Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Пусть (Ω, S, Р), ( где Ω – пространство элементарных событий, S – σ-алгебра, Р – вероятность) вероятностное пространство. Случайную величину Х, определённую на этом пространстве в математической статистике (МС) называют генеральной совокупностью. Исходными данными для любого статистического исследованиягенеральной совокупности являются результаты n-кратного измерения случайной величины Х. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что эти измерения (наблюдения) осуществляются в неизменных условиях и независимо друг от друга. Эти допущения позволяют интерпретировать n-кратное наблюдение случайной величины Х как однократное наблюдение случайного вектора Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru где все Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru являются независимыми случайными величинами с одной и той же функцией распределения вероятностейТочечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ruкоторая совпадает с функцией распределения вероятности генеральной совокупности Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru Тем самым мы приходим к понятию выборки, которая является одним из основных понятий в математической статистике.

Определение 1. Случайной выборкой объёма n при Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru называется случайный вектор

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru (1)

координаты которого Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru являются независимыми случайными величинами с одной и той же функцией распределения вероятностейТочечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ruкоторая совпадает с функцией распределения вероятности генеральной совокупности Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru Случайные величины Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru называют элементами случайной выборки, а саму выборку Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru называют случайной выборкой из генеральной совокупности Х.

Определение 2.Реализацией случайной выборки (или просто выборкой) называется неслучайный вектор Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru координатами которого являются реализации соответствующих элементов случайной выборки Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru

Выборку Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru можно рассматривать как совокупность n чисел

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru (2)

полученных в результате проведения n повторных независимых наблюдений над генеральной совокупностью Х.

Пусть задана выборка (1) и генеральная совокупность Х, имеющая функцию распределения вероятности, зависящую от параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru .

Пусть Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru (3)

- точечная оценка неизвестного параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru , построенная по выборке (1).

Так как Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru – независимые случайные величины, то точечная оценка (3) как функция случайных величин есть случайная величина. За приближенное значение параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru принимают реализацию Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru оценки (3), вычисленную по выборке Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru

Оценка (3) называется:

1) несмещенной (без систематических ошибок), если Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru .

2) состоятельной, если Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru сходится к истинному значению параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru по вероятности, то есть

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru .

3) несмещенная оценка называется эффективной, если у нее по сравнению с другими несмещенными оценками наименьшая дисперсия

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru .

Пусть Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru – какая-либо точечная оценка неизвестного параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru и пусть найдено число Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru такое, что выполняется равенство

Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru . (4)

Равенство (4) означает, что интервал со случайными границами Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru с вероятностью Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru накрывает неизвестное истинное значение параметра Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru .

При этом интервал Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru называется доверительным интервалом, а вероятность Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru – доверительной вероятностью (обычно выбирают Точечные и интервальные оценки параметров распределения - student2.ru ).

Наши рекомендации