї®«г¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ Єў­в®а ®Ўй­®бвЁ ®в­®бЁвҐ«м­® ¤Ё§ко­ЄжЁЁ):"_xP(x,y₁,..,y_n)Ú"_xQ(x,y₁,..,y_n) ® "_x [P(x,y₁,..,y_n) Ú Q(x,y₁,..,y_n)] =1

„®Є-ў®: Џгбвм (a₁…a_n) вЄ®© ­Ў®а, зв® "_x P(x,a₁…a_n) Ú "_x Q(x,a₁…a_n)º1 Û "_x P(x,a₁…a_n)=1 Ё«Ё "_x Q(x,a₁…a_n)=1 Û P(x,a₁…a_n) º 1 Ё«Ё Q(x,a₁…a_n)º1 Þ P(x,a₁…a_n)ÚQ(x,a₁…a_n)º1 Þ "_x [P(x,y₁,..,y_n) Ú Q(x,y₁,..,y_n)] =1. з.в.¤.

АҐ¤ЁЄв­лҐ д®аг«л.

P(x₁..x_n) – н«ҐҐ­ва­п д®аг« (ЇаҐ¤ЁЄв­®Ґ б«®ў®).

1) Љ¦¤п н«ҐҐ­ва­п д®аг« – ЇаҐ¤ЁЄв­п д®аг«.

2) …б«Ё P Ё Q – д®аг«л, в® ØP, (QÙP), (QÚP), (Q½P), (Q«P), (Q¯P), (Q→P), "_xP, $_xP - ⮦Ґ д®аг«л.

ЏаЁ®аЁвҐв: ($ Ё«Ё "), Ø, Ù, Å, Ú, ®, «…

ѓ®ў®апв, зв® ЇаҐ¤ЁЄв­п д®аг« ­е®¤Ёвбп ў ЇаЁўҐ¤Ґ­­®© д®аҐ, Ґб«Ё Єа®Ґ бЁў®«®ў ЇаҐ¤ЁЄв®ў, ў ­Ґ© ­е®¤пвбп §­зЄЁ $, ", Ø, Ù, Ú, ЇаЁзҐ бЁў®« ‘Ø’ ®в­®бЁвбп в®«мЄ® Є ЇаҐ¤ЁЄв­л ЎгЄў.

‹оЎп ЇаҐ¤ЁЄв­п д®аг« ®¦Ґв Ўлвм ᢥ¤Ґ­ Є ЇаЁўҐ¤Ґ­­®© д®аҐ:

x→y= ØxÚy;

x / > y= xÙØy;

x+y= Øxy Ú xØy;

x«y= ØxØy Ú xy;

x½y= Ø(xy);

x¯y= Ø(xÚy).

ЏаЁҐа: ЇаҐ¤бвўЁвм ЇаҐ¤ЁЄв ў ЇаЁўҐ¤Ґ­­®© д®аҐ:

ѓ®ў®апв, зв® ЇаҐ¤ЁЄв­п д®аг« ­е®¤Ёвбп ў ЇаҐ¤ўаҐ­­®© ­®а«м­®© д®аҐ, Ґб«Ё ®­ ЁҐҐв ўЁ¤: , Ј¤Ґ D – Єў­в®а ®Ўй­®бвЁ Ё«Ё Єў­в®а бгйҐбвў®ў­Ёп, Ђ – д®аг«, ­е®¤пйпбп ў ЇаЁўҐ¤Ґ­­®© д®аҐ, ­Ґ ᮤҐа¦йп Єў­в®а®ў.

ЏаЁҐа: ЇаЁўҐбвЁ Є ЇаҐ¤ўаҐ­­®© ­®а«м­®© д®аҐ ЇаҐ¤ЁЄв:

З­лҐ «®ЈЁЄЁ

Б­®ў­лҐ Ї®­пвЁп

E_k={0,1,2…k-1}.

”г­ЄжЁЁ k-§­з­®© «®ЈЁЄЁ: .

- ­®¦Ґбвў® дг­ЄжЁ© k-§­з­®© «®ЈЁЄЁ ¤«п n-аЈгҐ­в®ў.

x1	x2	…	xn-1	xn	f
		…			a1
		…			a2
		…			a3
…	…	…	…	…	...
		…		k-1	ak
		…
…	…	…	…	…	…
k-1	k-1	…	k-1	k-1	akn

Г­ЄжЁЁ k-§­з­®© «®ЈЁЄЁ.

1) Љ®­бв­в: f(x)ºC;

2) ЋваЁж­ЁҐ Џ®бв : =x+1 mod k.

3) ЋваЁж­ЁҐ ‹гЄбҐўЁз ~x = k-1-е;

4) x×y- Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ Ї® ®¤г«о k: x×y =(x×y) mod k;

5) xÙy – min{x,y};

6) ‘«®¦Ґ­ЁҐ Ї® ®¤г«о k x+y=(x+y) mod k;

7) •аЄвҐаЁбвЁзҐбЄп дг­ЄжЁп 1^Ј® த ;

8) •аЄвҐаЁбвЁзҐбЄп дг­ЄжЁп 2^Ј® த (ў®§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ў б⥯Ґ­м);

9) ђ§­®бвм:

10) “бҐзҐ­­п а§­®бвм:

11) - дг­ЄжЁп ‚ҐЎЎ.

12) xÚy=max{x,y}.

Џгбвм k=3.

x

y

~y

x×y

xÙy

xÚy

x+y

j1(x)

J2(y)

x-y

V3(x,y)

ЏаЁҐа: ¤®Є§вм:

‡Є®­л Њ®аЈ­:

~(xÙy)=(~x)Ú(~y) (1)

~(xÚy)=(~x)Ù(~y) (2)

1) x£y

xÚy=y

~x= k-1-x

~y=k-1-y

(k-1-x)Ù( k-1-y)= k-1-y.

2) x>y

xÚy=x

~x= k-1-x

~y=k-1-y

(k-1-x)Ù( k-1-y)= k-1-x.

’Ґ®аҐ (® ЇаҐ¤бвў«Ґ­ЁЁ дг­ЄжЁ© k-§­з­®© «®ЈЁЄЁ ў 1^© д®аҐ): ¤«п «оЎ®© дг­ЄжЁ© k-§­з­®© «®ЈЁЄЁ бЇаўҐ¤«Ёў д®аг«:

- ¤«п kⁿ ­Ў®а®ў аЈгҐ­в®ў (a₁,..,a_n).

„®Є-ў®: Їгбвм Ґбвм ­ҐЄ®в®ал© ­Ў®а (b₁,..,b_n). ’®Ј¤

з.в.¤.

ЏаЁҐа: f=~x; k=5;

‘Ёб⥠дг­ЄжЁ© k-§­з­®© «®ЈЁЄЁ бзЁвҐвбп дг­ЄжЁ®­«м­® Ї®«­®©, Ґб«Ё «оЎп дг­ЄжЁп нв®© «®ЈЁЄЁ ®¦Ґв Ўлвм ЇаҐ¤бвў«Ґ­ ў ўЁ¤Ґ бгЇҐаЇ®§ЁжЁЁ дг­ЄжЁ© нв®© бЁбвҐл.

P_k – ­®¦Ґбвў® дг­ЄжЁ© k-§­з­®© «®ЈЁЄЁ. [m] – ­®¦Ґбвў® ўбҐе бгЇҐаЇ®§ЁжЁ© (§лЄ­ЁҐ Є«бб). P_k=[m].

ЏаЁҐа:

m={0,1,2...k-1,J_i(x),Ú,Ù}.

Џгбвм m₁={ }. „®Є¦Ґ ”г­ЄжЁ®­«м­го Ї®«­®вг m₁.

1) Џ®бв஥­ЁҐ const

;

;

2)

)

Ў) - в.Є. ­Ґв Є®­бв­вл k.

3) ;

Џ®Є¦Ґ, зв® Ё§ нв®© дг­ЄжЁЁ f_s,i(x) ®¦­® Ї®«гзЁвм «оЎго дг­ЄжЁо ®в 1 ЇҐаҐҐ­­®©.

g(x)= f_g(0),0(x)Ú f_g(1),1(x)Ú...Úf_g(k-1),(k-1)(x);

g(a)= f_g(0),0(x)Ú f_g(1),1(x)Ú...Úf_g(a),a(a)Ú...Úf_g(k-1),(k-1)(x)= g(a);

~x= f_k-1,0(x)Ú f_k-2,1(x) Ú...Ú f_0,k-1(x);

~(~x)=x;

~(xÙy)=(~x)Ú(~y);

”®аг« ‚ҐЎЎ (­«®Ј ↓).

V_k(x,y)= ;

V_k(x,x)= ;

- §Є®­л Ё¤ҐЇ®вҐ­в­®бвЁ.

’ЄЁ ®Ўа§®, л ¤®Є§«Ё дг­ЄжЁ®­«м­го Ї®«­®вг Є«бб ‚ҐЎЎ.

А«м­лҐ ⥮ਨ

Б­®ў­лҐ Ї®­пвЁп

—в®Ўл ®ЇЁбвм д®а«м­го ⥮аЁо ­Ґ®Ўе®¤Ё®:

1. «дўЁв – ­ҐЄ®в®а®Ґ ­®¦Ґбвў® бЁў®«®ў;

2. д®аг«л (­®¦Ґбвў® ЇаўЁ«м­® Ї®бв஥­­ле ўлথ­Ё©) ­ ¤­­® «дўЁвҐ;

3. ®ЇЁб­ЁҐ ЄбЁ® (ў® ­®¦Ґб⢥ д®аг« ўл¤Ґ«пҐвбп ­ҐЄ®в®а®Ґ Ї®¤­®¦Ґбвў®);

4. ЇаўЁ« ўлў®¤ (§Є®­л, Є®в®алҐ Ї®§ў®«пов Ї® ЁҐойЁбп д®аг« бва®Ёвм ¤агЈЁҐ д®аг«л). ЏаўЁ«® ўлў®¤ G ­§-бп n-Ґбв­®Ґ ®в­®иҐ­ЁҐ ­ ­®¦Ґб⢥ д®аг«. …б«Ё д®аг«л (A₁,A₂…A_n-1,B) ўбвгЇов ў ®в­®и G, в® Ј®ў®апв, зв® ­®¦Ґбвў® B ўлў®¤Ё® Ё§ д®агг« A₁..A_n-1 Ї® ЇаўЁ«г G. A₁..A_n-1 – Ї®бл«ЄЁ ЇаўЁ« ўлў®¤, B – §Є«о祭ЁҐ ЇаўЁ« ўлў®¤. ‡ЇЁблўов ;

ЋЇа.’Ґ®аҐ®© ­§лўҐвбп д®аг« ‘, ¤«п Є®в®а®© бгйҐбвўгҐв Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм
B₁,B₂..B_m-1,‘ вЄп, зв® Є¦¤л© з«Ґ­ нв®© Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ «ЁЎ® ЄбЁ®, «ЁЎ® Ї®«г祭 Ї® ЇаўЁ«г ўлў®¤ Ё§ ЇаҐ¤л¤гйЁе з«Ґ­®ў Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ.

ЋЇа. ”®аг« ‘ ўлў®¤Ё Ё§ ­®¦Ґбвў ЈЁЇ®вҐ§ ѓ={A₁,A₂…A_p}, (ѓГД ‘), Ґб«Ё бгйҐбвўгҐвҐв Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм ‚₁,‚₂,..,‚_m-1,‘, Є¦¤л© з«Ґ­ Є®в®а®© пў«пҐвбп «ЁЎ® ЄбЁ®®©, «ЁЎ® Ї®«г祭 Ї® ЇаўЁ«г ўлў®¤ Ё§ ЇаҐ¤л¤гйЁе з«Ґ­®ў Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ, «ЁЎ® Ё§ бЇЁбЄ ѓ. ”®аг«л, ў®иҐ¤иЁҐ ў бЇЁб®Є ѓ – ЈЁЇ®вҐ§л.

‘ў®©бвў ўлў®¤ Ё§ ЈЁЇ®вҐ§

1. ‚лў®¤Ё®бвм ЈЁЇ®вҐ§: ѓ,ЂГДЂ

2. ЇҐаҐбв­®ўЄ ЈЁЇ®вҐ§: ѓ,Ђ,‘ГДB Û ѓ,C,ЂГДB – ®¤­ Ё в ¦Ґ Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм ‚₁,‚₂,..,‚_m-1,B, ўлў®¤Ёп Ё§ ѓ,Ђ,‘, пў«пҐвбп ўлў®¤Ё®© Ё§ ѓ,C,Ђ.

3. ђбиЁаҐ­ЁҐ зЁб« ЈЁЇ®вҐ§: Ґб«Ё ѓГДЂ Þ ѓ,‚ГДЂ;

4. ’а­§ЁвЁў­®бвм ўлў®¤Ё®бвЁ: Ґб«Ё ѓГДЂ, ЂГД‚ Þ ѓГД‚;

„®Є-ў®: Ё§ ѓГДЂ б«Ґ¤гҐв, зв® бгйҐбвўгҐв Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм A₁, A₂,..,A_m-1,A вЄп, зв® Є¦¤л© з«Ґ­ нв®© Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ «ЁЎ® ЄбЁ®, «ЁЎ® Ї®«г祭 Ї® ЇаўЁ«г ўлў®¤ Ё§ ЇаҐ¤л¤гйЁе з«Ґ­®ў Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ, Ё§ AГДB б«Ґ¤гҐв, зв® бгйҐбвўгҐв Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм ‚₁,‚₂,.., ‚_k-1, ‚, вЄп, зв® Є¦¤л© з«Ґ­ нв®© Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ «ЁЎ® ЄбЁ®, «ЁЎ® Ї®«г祭 Ї® ЇаўЁ«г ўлў®¤ Ё§ ЇаҐ¤л¤гйЁе з«Ґ­®ў Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ. ђббб®ваЁ 2 б«гзп:

) б।Ё д®аг« B_i ­Ґв д®аг« Ђ, в®Ј¤ ‚ – ⥮ॠ, ўлў®¤Ё Ё§ ЈЁЇ®вҐ§ б Ї®®ймо абиЁаҐ­Ёп Ёе бЇЁбЄ Þ ѓГД‚;

Ў) ­ҐЄ®в®ап ‚_i б®ўЇ¤Ґв б д®аг«®© Ђ, в®Ј¤ ўҐбв® Ђ ЇҐаҐ¤ Ђ Ї®бвўЁ Ђ₁,Ђ₂..A_m-1. Џ®«гзЁ, зв® Є¦¤л© з«Ґ­ Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ ў®иҐ« ў ѓ Þ ѓГД‚.

5. “¤«Ґ­ЁҐ ўлў®¤Ё®© ЈЁЇ®вҐ§л: ѓ,ЂГД‚ Ё ѓГДЂ Þ ѓГД‚

„®Є-ў®: Ё§ ѓ б«Ґ¤гҐв, зв® бгйҐбвўгҐв A₁, A₂,..,A_m-1,A вЄп, зв® Є¦¤л© з«Ґ­ нв®© Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ «ЁЎ® ЄбЁ®, «ЁЎ® Ї®«г祭 Ї® ЇаўЁ«г ўлў®¤ Ё§ ЇаҐ¤л¤гйЁе з«Ґ­®ў Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ, Ё§ ѓ,Ђ б«Ґ¤гҐв, зв® бгйҐбвўгҐв Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм ‚₁,‚₂,.., ‚_k-1, ‚ вЄп зв® Є¦¤л© ҐҐ з«Ґ­ «ЁЎ® ЄбЁ®, «ЁЎ® Ї®«г祭 Ї® ЇаўЁ«г ўлў®¤ Ё§ ЇаҐ¤л¤гйЁе з«Ґ­®ў Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ. ђбб®ваЁ ¤ў б«гзп

) б।Ё B_i ­Ґв д®аг« Ђ, в®Ј¤ ‚ – ⥮ॠЁ ‚ ўлў®¤Ё Ё§ ѓ

Ў) Ґб«Ё ЄЄп-в® B_i б®ўЇ« б Ђ, в® §Ґ­пҐ Ђ ­ Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм Ђ₁,Ђ₂..A_m-1, ⥠бл Ї®«гзҐ ўлў®¤ ‚ Ё§ ѓ.

Љ«ббЁзҐбЄ®Ґ ЁбзЁб«Ґ­ЁҐ ўлбЄ§лў­Ё©

Ѓг¤Ґ ЁбЇ®«м§®ўвм «дўЁв: Ђ, ‚_i, ®, Ø, (, ).

”®аг«:

1) Љ¦¤л© бЁў®« ЇҐаҐҐ­­п ®Ўкпў«пҐвбп д®аг«®©;

2) …б«Ё Ђ, ‚ – д®аг«л, в® (Ђ®‚), (ØЂ) вЄ¦Ґ д®аг«л. „агЈЁе д®аг« ­Ґв.

3) ЂЄбЁ®л, Ёе беҐл:

Ђ₁: Ђ®(‚®Ђ) – ЇҐаўп беҐ ЄбЁ®;

Ђ₂: (Ђ®(‚®‘)) ® ((Ђ®B)®(Ђ®‘)) – ўв®ап беҐ;

Ђ₃: (Ø‚® ØЂ)® ((Ø‚®Ђ)®‚) – ваҐвмп беҐ.

ЋЇа. ЂЄбЁ®®© Ї® ¤­­®© б奥 ЄбЁ® ­§лўҐвбп д®аг«, Ї®«г祭­п Ё§ беҐл ЄбЁ® Ї®¤бв­®ўЄ®© ўҐбв® бЁў®«®ў ЇҐаҐҐ­­ле ¤агЈЁе д®аг«.

ЏаЁҐа: Їгбвм A~C®C; B~A ÞA₁: (C®C)®(A®(C®C))Þнв® ЄбЁ® Ї® ЇҐаў®© д®аг«Ґ ЄбЁ®.

4) ЏаўЁ« ўлў®¤. . Modus Ponens (MP) – ЇаўЁ«® ®в¤Ґ«Ґ­Ёп;

5) ’Ґ®аҐ – б. ўлиҐ;

6) ЏаўЁ«® ўўҐ¤Ґ­Ёп ЁЇ«ЁЄжЁЁ: ѓ ГДЂ Þ ѓ ГД‚®Ђ.

„®Є-ў®: Ё§ ѓ б«Ґ¤гҐв, зв® бгйҐбвўгҐв Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм A₁, A₂,..,A_m-1,Ђ вЄп, зв® Є¦¤л© ҐҐ з«Ґ­ «ЁЎ® ЄбЁ®, «ЁЎ® Ї®«г祭 Ї® ЇаўЁ«г ўлў®¤ Ё§ ЇаҐ¤л¤гйЁе з«Ґ­®ў Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвЁ, «ЁЎ® Ё§ бЇЁбЄ ѓ. Ђ®(‚®Ђ) - ЄбЁ® Ї® ЇҐаў®© б奥 ЄбЁ®, ‚®Ђ – Ї® MPЁ§ ЇаҐ¤л¤г饣®.

’Ґ®аҐ: Ґб«Ё д®аг« ўлў®¤Ё Ё§ Їгбв®Ј® ­®¦Ґбвў ЈЁЇ®вҐ§, в® н⮠⥮аҐ: ГД Ђ®Ђ.

B₁: Ї® Ђ₂, Ј¤Ґ ‘~A B~(A®Ђ): (Ђ®((Ђ®Ђ)®Ђ)®((Ђ®(Ђ®Ђ))®(Ђ®Ђ) – ЄбЁ®.

B₂:A®((A®A) ®A) - ЄбЁ® Ї® A₁ (B~A®A);

B₃: (A®(A®A))® (A®A) Ї® ЊђЁB₁ B₂;

B₄: A®(A®A) ЄбЁ® Ї® A₁ B~A;

B5:A®A Ї® ЊђЁ B3,B4.

’Ґ®аҐ (® ¤Ґ¤гЄжЁЁ): ѓ,ЂГДB Û ѓГДЂ®‚

„®Є-ў®:

1. ѓГДЂ®‚ Þ ѓ,ЂГД‚. Џгбвм ЁҐҐвбп Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм д®аг« ‚₁,‚₂,.., ‚, Ђ®‚, ¤®ЎўЁ Ђ в.Є. ®­ ў®и« ў бЇЁб®Є ЈЁЇ®вҐ§ ‚ Ї® MP Ё§ ЇаҐ¤л¤г饣®. Џ®«гзЁ«бм ЈЁЇ®вҐ§ Є¦¤л© з«Ґ­ Є®в®а®© «ЁЎ® «дўЁв, «ЁЎ® д®аг«, «ЁЎ® ЄбЁ®. ‘«Ґ¤®ўвҐ«м­®, Ї®бв஥­ Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм.

2. ѓ,Ђ®‚ Þ ѓГДЂ®‚, Ќ©¤Ґ Ї®б«Ґ¤®ўвҐ«м­®бвм ‚₁,‚₂,..,‚_m-1,‚, Є®в®ап пў«пҐвбп ўлў®¤® ‚ Ё§ ѓ,Ђ. Ђ®‚₁,..,Ђ®‚₂,.., Ђ®‚_i,.., Ђ®‚_m. „®Є¦Ґ Ґв®¤® вҐвЁзҐбЄ®© Ё­¤гЄжЁЁ:

a) Џа®ўҐаЄ Ђ ®‚₁. …б«Ё B₁¹A: ‚₁ – ЄбЁ® Ё«Ё ЈЁЇ®вҐ§ Ё§ бЇЁбЄ ѓ, в® ўбвўЄЁ ‚₁®(Ђ ®‚₁), Ђ ®‚₁ (Ї® ЇаҐ¤л¤гйҐг). …Ґб«Ё ‚₁=Ђ, Ї®«гзЁ A₁®A;

b) Џгбвм ⥮ॠбЇаўҐ¤«Ёў ¤«п i-1, в.Ґ ўбвўЄЁ ўЇ«®вм ¤® i-1 㤫Ёбм: Ђ®‚₁,..,Ђ®‚_i-1;

c) „®Є¦Ґ Ђ®‚₁,..,Ђ®‚_i-1,...,A®B_i ‚Ё¤ ўбвўЄЁ Ўг¤Ґв §ўЁбҐвм ®в в®Ј®, ­ ®б­®ў­ЁЁ 祣® B_i ў®и« ў B₁B₂..B_n:

1) ‚_i –ЄбЁ® Ё«Ё ЈЁЇ®вҐ§ Ё§ ѓ, в®Ј¤ 2-Ґ д®аг«л ‚_i®(Ђ®‚_i)(ЄбЁ® Ї® Ђ₁), B_i, Ђ®‚_i(Ї® Њђ Ё§ ЇаҐ¤л¤г饣®);

2) ‚_i=Ђ, Ї® Њђ Ё§ ЇаҐ¤л¤г饣®;

3) ‚_i Ї®«гзҐ­л Ї® Modus Ponens Ё§ ­ҐЄ®в®але ЇаҐ¤л¤гйЁе ‚_k=‚_j®‚_i...‚_j Ј¤Ґ j,k<i. 2-п беҐ ЄбЁ®: ў®§мс (Ђ ® (‚_k ® ‚_i)) ® c®бвў«пҐ беҐг, Ґб«Ё Ђ=Ђ_i, ‚=‚_i, ‚=‚_x ® ((Ђ ® ‚_x) ® (A ® ‚_i)) (*)-ЄбЁ® Ї® Ђ2 j,x<i…A ® ‚_j…Ђ ® ‚_x ЇаЁҐ­пҐ ЇаўЁ«® ўлў®¤ Modus Ponens Є Ђ ® ‚_j Ё Є (*), (Ђ ® ‚_k) ® (Ђ ® ‚_i) (**). ‡­зЁв ЇаЁҐ­пп ЇаўЁ«® ўлў®¤ Є (**) Ђ ® ‚_k Ё§ 2-е д®аг« ўбвўЄЁ Ї®«гзҐ Ђ ® ‚_i. Џа®жҐ¤га ўбвўЄЁ ўҐа­ ¤«п «оЎле i, ў збв­®бвЁ ¤«п Ё­¤ҐЄб m. в®Ј¤ Ђ ® ‚ Ё§ ­®¦Ґбвў ЈЁЇ®вҐ§. з.в.¤.

’а­§ЁвЁў­®бвм ЁЇ«ЁЄжЁЁ: Ђ®‚, ‚®‘ГДЂ®‘

„®Є-ў®:

B₁: Ђ®‚ – ЈЁЇ®вҐ§;

‚₂: ‚®‘ – ЈЁЇ®вҐ§;

‚₃: Ђ – ЈЁЇ®вҐ§;

‚₄: B Ї® MP Ё§ ‚1,‚3;

‚₅: ‘ (Ї® Modus Ponens Ё§ ‚2, ‚4);

A®B, B®C, AГДC Þ (Ї® ⥮॥ ¤Ґ¤гЄжЁЁ) A®B, B®C ГД A®C.

ЏаўЁ«® бҐзҐ­Ёп: …б«Ё ГДЂ®(‚®‘), ‚ГДЂ®‘;

„®Є-ў®:

B₁: Ђ®(‚®‘) – ЈЁЇ®вҐ§;

B₂: ‚ – ЈЁЇ®вҐ§;

B₃: Ђ – ЈЁЇ®вҐ§;

B₄: ‚®‘ (Ї® MPЁ§ ‚₁, ‚₃);

B₅: ‘ (Ї® MP Ё§ ‚₂, ‚₄);

Ђ®(Ђ®‘), ‚, ЂГД‘ Þ (Ї® ⥮॥ ¤Ґ¤гЄжЁЁ) Ђ®(‚®‘), ‚ГДЂ®‘;Џ.‘.