Понятие абсолютной величины вещественного числа
Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называется число, обозначаемое символом , которое находится по правилу:
Абсолютная величина действительного числа обладает следующими свойствами:
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
7. 8. | ||
9. |
Некоторые подмножества множества
Действительных чисел
Во множестве действительных чисел выделяют четыре подмножества, играющих достаточно самостоятельную роль. Речь идет о множествах натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел. Эти числа мы введем не так как в школе.
Определение 1. Множество называется индуктивным, если выполняются два условия
1) ;
2) для любого элемент также принадлежит .
Например, множество индуктивно.
Пересечение любого количества индуктивных множеств является индуктивным множеством (доказать самостоятельно).
Определение 2. Пересечение совокупности всех индуктивных множеств называется множеством натуральных чисел и обозначается . Элементы множества называются натуральными числами.
Определение 3. Множество называют множеством целых чисел.
Определение 4. Число называется рациональным, если существуют такие целые и , что . Множество всех рациональных чисел обозначается символом .
Определение 5. Действительное число не принадлежащее , называется иррациональным.
Определение 6. Открытым промежутком, или интервалом с началом в точке и концом в точке называется множество действительных чисел таких, что . Интервал с началом в точке и концом в точке обозначается символом или .
Определение 7. Замкнутым промежутком, или отрезком с началом в точке и концом в точке называется множество действительных чисел таких, что . Отрезок с началом в точке и концом в точке обозначается символом .
Определение 8. Полуоткрытыми промежутками являются множества: или
Определение 9. Открытым (замкнутым) положительным лучом с началом в точке называется множество действительных чисел таких, что ( ).
Определение 10. Открытым (замкнутым) отрицательным лучом с началом в точке называется множество действительных чисел таких, что ( ).
Дополним множество вещественных чисел тремя новыми объектами (бесконечными числами): .
Определение 11. Числом будем называть новое число, которое, будем считать, принадлежит всем отрицательным лучам. И при этом выполняется неравенство .
Определение 12. Числом будем называть новое число, которое, будем считать, принадлежит всем положительным лучам. И при этом выполняется неравенство .
Определение 13. Числом будем называть новое число, которое является парой чисел .
Действительные числа изображаются точками прямой (числовой прямой). Поэтому мы часто числа будем называть точками.
Определение 14. Пусть . окрестностью числа (точки) называется множество
.
Определение 15. Проколотой окрестностью числа (точки) называется множество
Определение 16. окрестностью числа (точки) называется множество
Определение 17. окрестностью числа (точки) называется множество
Определение 18. окрестностью числа (точки) называется множество