Дейчтвие 3-е. Проблема учета постоянных издержек 5 страница
Рис. 54
Таким образом, мы получим ковариации для всех возможных пар компаний. Таблица ковариаций должна получиться симметричной относительно диагонали B16:P30. Если бы мы знали не только ковариации доходностей, но и
доли капитала
xi , вложенные в каждую акцию, то могли бы рассчитать
дисперсию портфеля акций в целом по формуле
15 15
Dпортфеля =ååxi xj Ковар(Ri , R j ), где
Ковар(Ri , R j )
- рассчитанные нами
i =1
j =1
ковариации доходности для всех пар компаний.
Ранее мы уже выяснили, что доли капитала, потраченные на покупку каждого из пакетов акций, должны быть переменными задачи. Выделим строку B32:P32 под такие переменные. Так как сумма всех переменных x1, x2, … x15 – должна равняться единице или 100% капитала (ячейка A33), то при постановке задачи потребуем, чтобы A33=1.
Для расчета дисперсии портфеля удобно переписать формулу для Dпортфеля
15 ì15 ü
в более удобном для расчетов виде
Dпортфеля = åxi íåx j Ковар(Ri , R j )ý. Часть
i =1
î j =1 þ
формулы в фигурных скобках – это сумма произведений долей на
соответствующие ковариации, значит ее можно записать с помощью функции
=СУММПРОИЗВ( ). Тогда для Apple, например, можно вычислить значение
ì15 ü
выражения
x1 íåx j Ковар(R1 , R j )ý
с помощью формулы
î j =1 þ
=B32*СУММПРОИЗВ($B$32:$P$32;B16:P16). Запишем эту формулу в ячейку B35. К сожалению эту формулу так же неудобно протягивать. Поэтому после того, как вы все же протянете ее вправо до конца, исправьте в ней то, что необходимо. Для ориентира в ячейке J35 приведена правильная формула.
Суммирование всех ячеек строки B35:P35 соответствует первому символу суммы в формуле для Dпортфеля. Таким образом в ячейке A37 (Рис. 54) мы вычисляем ту самую дисперсию портфеля, которая нам необходима для решения задачи. Это и есть целевая ячейка.
Так как для сравнения удобнее использовать стандартное отклонение,
вычислим в ячейке A38 корень из дисперсии (=КОРЕНЬ(A37)).
Мы уже обсуждали здесь, как вычислить ожидаемый доход портфеля. Для этого запишем в ячейке I37 формулу =СУММПРОИЗВ(B32:P32;B14:P14). Вычисляемую тут доходность портфеля при минимизации следует удерживать на уровне не ниже заданного. Зададим минимально допустимый доход в ячейке I38.
Теперь можно ставить задачу надстройке Поиск решения. Пройдемся еще раз по необходимым установкам. Целевая функция в ячейке A37, цель – поиск минимума функции. Изменяемые ячейки B32:P32. Вид модуля для решения задачи - Standard LP/Quadratic (для продвинутого Solver’а) . Опции – подразумеваются неотрицательные значения переменных (Assume Non-Negative) и не следует отмечать, что задача линейная, если используется встроенный
«Поиск решения» . Ограничений всего два – сумма долей капитала, вложенных во все пакеты, равна 100% (A33=1) и средний ожидаемый доход должен быть не менее заданного I37>=I38.
|
Рис. 55
Оказывается, что деньги будут вложены в 4 пакета акций. При этом ожидается доход 18%, а риск портфеля составит 5.64%. Учитывая, что речь идет о нормальном распределении для такой случайной величины, как доход, можно сказать, что с вероятностью 95% реальная величина дохода составит от ~7% (18%-1.96*5.64%) до ~29% (18%+1.96*5.64%).
Что изменится, если мы попытаемся составить более доходный портфель акций? Зададим минимальный доход на уровне 25% и снова найдем минимум дисперсии.
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | |
| Инвестиция | 0.0% | 19.2% | 0.0% | 25.2% | 0.0% | 0.0% | 0.0% | 0.0% | 8.6% | 0.0% | 0.0% | 7.4% | 0.0% | 25.6% | 14.0% | |
| 100.00% | AP | BO | BP | DB | DO | DP | EX | FI | FO | GE | GM | IN | LM | MS | PEP | |
| 0.0283 | 0.036 | 0.009 | 0.03 | 0.124 | 0.023 | |||||||||||
| Вариация | 15.922 | 29.31 | -7.79 | 16.88 | 76.39 | 3.547 | ||||||||||
| Целевая функция | Мин. допустимый средний доход | |||||||||||||||
| 134.26 | 25% | |||||||||||||||
| 11.59 | 25% |
Рис. 56
В этом случае получается, что наименьшее стандартное отклонение портфеля составляет 11.6%. Поэтому с вероятностью 95% реальная величина дохода составит от 2.3% (25%-1.96*11.6%) до 47.7% (25%+1.96*11.6%). С точки зрения минимальной прибыли разницы практически нет, но средняя прибыль существенно выше. Так что более правильным будет выбрать второй портфель. В нем, как вы видите, содержится 6 пакетов акций.
Если у вас есть настроение, попробуйте определить при каком уровне дохода нижняя граница 95%-ного доверительного интервала станет отрицательной.
Разумеется, сами по себе полученные числа мало что значат. Все дело в том, на каких условиях вы готовы вложить капитал. Если, например, вы хотите, чтобы нижняя граница не опускалась ниже 8%, то из предложенных акций вообще невозможно составить нужный пакет. Придется расширить область поиска. Убедиться в этом можно заменив условие на минимальный доход условием на нижнюю границу доходности (например I37-1.96*D38/100>=8%).
Если вообще снять условие на доход и оставить только требование A33=1, то мы найдем минимально возможный риск для портфеля, состоящего из предложенных акций. Он равен 3.78%, как несложно убедиться.
|
Рис. 57
Как мы видим, средний ожидаемый доход в этом случае равен 18%, как при первом расчете портфеля! Если у вас возникло впечатление, что, может быть, никакой минимизации и не требовалось, попробуйте оценить доверительный интервал для полученного значения риска. Вы убедитесь, что нижняя граница интервала достигла значения -6.7%, при верхней границе + 42.4%. Таким образом, этот портфель акций является довольно рискованным вложением! Во всяком случае, если вам вдруг понадобится крупная сумма наличных и вы вынуждены будете продавать акции в неблагоприятной ситуации, то ваши инвестиции принесут немалый убыток.
В заключение сделаем одно замечание, относительно приведенных данных по доходностям. Хотя приведенные величины рассчитаны на основе данных о реальных курсах акций (NYSE), но в них недостает сведений о выплаченных в эти годы дивидендах. Дивиденды могут не выплачиваться вообще, либо выплачиваться раз в несколько лет, либо несколько раз в год – это зависит от политики компаний. Поэтому реальная доходность акций может быть выше.