Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей

КОНСПЕКТ ЗА 04.02.2017

Квадратні нерівності

Нехай потрібно розв’язати нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні нерівностей Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ). У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru потрібно розглянути два випадки:

1) Якщо Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , а старший коефіцієнт а додатний, то при всіх значеннях х виконується нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

2) Якщо Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , то для розв’язання нерівності Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru потрібно розкласти квадратний тричлен Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru на множники за формулою Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , потім поділити обидві частини нерівності Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru на число а, зберігши знак нерівності, якщо Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , і змінивши знак нерівності на додатний, якщо Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , і перейти до нерівності Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Приклад 7.Розв’язати нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Розв’язання

Розв’язавши квадратне рівняння Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , одержимо корені Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru . Тоді квадратний тричлен розкладеться на такі множники: Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Звідси, Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Відповідь: Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків).В його основі лежить така властивість двочлена Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru : точка Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ділить числову вісь на дві частини – праворуч від точки ? двочлен Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , а ліворуч від точки ? Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Приклад 8.Розв’язати нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Розв’язання

Многочлен Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru перетворюється в нуль у точках Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Ці точки розбивають координатну пряму на проміжки ( Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru 1),

(1; 3), (3; Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ), усередині кожного з яких функція Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru зберігає знак.

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Оскільки в проміжку (3; Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ) співмножники Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru додатні, то їхній добуток додатний, тобто Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru . Відзначимо проміжок (3; Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ) знаком “+”. Далі знаки в проміжках чергуються. Проводимо через визначені точки “криву знаків”. На тих проміжках, де ставиться знак “+”, виконується нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ; на тих проміжках, де знак “– “, виконується нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru . Отже, розв’язком початкової нерівності є об’єднанням проміжків: ( Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru 1), (3; Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ).

Відповідь: Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ( Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru 1) Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru (3; Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru ).

Приклад 9. Розв’язати нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Розв’язання

Якщо прирівняти до нуля многочлен Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , то дискримінант виявиться від’ємним. А це означає, що квадратний тричлен додатний при всіх дійсних значеннях змінної х, тому при Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru нерівність розв’язків не має.

Відповідь: нерівність розв’язків не має.

Приклад 10. Розв’язати нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Розв’язання

Многочлен Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru є невід’ємним при будь-якому дійсному значенні змінної х, томунерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru справджується при всіх дійсних значеннях змінної х, крім 4.

Відповідь: Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Приклад 11. Розв’язати нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Розв’язання

Многочлен Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru перетворюється в нуль в точках Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru . Ці точки розбивають координатну пряму на чотири проміжки. Оскільки даний многочлен містить множник у парному степені– це Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , то при переході «змійки» через “0” знак не буде змінюватись. Зазначимо, що точка Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru входить у множину розв’язків, тому що при Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru дістаємо Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Відповідь: Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Приклад 12. Розв’язати нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Розв’язання

Наносимо точки Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru 6; 2; 0; –1; –5 на числову вісь. Відзначимо точки Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru і Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , при переході через них «змійки» знаки не будуть змінюватись. За допомогою «кривої знаків» дістаємо розв’язки, які позначені на рисунку зі знаком «+».

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Відповідь: Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей

Приклад 13.Розв’язати нерівність Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Розв’язання

Зробимо заміну Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , тоді Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru . Розкладемо на множники квадратний тричлен, який стоїть у лівій частині нерівності: Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru або Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Оскільки Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru , то дістаємо Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru

Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Відповідь: Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru Метод заміни змінної при розв’язанні раціональних нерівностей - student2.ru .

Наши рекомендации