Езависимые случайные события

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Задания для самостоятельной работы

по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

омбинаторика

1.1.Пусть Х₁={А;Б;В;Г;Д;Е}.

1) Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из букв Х₁

(каждую букву можно использовать не более одного раза)?

2) Сколькими способами можно взять три буквы из Х₁?

3) Сколькими способами можно разбить Х₁ на два непустых подмно-

жества?

4) Сколькими способами можно составить два «слова» из всех букв Х₁?

1.2.Для Х₂= {А;А;А;А;А} решите задачи из 1.1.

1.3.Для Х₃ ={А;А;Б;В;Г} решите задачи из 1.2.

1.4Для Х₄ ={0;1;2;3;4;5} переформулируйте и решите задачи из 1.1.

Домашнее задание №1: 1.1; 1.2; 1.3; 1.4.

1.5. Пусть Х₅ ={0;0;1;2;3;3}.

1) Сколькими способами можно выбрать три числа из Х₅?

2) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр из Х₅?

3) Сколькими способами можно разместить цифры на I, II, III строчках,

если порядок на строке не учитывается и некоторые строчки могут

быть пустыми?

1.6.В группе 15 студентов. Среди них распределяют 3 путевки. Сколькими

способами это можно сделать, если

1) все путевки разные;

2) все путевки одинаковые;

3) две путевки в город А, а одна – в город В?

1.7.Пятьразличных книг нужно отправить в семь библиотек. Сколькими

способами это можно сделать, если

1) каждая библиотека может получить не более одной книги;

2) количество книг, получаемых каждой библиотекой, не оговорено;

3) известно, что одна библиотека получает три книги, а другие две – по

одной.

1.8.Пусть книги из 1.7одинаковые. Решите задание из1.7.

1.9.Три одинаковыегруши и один апельсин раздают (по одному) семерым

детям. Сколькими способами это можно сделать?

1.10.Сколькими способами можно разложить три предмета по трем ящикам,

если:

1) предметы разные и ящики различимые;

2) предметы одинаковые и ящики различимые;

3) предметы одинаковые и ящики неразличимые;

4) предметы одинаковые и ящики неразличимые?

1.11.Сколькими способами можно разложить четыре предмета по трем

ящикам, так что все ящики непустые и

1) предметы и ящики разные;

2) предметы и ящики одинаковые;

3) предметы разные и ящики одинаковые.

1.12.Сколькими способами можно разложить семь различных предметов по

одинаковым ящикам при условии, что все ящики непустые, и если

ящиков: а) два; б) три; в) четыре?

1.13.Решите задачу1.12,если предметы одинаковые.

1.14.1)Сколько способов раздать 12 различных книг четырем читателям,

если каждый получает не менее двух книг?

2)Сколько способов раздать 12 различных фруктов на четыре

одинаковых тарелки (по 3 штуки)?

езависимые случайные события

Первые задания в этом пункте связаны с проверкой равенства

р(Н₁ Н₂)=р(Н₁) р(Н₂) для случая геометрического вероятностного простра-нства (отрезки в случае и прямоугольники в случае ). Последующие текстовые задачи основаны на предположении независимости рассматривае-мых событий.

2.1.Пусть Х=[2,5] и Н=[2,4]. Будем ли Н независимо с:

1) W==[3,5]; 2)W=[4,5]; 3)W=[2,5] ?

2.2.Пусть Х=[–1,3] и Н=[0,2]. Найдите х [–1,3] :

1) [–1,х] независимо с Н;

2) [х,3] независимо с Н;

3) [х,1] независимо с Н .

2.3.Пусть Х=[0,1] [2,3] и Н= [2,3]. Будет ли Н независимо с:

1) [2,3]; 2) [2,3]; 3) [25;2,7] ?

2.4.В таблице содержатся результаты пяти студентов, которые они

получили при написании двух работ:

	а1	а2	а3	а4	а5

А) Будут ли независимы Н₁ и Н₂:

1) Н₁ = {а_i: R₁(a_i)>3}, H₂={ а_i: R₂(a_i) 3};

2) Н₁ = {а_i: R₁(a_i) 4}, H₂={ а_i: R₂(a_i)=4};

3) Н₁ = {а_i: R₁(a_i) 3}, H₂={ а_i: R₂(a_i)<5}.

Б) Постройте кластеры по «ближнему соседу» и по «дальнему соседу».

2.5.Постройте графики парных линейных регрессий с помощью

статистических данных из2.4.

2.6.Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью – 0,7; второй – 0,8.

Каждый стрелок стреляет два раза. Пусть f есть количество попаданий в

этих четырех выстрелах. Найдите вероятность каждого из значений f .

2.7.Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,75. Он стреляет несколько

раз. Пусть, как в 2.6,f является количеством попаданий.

1) Пусть было сделано 2 выстрела; составьте таблицу вероятности

каждого из исходов;

2) то же задание для 3 выстрелов;

3) то же задание для 4 выстрелов.

Домашнее задание №2: 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 1.5.

2.8.Зерно первого сорта имеет всхожесть 80%, второго сорта имеет всхо-

жесть 70%. Сажают 2 зерна первого сорта и 2 зерна второго сорта.

Затем считают количество взошедших зерен. Составьте таблицу с

вероятностями всех исходов.

2.9.У растения может быть цветок белогоцвета (50%), желтого цвета (30%)и

красного цвета (20%). Посадили 3 растения.

1) посчитали количество f белых цветов; укажите вероятность каждого

значения f.

2) Какова вероятность того, что будет не менее двух белых цветков.

2.10.В условиях задания 2.9найдите вероятность того, что

1) появятся цветки всех цветов;

2) появятся цветки только красного и желтого цвета.

Домашнее задание №3: 2.4.А); 2.8; 2.9; 1.6.

олная вероятность

Решение заданий этого пункта основаны на равенствах:

3.1.На полке 3 английских, 2 французских и 2 немецких книг. С полки берут

сначала первую книгу, а затем вторую.

1) Какова вероятность, что вторая книга французская?

2) Известно, что вторая книга английская; какова вероятность, что и

первая – английская?

3) Известно, что вторая книга немецкая; какова вероятность, что и

первая книга французская?

Домашнее задание №4: 3.1; 2.10; 1.7.

3.2.В мешке зерно первого сорта со всхожестью 80% и зерно второго

сорта со всхожестью 70% . Причем m(I) : m(II) = 2 : 3.

1) Берут одно зерно из мешка; какова вероятность, что оно взойдет?

2) Одно зерно из мешка взошло; какова вероятность, чтоэто зерно

второго сорта?

3) Берут 4 зерна из мешка; какова вероятность, что взойдет не менее

двух зерен?

3.3.В коробке 3 белых шара и 5 красных шаров. Берут два шара. Какова

вероятность, что шары разных цветов?

Домашнее задание №5 3.2; 3.3; 1.8; 2.10.

3.4.В урнах белые и черные шары. В пяти урнах выполнено соотношение:

m(б) : m(ч) = 3 : 4, а в десяти m(б) : m(ч) = 2 : 1. Выбирают одну урну и

достают шар. Он белый. Какова вероятность, что он вынет из урны с

соотношением 2:1.