Рисунки до задач Д. 1. 0 – Д. 1. 9

Швидкість є початковою швидкістю для руху тягаря на ділянці ВС. Далі необхідно розглянути рух матеріальної точки на цій ділянці: прикласти всі діючі сили, скласти диференціальне рівняння руху точки і двічі проінтегрувати його з урахуванням початкових умов:

; .

При інтегруванні диференціальних рівнянь руху у випадках залежності сили опору від можна скористатись перетворенням:

.

За правильне розв’язання задачі Д.1 з використанням даних таблиці 1. Умови задач Д.1.0 – Д.1.9 виставляється оцінка три бали; за правильне розв’язання задачі з використанням даних таблиці 2. Умови задач Д.1.0.А – Д.1.9.А виставляється оцінка чотири бали; за правильне розв’язання задачі з використанням даних таблиці 3. Умови задач Д.1.0.Б – Д.1.9.Б виставляється оцінка п’ять балів.

Приклад розв’язання задачі Д.1. Перший рівень складності.

Тягар D маси кг, одержавши в точці А початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубі АВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами (частина АВ) і (частина ВС) (рис. 21.1). На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги , задана постійна сила , величина якої Н, і сила опору середовища Н, напрямлена протилежно до руху тягаря. Довжина ділянки АВ ₁ = 5 м.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги і змінна сила , проекція якої H.

Рис. 21. 1.

Тягар вважати матеріальною точкою. Тертям ковзання на ділянках труби знехтувати.

Дано: кг; м/c; H; Н;

H; ₁= 5 м.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , де x = ВD.

Розв’язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ, вважаючи тягар матеріальною точкою. Покажемо на рис. 21.1 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: , , , . Проводимо вісь Ау за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння:

; (1)

; (2)

, (3)

де H c²/м².

Поділимо обидві частини рівняння (3) на масу m:

. (4)

Позначимо:

;

Тоді рівняння (4) приймає вигляд:

(5)

Розділимо змінні в рівнянні (5) і проінтегруємо:

;

оскільки ,то

(6)

Визначимо сталу інтегрування , враховуючи початкові умови: при м/c;

Тоді

.

Одержимо

;

;

; . (7)

В момент, коли тягар попадає в точку В, ; і

= 9,7 м/c.

Примітка 1. Якщо < 0, то з рівняння (5) знайдемо

;

Враховуючи початкові умови ,

одержимо

.

Тоді

Примітка 2. Якщо сила опору середовища виражена формулою і заданий час руху t₁ по ділянці АВ, то диференціальне рівняння руху має вигляд

.

Далі потрібно спроектувати сили на вісь Аy , розділити змінні, проінтегрувати і знайти значення швидкості .

Наприклад, з даними задачі одержимо

;

;

Позначимо:

; .

Тоді

Розділимо змінні й проінтегруємо:

;

При ; ; , тоді і

;

;

При ; , тобто

.

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю ( ).

Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: і (рис. 21.1). Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь:

; (8)

;

(9)

Поділимо обидві частини рівняння (9) на масу :

(10)

Розділимо змінні в рівнянні (10) і проінтегруємо:

;

(11)

Врахуємо, що , тоді

(12)

Розділимо змінні й знову проінтегруємо:

; (13)

(14)

Для визначення сталих інтегрування С₂ і С₃ використаємо початкові умови: ; ; . Тоді, підставляючи початкові умови в рівняння (11) і (14), одержимо

; ; (15)

; ;

(16)

Рівняння руху тягаря на ділянці ВС приймає вигляд

;

Остаточно , м.

Відповідь: , м.