Методика выполнения лабораторной работы

Цель работы

Ознакомление с погрешностями возникающими в процессах изготовления деталей. Освоение методики оценки точности технологических операций с помощью математической статистики. Определение мероприятий, направленных на повышение точности технологических операций.

Общие положения

В технологии машиностроения принято различать следующие виды погрешностей обработки, различающихся по характеру их воздействия на технологическую систему:

а) систематические постоянные погрешности вызываемые, например, неточностью настройки режущего инструмента;

б) систематические погрешности, закономерно изменяющиеся по течению технологического процесса, вызываемые, например, размерным износом режущего инструмента;

в) случайные погрешности, которые, появившись при обработке одной заготовки, необязательно появляются при обработке других заготовок, а их значения для различных заготовок изменяются в определённых пределах от максимального до минимального. Предсказать момент появления и величину этих погрешностей возможно только с определенной вероятностью.

Систематические погрешности обработки изучаются с помощью теоретических или экспериментальных исследований закономерностей, которым они подчиняются. Случайные погрешности изучаются с применением теории вероятностей и математической статистики.

Точность и стабильность технологических процессов оценивается на стадии технологической подготовки и в установившемся производстве Оценка производится для выявления факторов, оказывающих решающее влияние на величину погрешностей обработки, для определения фактических точностных характеристик технологических операций. Результаты оценки используются при разработке мероприятий обеспечивающих точность изготовления продукции.

Оценка точности должна производится по параметрам детали, оказывающим решающее виляние на функциональные показатели изделия. Обычно оценка состоит из следующих этапов: измерение контролируемых параметров деталей; заполнение протоколов измерений; статистическая обработка результатов измерений; анализ результатов статистической обработки.

Для исследований точности механической обработки используются следующие основные методы: расчетно-аналитический; вероятностно - статистический и расчетно-статистический.

Расчетно-аналитическая модель предполагает полную детерминированность процесса, для которого точно известны как начальные условия, так и влияние сопутствующих факторов. Путем решения систем уравнений, описывающих закономерности образования погрешностей технологического процесса, однозначно определяется искомая точность. Однако реальные процессы не всегда правильно отображаются детерминированными моделями и правомерность их применения в таких случаях, зависит от детальности изучения исследуемого процесса. Математическое описание процессов в этом случае заключается в последовательном определении начальных (исходных) погрешностей заготовки; далее устанавливается в аналитическом виде их влияние на окончательную точность.

Вероятностно-статистическая модель применяется при изготовлении достаточно больших партий деталей. Она позволяет без раскрытия физической сущности явлений решать ряд задач по оценке и исследованию точности.

Расчетно-статистические модели сочетают положительные стороны обоих, вышерассмотренных методов. Они пригодны для различных условий производства и являются весьма гибкими, так как позволяют рассчитывать первичные и суммарные погрешности, оценивая их отдельные составляющие статистическим или расчетным путем. При недостатке данных модель носит в большей мере вероятностно-статистический характер. В то же время, применяя детерминированный подход, можно определить поле рассеивания случайных погрешностей и отдельные погрешности расчетно-аналитическим методом.

К статистическим методам относятся исследования с использованием кривых распределения погрешностей и графоаналитический метод (точечных диаграмм).

Центральная теорема теории вероятностей Ляпунова дает обоснование тому факту, что при устойчивом процессе обработки деталей на настроенных станках и при отсутствии изменяющихся во времени систематических погрешностей действительные размеры деталей подчиняются закону нормального распределения, так как результирующая погрешность обработки представляет собой сумму большого числа независимых погрешностей.

Этот метод оценки точности применяется в условиях производства большого количества деталей. Для его применения необходимо произвести выборку деталей на исследуемой операции. Количество деталей в выборке nвлияет на точность оценки и определяется по специальной методике. По результатам измерения деталей выборки строится опытная кривая распределения, к которой по критерию согласия подбирается теоретический закон распределения.

Опытные кривые распределения строят следующим образом. Определяется диапазон изменения контролируемого параметра – поле рассеяния.

(1)

где Xmax- максимальное значение контролируемого параметра;

Xmin- минимальное значение контролируемого параметра.

На оси абсцисс откладывают величину поля рассеяния и разбивают его на несколько интервалов. Число интервалов k = 8-10. На оси ординат откладывают количество деталей, попавших в эти интервалы, или частости, m_i. Соединяя образовавшиеся точки, получают ломаную линию, которая называется опытной кривой распределения или полигоном распределения деталей по размерам ( рис.1).

Рисунок 1. Опытная кривая распределения или полигон распределения

Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины, подчиняющейся закону нормального распределения, имеет следующий вид:

(2)

где x– переменная, случайная величина;

- стандартное отклонение случайной величины;

- среднее значение (центр группирования) величины x;

e- основание натуральных логарифмов.

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде симметричной кривой – кривой Гаусса (рис. 2).

Стандартное отклонение случайной величины σ является мерой рассеяния случайной величины и определяется

(3)

где x_i– координата соответствующей середины интервала;

Рис. 2 Дифференциальная функция нормального распределения.

Симметричность кривой относительно ординаты точки свидетельствует о том, что равновероятны одинаковые положительные и отрицательные отклонения от центра группирования. С изменением σизменяется форма кривой.

При его уменьшении кривая становится более вытянутой и узкой, с увеличением σ максимальная ордината кривой уменьшается, а ширина увеличивается.

Изменение центра группирования приводит к смещению кривой (рис.3).

Рис. 3 Влияние параметров кривой Гаусса на ее форму и положение

Интегральный закон нормального распределения выражается в o6щем виде так

(4)

Величина F(x) определяет вероятность попадания случайной величины в интервал x₁<x >x₂ . Если случайная величина x следует нормальному закону, то достоверно, что она может принимать любые численные значения в пределах ± ∞, то есть вероятность попадания случайной величины в интервал (-∞ <x<+ ∞) равна единице

Для облегчения вычислений формулу интегрального закона нормального распределения с помощью нормирующего множителя t =х/σ можно привести к виду

(5)

Интеграл

называют нормированной функцией Лапласа и его значения для различных t приводят в таблицах значений функции Лапласа. При использовании этих таблиц решение задачи по определению вероятности того, что случайная величина x находится в пределах x₁ – x₂, сводится к нахождению разности между двумя значениями функции Лапласа:

(6)

Для практических применений зона рассеяния случайной величины х, подчиняющейся закону нормального распределения, ограничивается пределами ±3σ и составляет 6σ. При этом t₁ = -3 и t₂ = 3.

Следовательно, P[-3σ < x < +3σ)] = Ф(3) - Ф(-3) =2Ф(3). По таблицам функции Лапласа, 2Ф(3) = 0,9973. Это означает, что вероятность нахождения случайной величины вне указанного интервала q = 1- 0,9973 = 0,0027, то есть очень мала.

Распределение случайной величины по нормальному закону является следствием действия многих факторов, носящих случайный характер, имеющих примерно одинаковую степень активности и независящих или слабо зависящих один от другого. Такой комплекс условий не всегда оказывается полным. Его нарушение приводит к отклонению закона распределения от нормального.

Одной из форм таких отклонений может быть несимметричность кривой рассеяния (рис.4), характеризуемая коэффициентом асимметрии α, учитывающим смещение центра группирования относительно середины поля рассеяния σ_x :

(7)

Рис. 4 - Несимметричное распределение случайной величины

Практическое значение в технологии машиностроения имеют также закон равной вероятности и закон Симпсона. Распределение по закону равной вероятности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеяние, действует доминирующий систематический фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования .

Графически такое распределение случайной величины отображается прямоугольником (рис.5).

Рис. 5 - Распределение случайной величины по закону равной вероятности

Дифференциальный закон распределения или плотность вероятности

(8)

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны

(9)

К распределению по закону Симпсона приводит сложение двух случайных величин, подчиненных закону равной вероятности при одинаковых параметрах рассеяния. Кривая рассеяния имеет вид равностороннего треугольника (рис. 6), из-за чего закон Симпсона часто называют законом треугольника.

Рис. 6 Распределение случайной величины по закону Симпсона

При выборе в качестве начала отсчета случайной величины ее центр группирования характеристики распределения имеют следующий вид:

(10)

(11)

Наличие характеристик распределения позволяет произвести оценку точности технологической операции. Расположение кривой распределения внутри поля допуска на изготовление детали свидетельствует о приемлемой точности (рис.7).

Необходимое условие обеспечения требуемой точности

(12)

Рис. 7. Взаимное расположение кривой распределения и поля допуска

при достаточной точности технологической операции

Данное условие не является достаточным, поскольку центр группирования может быть смещен под действием постоянных систематических факторов (рис.8). При этом, несмотря на то, что ширина кривой меньше допуска, существует вероятность получения деталей за пределами допуска.

Достаточное условие обеспечения требуемой точности технологической операции определяется соотношением фактического смещения S и максимально возможным смещением центра группирования относительно середины поля допуска (ЕС), s_max, при которой кривая распределения не выходит за пределы допуска. Граничное положение кривой показано на рис.8 штриховой линией.

Рис. 8 Смещение кривой распределения под действием постоянных систематических факторов

(13)

Таким образом, для обеспечения точности технологической операции необходимо и достаточно чтобы выполнялись два условия (12) и (13). Выполнение условия (12) свидетельствует о приемлемом уровне действия случайных факторов, а выполнение условия (13) – о допустимом уровне действия постоянных систематических факторов.

Использование кривых распределения позволяет оценить точность технологической операции не только на качественном уровне, но и дает возможность количественной оценки. Площадь дифференциальной кривой нормального распределения, не вошедшая в поле допуска, равна вероятности получения размера в диапазоне x_min – [x_max], то есть определяет возможный процент брака (рис.9).

Рис. 9 Определение вероятности получения брака.

Вероятность получения брака на основании формулы (6)

где

- определяет площадь под левой частью кривой, вошедшей в поле допуска;

- определяет площадь под всей левой частью кривой и равна 0,5.

Окончательно имеем выражение для определения возможного процента брака

Методика выполнения лабораторной работы

Для выполнения необходимо иметь:

1) выборку деталей, полученных в одной технологической операции (50-80 штук);

2) рычажный микрометр с ценой деления 0,01 мм и набор концевых мер.

Выполнение лабораторной работы производится в следующей последовательности:

1) произвести настройку рычажного микрометра, пользуясь набором концевых мер, соответствующим номинальному размеру деталей (номинальный размер с предельными отклонениями указывается преподавателем);

2) измерить все детали, записать результаты измерения (для уменьшения погрешности измерение следует производить в одном и том же сечении детали);

3) определить поле рассеяния размеров деталей по формуле (1);

4) разбить поле рассеяния на равные интервалы и определить: границы интервалов, середины каждого из них - x_i(число интервалов k принять равным 10);

5) определить частости m_i , подсчитав число деталей, попавших в каждый из интервалов;

6) рассчитать центр группирования выборки по следующей формуле:

7) пользуясь формулой (3), определить стандартное отклонение σ;

8) в едином масштабе построить практическую, теоретическую кривую распределения, поле допуска. Кривую Гаусса следует строить по пяти характерным точкам, абсциссы которых приведены на рис.10. Точки 1,5 соответствуют крайним точкам кривой Гаусса y(1)=y(5) ≈ 0 , точки 2, 4 – точкам перегиба кривой, точка 3 – максимуму кривой

где Δx – ширина интервала

Рис. 10 - Построение кривой Гаусса по пяти точкам

9) оценить точность технологической операции по относительному расположению кривой распределения и поля допуска, пользуясь условиями (12) и (13);

10) если точность технологической операции не обеспечивается, определить вероятность получения брака, пользуясь формулой (6);

11) сделать выводы по работе, в выводах следует оценить точность операции; привести вероятность появления брака; указать факторы, действие которых может привести к появлению брака; предложить мероприятия, направленные на уменьшение брака.

Вопросы для самопроверки

1. Какие существуют виды погрешностей по характеру их действия?

2. Как определяется поле рассеяния случайной величины?

3. В каких случаях распределение случайной величины подчиняется нормальному закону?

4. Как влияют параметры нормального закона распределения на форму и положение кривой Гаусса?

5. Каким образом оценить точность по относительному расположению поля допуска и кривой нормального распределения?

6. Как определяется возможный процент брака с помощью нормированной функции Лапласа?

7. Какой вид имеют законы распределения Симпсона и закона равной вероятности?

8. Какова общая последовательность оценки точности технологической операции статистическим методом?

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица значений нормированной функции Лапласа Ф(x)

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,00000	0,50	0,19146	1,00	0,34134	1,50	0,43319	2,00	0,47725	3,00	0,49865
0,01	0,00399	0,51	0,19497	1,01	0,34375	1,51	0,43448	2,02	0,47831	3,05	0,49886
0,02	0,00798	0,52	0,19847	1,02	0,34614	1,52	0,43574	2,04	0,47932	3,10	0,49903
0,03	0,01197	0,53	0,20194	1,03	0,34849	1,53	0,43699	2,06	0,48030	3,15	0,49918
0,04	0,01595	0,54	0,20540	1,04	0,35083	1,54	0,43822	2,08	0,48124	3,20	0,49931
0,05	0,01994	0,55	0,20884	1,05	0,35314	1,55	0,43943	2,10	0,48214	3,25	0,49942
0,06	0,02392	0,56	0,21226	1,06	0,35543	1,56	0,44062	2,12	0,48300	3,30	0,49952
0,07	0,02790	0,57	0,21566	1,07	0,35769	1,57	0,44179	2,14	0,48382	3,35	0,49960
0,08	0,03188	0,58	0,21904	1,08	0,35993	1,58	0,44295	2,16	0,48461	3,40	0,49966
0,09	0,03586	0,59	0,22240	1,09	0,36214	1,59	0,44408	2,18	0,48537	3,45	0,49972
0,10	0,03983	0,60	0,22575	1,10	0,36433	1,60	0,44520	2,20	0,48610	3,50	0,49977
0,11	0,04380	0,61	0,22907	1,11	0,36650	1,61	0,44630	2,22	0,48679	3,55	0,49981
0,12	0,04776	0,62	0,23237	1,12	0,36864	1,62	0,44738	2,24	0,48745	3,60	0,49984
0,13	0,05172	0,63	0,23565	1,13	0,37076	1,63	0,44845	2,26	0,48809	3,65	0,49987
0,14	0,05567	0,64	0,23891	1,14	0,37286	1,64	0,44950	2,28	0,48870	3,70	0,49989
0,15	0,05962	0,65	0,24215	1,15	0,37493	1,65	0,45053	2,30	0,48928	3,75	0,49991
0,16	0,06356	0,66	0,24537	1,16	0,37698	1,66	0,45154	2,32	0,48983	3,80	0,49993
0,17	0,06749	0,67	0,24857	1,17	0,37900	1,67	0,45254	2,34	0,49036	3,85	0,49994
0,18	0,07142	0,68	0,25175	1,18	0,38100	1,68	0,45352	2,36	0,49086	3,90	0,49995
0,19	0,07535	0,69	0,25490	1,19	0,38298	1,69	0,45449	2,38	0,49134	3,95	0,49996
0,20	0,07926	0,70	0,25804	1,20	0,38493	1,70	0,45543	2,40	0,49180	4,00	0,49997
0,21	0,08317	0,71	0,26115	1,21	0,38686	1,71	0,45637	2,42	0,49224	4,05	0,49997
0,22	0,08706	0,72	0,26424	1,22	0,38877	1,72	0,45728	2,44	0,49266	4,10	0,49998
0,23	0,09095	0,73	0,26730	1,23	0,39065	1,73	0,45818	2,46	0,49305	4,15	0,49998
0,24	0,09483	0,74	0,27035	1,24	0,39251	1,74	0,45907	2,48	0,49343	4,20	0,49999
0,25	0,09871	0,75	0,27337	1,25	0,39435	1,75	0,45994	2,50	0,49379	4,25	0,49999
0,26	0,10257	0,76	0,27637	1,26	0,39617	1,76	0,46080	2,52	0,49413	4,30	0,49999
0,27	0,10642	0,77	0,27935	1,27	0,39796	1,77	0,46164	2,54	0,49446	4,35	0,49999
0,28	0,11026	0,78	0,28230	1,28	0,39973	1,78	0,46246	2,56	0,49477	4,40	0,49999
0,29	0,11409	0,79	0,28524	1,29	0,40147	1,79	0,46327	2,58	0,49506	4,45	0,50000
0,30	0,11791	0,80	0,28814	1,30	0,40320	1,80	0,46407	2,60	0,49534	4,50	0,50000
0,31	0,12172	0,81	0,29103	1,31	0,40490	1,81	0,46485	2,62	0,49560	4,55	0,50000
0,32	0,12552	0,82	0,29389	1,32	0,40658	1,82	0,46562	2,64	0,49585	4,60	0,50000
0,33	0,12930	0,83	0,29673	1,33	0,40824	1,83	0,46638	2,66	0,49609	4,65	0,50000
0,34	0,13307	0,84	0,29955	1,34	0,40988	1,84	0,46712	2,68	0,49632	4,70	0,50000
0,35	0,13683	0,85	0,30234	1,35	0,41149	1,85	0,46784	2,70	0,49653	4,75	0,50000
0,36	0,14058	0,86	0,30511	1,36	0,41309	1,86	0,46856	2,72	0,49674	4,80	0,50000
0,37	0,14431	0,87	0,30785	1,37	0,41466	1,87	0,46926	2,74	0,49693	4,85	0,50000
0,38	0,14803	0,88	0,31057	1,38	0,41621	1,88	0,46995	2,76	0,49711	4,90	0,50000
0,39	0,15173	0,89	0,31327	1,39	0,41774	1,89	0,47062	2,78	0,49728	4,95	0,50000
0,40	0,15542	0,90	0,31594	1,40	0,41924	1,90	0,47128	2,80	0,49744	5,00	0,50000
0,41	0,15910	0,91	0,31859	1,41	0,42073	1,91	0,47193	2,82	0,49760
0,42	0,16276	0,92	0,32121	1,42	0,42220	1,92	0,47257	2,84	0,49774
0,43	0,16640	0,93	0,32381	1,43	0,42364	1,93	0,47320	2,86	0,49788
0,44	0,17003	0,94	0,32639	1,44	0,42507	1,94	0,47381	2,88	0,49801
0,45	0,17364	0,95	0,32894	1,45	0,42647	1,95	0,47441	2,90	0,49813
0,46	0,17724	0,96	0,33147	1,46	0,42785	1,96	0,47500	2,92	0,49825
0,47	0,18082	0,97	0,33398	1,47	0,42922	1,97	0,47558	2,94	0,49836
0,48	0,18439	0,98	0,33646	1,48	0,43056	1,98	0,47615	2,96	0,49846
0,49	0,18793	0,99	0,33891	1,49	0,43189	1,99	0,47670	2,98	0,49856

Для отрицательных значений Ф(-X) = - Ф(X) . Для X>5 Ф(X) = 0,5.