Средняя арифметическая и ее свойства.
Тема 5: Средние показатели.
Сущность и значение средних показателей
Средняя величина (the mean) представляет собой обобщенную количественную характеристику признака статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Показатель в форме средней величины отражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Сущность средней величины заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения индивидуальных значений признака единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и, учитываются изменения, вызванные действием основных.
На практике определить среднюю во многих случаях можно, используя ее логическую формулу:
В зависимости от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение.
Различают следующие виды средней, каждая из которых может быть простой и взвешенной:
· Средняя арифметическая;
· Средняя гармоническая;
· Средняя геометрическая;
· Средняя квадратическая, кубическая и т.д.
· Структурные средние: мода и медиана.
Средняя арифметическая и ее свойства.
Средняя арифметическая простая (the simple arithmetic mean). Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.
Средняя арифметическая взвешенная (the weighted arithmetic mean). При расчете средних величин отдельные значения признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В данном случае расчет проводится по
сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.
Средняя арифметическая величина имеет следующие свойства, использование которых упрощает ее расчет.
1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.
2. Сумма отклонений индивидуального значения признака от средней арифметической равна нулю:
3. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на туже величину.
4. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя соответственно уменьшится или увеличится в А раз:
5. Если все частоты уменьшить или увеличить в А раз, то средняя останется неизменной:
6. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:
