Investigation of functions and construction of its graphs
Practical training 3.1
The Derivative. Technique of differentiation
Означення приросту функції в точці. Означення похідної функції в точці. Похідна суми і різниці функцій. Похідна добутку функцій. Похідна частки функцій. Теорема про похідну складеної функції. Похідна неявної функції. Похідна оберненої функції. Похідна параметричної функції. Логарифмічна похідна.
Home tasks 3.1
Task 1. Find 
in term of 
, if 
, 
.
The answer: 
.
Task 2. Calculate , if 
, 
, 
.
The answer: 
.
Task 3. Using the definition of the derivative, find 
, if at the point 
. The answer:1/12.
Find the derivatives of the functions given in tasks 4 – 7.
Task 4. а) 
b) 
c) 
Task 5.а) 
b) ( 
c) 
find 
і 
;
d) 
; e) 
.
The answer: c) 
; 
; d) 
.
Task 6. а) 
; b) 
; c) 
; d) 
.
The answer: d) 
.
Task 7. а) 
b) 
c) 
d) 
; e) 
.
The answer: b) 
; d) 9 
;
e) – 
Task 8. Taking the logarithms find the derivatives of the functions:
а) 
; b) 
.
The answer: а) 
b) 
Practical training 3.2
The differential of a function
Означення диференціала функції в точці. Геометричний зміст диференціала. Чи буде неперервною диференційована функція? Чи буде диференційовною неперервна функція? Диференціали суми і різниці функцій. Диференціал добутку функцій. Диференціал частки функцій.
Home tasks 3.2
Task 1. Given the function 
. Calculate the increment and its linear part when 
changes from 
to 
.
The answer: 
.
Task 2. Calculate the increment and the differential of the function 
when 
and 
. Calculate the absolute and relative errors as the increment is replaced by the differential.
The answer: 
absolute error 0,04;
relative error 
.
Task 3. Find the differentials of the functions:
а) 
; b) 
; b) 5 
; c) 
.
Task 4. Find the differentials of the functions: а) 
; b) 
.
The answer: а) 
; b) 
.
Task 5. Find the differentials of the functions: а) 
; b) 
.
Task 6. Calculate the approximate value of the function 
as changes from 
to 
. What is the value of 
?
The answer: 
.
Task 7. Calculate approximately: а) 
; b) 
.
The answer: а) 
; b) 
.
Завдання 8. Represent the differential of the following functionsin terms ofindependent variable and its differential:
а) 
, 
; б) 
, 
.
Answer: а) 
; b) 
.
Practical training 3.3
The Derivatives and differentials of the higher orders.
Ttlors formula
Означення похідної другого порядку. Означення диференціала другого порядку. Записати вираз для диференціала п-го порядку. Записати формулу Тейлора. Записати формулу Маклорена для функції 
. Записати формулу Маклорена для функції 
. Записати формулу Маклорена для функції 
.
Home tasks 3.3
Task 1. Find the derivatives of the second order for the functions:
а) 
b) 
The answer: а) 
; b) 
.
Task 2. Find 
, if 
The answer: 
.
Task 3. Find the differential of the second order for the function
The answer: 
;
Task 4. Find 
if 
. The answer: 
.
Task 5. Make the expansion of the polynomial 
in terms of the powers of the bynomial 
.
The answer: 
Task 6. If 
is a polynomial of the fourth degree. Calculate 
, if it is known 
.
The answer: 
Task 7. Calculate to within 
: a) 
; b) 
; c) 
.
The answer: a) 
; b) 
; c) 
.
Task 8. Using Maclaurin’s expansion calculate the limit 
.
The answer: 
.
Practical training 3.4
investigation of functions and construction of its graphs
Означення функції монотонно зростаючої (монотонно спадної) на проміжку. Достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку Означення локального максимума (мінімума) функції. Необхідна умова локального максимума (мінімума). Достатня умова локального максимума (мінімума). Означення вгнутого (опуклого) графіка функції на проміжку. Достатня умова вгнутості (опуклості) графіка функції на проміжку. Означення точки перегину графіка функції. Необхідна умова існування перегину в точці графіка функції. Означення асимптоти графіка функції. Необхідна і достатня умова існування похилої асимптоти. Необхідна і достатня умова існування вертикальної асимптоти.
Home tasks 3.4
Task 1. Show that the function 
is decreasing everywhere.
Task 2. Find the extrema and intervals of monotonisity:
а) 
; б) 
; в) 
.
The answer: а) 
as 
as 
- decreases; 
- increases;
б) 
- decreases; 
- increases;
в) 
- increases, 
- decreases.
Task 3. Prove the inequality: 
.
Task 4. Find the greatest and the least values of the function: 
on
. The answer: 
and 
.
Task 5. Represent the number 
as two summands so that the sum of their cubs will be the least. The answer: 
and .
Task 6. What should be the height of the cone inscribed in the sphere or the radius 
if the cone’s lateral is the greatest? The answer: 
.
Task 7. Show that the graph of the function 
is convex everywhere.
Task 8. Find the points of inflection and the interval of convexity of the graph of the function 
.
The answer: 
– the point of inflection; 
– the interval of concavity; 
– the interval of convexity.
Task 9. Find the asymptotes of the function’s graphs: 1) 
;
2) 
. Answer: 1) 
; 2) 
.
Task 10. Investigate the functions and construct their draphs:
а) 
; б) 
; в) 
.
Практичне заняття 3.5