Условная вероятности. Теорема о вероятности произведения двух событий

Пример:

Простейшим примером связи между двумя событиями может служить причинная связь – когда наступление одного события ведет к обязательному осуществлению другого или же, наоборот, когда наступление одного события исключает шансы другого. Конкретный пример: событие А – выбранное наугад изделие данного предприятия не содержит брака, событие В – изделие этого предприятия является первосортным. Ясно, что наступление события В влечет за собой обязательное наступление события А.

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Пусть А и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту σ, причем Р(В)≠0. Число называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А. Вероятность события А при условии В обозначается Р(А/В). тогда Р(А/В) = .

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного их них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло: P(AB)=Р(А/В)*P(B) .

№14 Независимость событий. Теорема о вероятности произведения двух независимых событий.

Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не меняется от того, произошло событие В или нет, т.е. Р(А/В)=Р(А).

Таким образом, А не зависит от события В, если наступление В не оказывает влияния на вероятность А.

При независимости двух событий теорема умножения приобретает такой вид.

Теорема (теорема умножения вероятностей для независимых событий)

Если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Теорема’.

Если выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В) и Р(В)≠0, то событие А не зависит от события В.

Так как для произведения событий справедливо равенство АВ=ВА, то теорема умножения вероятностей для независимых событий будет справедлива и в том, случае, если события А и В поменять местами. Иначе говоря, отношение независимости является симметричным, т.е. если А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие.

Если события А и В независимы, то верно также равенство Р(ВА)=Р(В)Р(А).

Если события А и В независимы, то независимы также и события Ā и В.

Докажем это. Заметим, что В=АВ+ ĀВ. Так как А и В независимы, то для вероятностей также справедливо равенство Р(В)=Р(АВ)+Р(ĀВ). Откуда Р(ĀВ)=Р(В)-Р(АВ).По теореме умножения вероятностей для независимых событий Р(АВ)=Р(А)Р(В). Тогда предыдущее равенство принимает вид Р(ĀВ)=Р(В)-Р(А)Р(В)=Р(В)(1-Р(А))=Р(В)Р(Ā). Это означает независимость событий Ā и В. Дважды применяя такое доказательство, мы получим, что если независимы события А и В, то независимы также и события Ā и .

События А₁, А₂, А₃, …, А_n называются независимыми, если вероятность любого A_i из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий А_j (j≠i) из той же совокупности.

Теорема

Если события А₁, А₂, А₃, …, А_n независимы, то для любого подмножества {i₁, i₂, …, i_k} множества {1, 2, …, n} справедливо равенство P(A_i1A_i2…A_in)=P(A_i1)P(A_i2)…P(A_in).

Аксиома 2^\\ . Если события А и В зависимы, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

№15 формула полной вероятности.

Предположим, что событие А может наступать только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий H₁, H₂, …,H_n. Эти события по отношению к А будем называть гипотезами.

Теорема (формула полной вероятности)

Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез: Р(А)=Р(А/H₁)Р(H₁)+Р(А/H₂)Р(H₂)+…+Р(А/H_n)*Р(H_n).

Док-во. По условию событие А может произойти лишь с одной из гипотез H₁, H₂, …,H_n. Значит, справедливо равенство А=АH₁+AH₂+…+AH_n. Так как H₁, H₂, …,H_n попарно несовместны, то несовместны также события AH₁, AH₂, …, AH_n. Применяя теорему сложения (3.1.) для несовместных событий (а точнее следствие из нее), находим вероятность Р(А)=Р(AH₁)+P(AH₂)+…+P(AH_n). каждое слагаемое в сумме можно заменить так: P(AH_i)=P(A/H_i)P(H_i), то получаем формулу полной вероятности Р(А)=Р(А/H₁)Р(H₁)+Р(А/H₂)Р(H₂)+…+Р(А/H_n)Р(H_n).

№16 Формула Байеса.

В тесной связи с формулой полной вероятности находится так называемая формула Байеса.

Пусть есть событие А, которое может наступить лишь вместе с одной из попарно несовместных гипотез H₁, H₂, …,H_n. Пусть опыт произведен и событие А наступило, но нельзя сказать какое из событий H₁, H₂, …,H_n имело место при этом в проделанном опыте. Задачу можно поставить таким образом: найти вероятности событий P(H₁/A), P(H₂/A), …, P(H_n/A), т.е. вероятности гипотез в предположении, что событие А уже наступило. Формула Байеса решает эту задачу.

Теорема (формула Байеса)

Справедливо равенство:

Док-во: Мы для каждой гипотезы по теореме произведения вероятностей имеем равенство Р(AH_i)=P(A/H_i)P(H_i), аналогично P(H_iA)=P(H_i/A)P(A). Так как AH_i=H_iA, то вероятности можно приравнять, т.е. P(H_i/A)P(A)= P(A/H_i)P(H_i), откуда следует P(H_i/A)= . Заменив в знаменателе Р(А) на полную вероятность по формуле теоремы 3.7., получим требуемое равенство

№17 схема Бернулли

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому опыту σ. Проводя опыт несколько раз, будем фиксировать каждый раз, наступило в нем событие А или нет. Это равнозначно принятию следующей точки зрения: пространство элементарных событий, связанное с опытом σ, состоит только из двух элементов А и Ā. Обозначим вероятности этих элементов через p и q (p+q=1).

Допустим теперь, что опыт σ в неизменных условиях повторяется определенное число раз, например четыре раза. Условимся четырехкратное осуществление опыта σ рассматривать как некий новый опыт 𝝀. Если по-прежнему фиксировать только наступление или ненаступление события А, то следует принять, что пространство элементарных событий, отвечающее опыту 𝝀, состоит из всевозможных строк длиной 4: (А, А, Ā, Ā), (Ā, А, Ā, А), (А, А, А, Ā), (Ā, Ā, Ā, А), (Ā, Ā, Ā, А), (А, Ā, А, Ā) и т.д.

Каждая из таких строк означает ту или иную последовательность появления или непоявления события А в четырех опытах σ; например, строка (Ā, А, Ā, А) означает, что в первом опыте А не наступило, во втором А наступило, в третьем опять не наступило, в четвертом событие А наступило. Возникает вопрос: какие вероятности следует приписать каждой из строк?

В этом случае, элементарному событию (Ā, А, Ā, А), например, естественно приписать вероятность qpqp.

Мы приходим, таким образом, к следующей вероятностной схеме для опыта 𝝀 (состоящего из четырех опытов σ).

Пространство 𝜴 элементарных событий есть множество из 2⁴ строк. Каждой строке ставится в соответствие в качестве вероятности число p^kq^l, где показатели степеней k и l определяют, сколько раз события А и Ā входят в выражение данной строки. Вероятностные схемы такого рода называются схемами Бернулли.

В общем случае строки могут быть любой длины n, и поскольку события А и Ā несовместны, то задание числа q необязательно, так как q=1-p. Тогда задание схемы Бернулли определяется двумя числами n и p. Пространство 𝜴 состоит из строк длины n, составленных из символов А и Ā (число таких строк равно 2ⁿ). Каждой строке ставится в соответствие вероятность p^k(1-p)^l, где k и l число вхождения символов А и Ā в данную строку.

№18 теорема Бернулли и формула Бернулли

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может наступить событие A. Требуется для заданного числа k найти вероятность следующего события: в n опытах событие A появится ровно k раз. Для наглядности будем считать, что наступление события A это успех, а ненаступление это неудача. Задача ставится таким образом: найти вероятность того, что из n опытов ровно k окажутся успешными. Эту задачу мы обозначим, как новое событие В, а вероятность, которую требуется найти, обозначим Р_n(k).

Теорема (теорема Бернулли)

Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность Р_n(k) того, что событие А наступит ровно k раз в n независимых испытаниях, равна Р_n(k)= . Эта формула называется формулой Бернулли.

Доказательство. Пусть А_i и Ā_i – соответственно появление и непоявление события А в i-том испытании, а В – событие, состоящее в том, что в n независимых испытаниях событие А появилось ровно k раз. Представим событие В через события А_i (i=1,2,…, n).

Пусть сначала n=3, k=2, тогда В=А₁А₂Ā₃+А₁Ā₂А₃+Ā₁А₂А₃, т.е. событие А произойдет два раза в трех испытаниях, если оно произойдет в 1-ом и 2-ом испытаниях (и не произойдет в 3-ем), или в 1-ом и 3-ем испытаниях (и не произойдет во 2-ом), или событие А произойдет во 2-ом и 3-ем испытаниях (и не произойдет в 1-ом). Теперь в общем виде для произвольных n и k:

В=А₁А₂…А_kĀ_k+1Ā_k+2…Ā_n+Ā₁A₂…A_kA_k+1Ā_k+2…Ā_n+…+Ā₁Ā₂…Ā_n-kA_n-k+1…A_n.

Здесь зафиксировано, что в каждом варианте события В (в каждом слагаемом суммы) событие А появляется ровно k раз и n-k раз не появляется.

Вопрос: сколько слагаемых в такой сумме?

Число слагаемых равно числу k-элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, т.е числу сочетаний С_n^k. Вероятность каждой такой комбинации (каждого появления события В) по теореме умножения для независимых событий равна p^k(1-p)^n-k, так как P(A_i)=p, P(Ā_i)=1-p. В связи с тем, что все комбинации в сумме попарно несовместны, по теореме сложения вероятностей получим Р_n(k)=Р(В)= p^k(1-p)^n-k+ p^k(1-p)^n-k+… p^k(1-p)^n-k= С_n^k p^k(1-p)^n-k.

Вероятности Р_n(k) носят название биномиальные вероятности, поскольку имеют отношение к формуле бинома Ньютона.

№19 наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли

Рассматривая полигон распределения вероятностей, можно заметить, что есть такое значение k, при котором Р_n(k) принимает наибольшее значение (Р₅(1)). Другими словами, можно отыскать такое значение k₀, которое обладает наибольшей вероятностью Р_n(k). Если рассматривать общий случай чисел для чисел n и k, то возникает вопрос: при каком значении k величина Р_n(k) принимает наибольшее значение?

Итак, если число n фиксировано, то величина Р_n(k) превращается в некоторую функцию от аргумента k, который принимает значения 0, 1, 2, …, n. Поставим вопрос: при каком значении k функция Р_n(k) принимает наибольшее значение? Или какое из чисел Р_n(0), P_n(1), …, P_n(n) является наибольшим?

Если на координатную плоскость (по оси абсцисс откладываем k, а по оси ординат Р_n(k)) нанести полученные значения и соединить точки ломаной линией, то получится многоугольник, который называется полигоном распределения вероятностей.

Для отыскания значения k, при котором функция Р_n(k) принимает наибольшее значение, необходимо вычислить 𝜶=np-q. Если число 𝜶 не является целым, наиболее вероятное число успехов равно ближайшему к 𝜶 справа целому числу. Если же 𝜶 – целое число, наивероятнейшее число успехов имеет два значения 𝜶 и 𝜶+1.

Число np=𝝀 принято считать в определенном смысле как среднее число успехов в n опытах.

№20 локальная теорема Муавра-Лапласа

Мы исследуем функцию Р_n(k) при различных значениях k. Часто в задачах возникает необходимость отыскания значений этой функции при очень больших значениях n и k. Непосредственная подстановка этих значений в формулу Бернулли приводит к очень громоздким вычислениям в такой ситуации. Поэтому возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вероятностей Р_n(k), а также для конечных сумм таких вероятностей при больших значениях n.

Существует несколько таких формул, которые называют также асимптотическими. Эти формулы становятся обоснованными, поскольку при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_n(k) того, что событие А произойдет k раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна P_n(k)≈ , где , .

Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Для нее составлена таблица значений, которая есть практически во всех учебниках по вероятности.

Функция Гаусса обладает следующими свойствами:

1.Функция φ(x) является четной, т.е. φ(-x)=φ(x);

2.Функция φ(x) является монотонно убывающей при положительных значениях x, причем при x→∞ φ(x)→0 (практически при x>4 φ(x)≈0).

Необходимо заметить, что локальной формулой Муавра-Лапласа обычно пользуются при решении задач, если npq≥20, а также при условии, что n достаточно велико и вероятность p отлична от нуля и единицы.

№21 интегральная теорема Муавра- Лапласа

Рассмотрим другой случай, когда требуется найти вероятность того, что число наступлений события А в n опытах окажется заключенным между заданными границами а и b.

Пусть есть такая задача: в некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей имеют холодильники.

Чтобы найти заданную вероятность, нам пришлось бы с помощью локальной формулы Муавра-Лапласа найти P₄₀₀(300), P₄₀₀(301), P₄₀₀(302), …P₄₀₀(360), а затем сложить все полученные числа, пользуясь при этом теоремой сложения вероятностей.

Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число k наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно) при достаточно больших n приближенно равна

,

где

Функция 𝚽(x) называется функцией Лапласа. Значения ее также помещены в таблицу, которая имеется во многих учебниках по вероятности.

Свойства:

1.𝚽(x) – нечетная функция, так как 𝚽(-x)= - 𝚽(x);

2.𝚽(x) – возрастающая на промежутке [0, +∞) функция, причем она растет от 0 до значения 𝝁=0,5.

График функции 𝚽(x) выглядит так:

№22 предельная теорема пуассона. Приближенные формулы пуассона.

Случай, когда p или q является малым числом, нуждается в особом исследовании. Т.е. нас интересует оценка для вероятности того или иного числа успехов, когда сам по себе успех является редким событием.

Рассмотрим подробнее величину

. Допустим, что k фиксировано, а n→∞, p→0 притом так, что произведение 𝝀=np есть величина постоянная.

Теорема: Пусть числа k, n, p таковы, что k фиксировано, а n→∞, p→0, причем 𝝀=np есть величина постоянная. Тогда справедливо следующее равенство:

.

Следствие.

Пусть число k фиксировано, а n→∞, p→0, причем 𝝀=np есть величина постоянная. Тогда справедливы следующие приближенные равенства:

1. ; 2. .

Заметим, что для подсчета того или иного числа успехов не требуется знать ни числа n, ни числа р в отдельности. Нужно лишь знать их произведение

np=𝝀, которое представляет собой среднее число успехов.

Для функции , рассматриваемой как функции двух переменных, также составлена таблица значений.

№23 понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины, примеры.

Среди задач по теории вероятностей много таких, в которых исход опыта выражается конкретным числом. Примеры: а) при опыте, состоящем в бросании трех монет, частота выпадения герба задается множеством значений {0; 0,(3); 0,(6); 1}, любое из которых может наступить; б) при опыте, состоящем в тестировании новых изделий, величина, выражающаяся в количестве тестов до первого неисправного изделия, может принимать значения {0, 1, 2, …, n}; в) при покупке n штук лотерейных билетов число выигрышных билетов – случайная величина, которая может принимать значения {0, 1, 2, …, n}; г) при расходовании предприятием электроэнергии величина расхода в месяц может принимать любые действительные значения.

Случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно (это зависит от случая).

Случайные величины принято обозначать строчными латинскими буквами X, Y, Z, S и т.д.

Более строгое определение случайной величины, эквивалентное данному выше:

Случайной величиной называется функция, заданная на множестве элементарных исходов или в пространстве элементарных событий, т.е. X=f(w), где w - элементарный исход.

Множество значений функции f(w) называется множеством значений случайной величины X.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания случайной величины является таблица (матрица), в которой в первой строке в порядке возрастания указаны возможные значения случайной величины, а во второй строке – соответствующие им вероятности.

Здесь x_i – возможные значения случайной величины, а p_i – их вероятности (i=1, 2, 3, 4, 5), причем p₁+p₂+p₃+p₄+p₅=1.

Если случайная величина имеет некий закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону.

Пример: Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и Б, равна соответственно 0,7 и 0,9.Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Возможные значения случайной величины Ч – числа сданных экзаменов – 0, 1, 2.. Пусть А_i-событие, состоящее в том, что студент сдаст i-й экзамен (i=1,2). Тогда вероятность того, что студент сдаст в сессию 0, 1, 2 экзамена, будут соответственно равны (считаем события А₁ и А₂ независимыми): (1-0,7)(1-0,9)=0,3*0,1=0,03

P(X=2)=P(A₁A₂)=0.7*0.9=0.63

xi
pi	0.03	0.34	0.63