Потоки платежів і фінансові ренти

У фінансовому аналізі часто виникає ситуація, коли необхідно оцінити розподіл у часі платежів. Така проблема з’являється під час оцінки показників інвестиційних процесів, отриманні та погашенні довгострокового кредиту окремими платежами, виплат пенсій, страхових сум, нагромадженні деяких сум коштів на депозитах у банках, шляхом внесків платежів протягом визначеного періоду.

Множину розподілених у часі платежів (виплат і надходжень) називають потоком платежів. Члени потоку платежів можуть бути як позитивними (надходження), так і негативними (виплати) величинами.

Потік платежів, усі члени якого позитивні величини, а часові інтервали між двома послідовними платежами постійні, називають фінансовою рентою, або аннуїтетом, незалежно від походження цих платежів, їх призначення і мети. До фінансової ренти належать також різноманітні за своїм змістом оплати: періодичне погашення боргу, створення амортизаційного фонду, внески по страхуванню та ін. Аннуїтетом можна також вважати низку виплат, що складаються з виплачуваних відсотків за облігацією, споживчим кредитом тощо.

Фінансові ренти визначаються такими основними параметрами:

· член ренти — величина кожного окремого платежу;

· період ренти — часовий інтервал між двома послідовними платежами;

· строк ренти — час від початку фінансової ренти до кінця останнього періоду;

· відсоткова ставка — ставка, яка використовується під час нарощення або дисконтування платежів, з яких складається рента.

При характеристиці окремих видів фінансових рент застосовують додаткові параметри: число платежів на рік, число нарахувань відсотків, момент проведення платежів тощо.

Аннуїтети можна класифікувати за деякими ознаками, залежно від яких виникає необхідність у застосуванні різних методів визначення узальнюючих оцінок аннуїтетів.

Види фінансових рент:

1. Залежно від тривалості періоду — річні та р-термінові (р характеризує число виплат протягом року). В аналізі інвестиційного процесу інколи застосовують ренти з періодом понад одного року.

2. За частотою платежів — дискретні (платежі вносяться періодично) і неперервні (платежі вносяться дуже часто).

3. За числом нарахувань відсотків — ренти з нарахуванням відсотків один раз на рік, m разів і безперервні. Моменти нарахування відсотків можуть збігатися і не збігатися з моментами виплат членів ренти.

4. За величиною членів ренти — з рівними членами (постійні) і змін­ні. Члени змінної ренти можуть змінюватися з часом згідно із законом.

5. За ймовірності виплат — а) ймовірні ренти — такі, що підлягають безумовній сплаті незалежно від обставин; б) умовні — їх оплата пов’язана з випадковими подіями.

6. За числом членів ренти — обмежені, тобто ренти з кінцевим числом членів ренти; необмежені (вічні). Прикладом вічної ренти можуть бути виплати по облігації з необмеженим строком дії.

7. Залежно від початку строку ренти або будь-якого фіксованого моменту (наприклад, початок дії контракту і час оцінки ренти) — термінові (коли обидва вказані моменти збігаються) та відкладені, від­строчені (коли початок терміну не збігається зі вказаним моментом).

8. За моментом оплати ренти: в кінці періоду — постумерандо, або звичайні, на початок періоду — пренумерандо.

Наприклад: а) виплата дивідендів за акціями — умовна, звичайна, вічна рента; б) погашення кредиту з періодичною рівномір­ною виплатою відсотків кожні півроку з фіксованим строком погашення та піврічною виплатою відсотків є прикладом піврічної, обмеженої р-термінової ренти.

Для характеристики потоку платежів за весь строк з урахуванням моменту використовуються узагальнюючі показники, за допомогою яких можливо привести всі члени ренти до визначеного часу. Як правило, такими моментами часу є: 1) початок строку ренти (тоді використовується сучасна величина ренти); 2) кінець строку ренти (у даному разі узагальнюючою характеристикою буде нарощена сума ренти).

Узагальнюючі характеристики ренти:

1) нарощена сума;

2) сучасна величина.

Названі показники являють собою узагальнення потоку платежів за повний строк з урахуванням моментів часу, коли вони виплачуються, у вигляді одного числа.

Нарощена сума — це сума всіх членів ренти з нарахованими на них відсотками на кінець її строку. Необхідність визначення цього показника виникає при встановленні накопиченої заборгованості.

Сучасна величина ренти — це сума всіх членів ренти, дисконтованих на деякий момент, що збігається з початком ренти або попереджує його.

13.2. Нарощена сума звичайної ренти

Розглянемо методи розрахунку нарощених сум ренти залежно від строку ренти, періодів нарахування відсотків, періодичності виплат. Використання різних методів розрахунку нарощених сум розпочнемо з річної ренти.

Введемо позначення: S — нарощена сума ренти; R — розмір членів ренти; i — ставка відсотків; n — строк ренти (число років). Припустимо, що вкладнику банку необхідно в кінці п’яти­річного періоду мати визначену суму коштів. Цю величину він нагромаджує на депозитному рахунку, на який банк нараховує відсотки за ставкою (і). Вкладник формує необхідну суму шляхом внесення рівних щорічних внесків на рахунок у кінці кожного року. Перший платіж R₁ принесе йому в кінці строку суму, що дорівнює величині R₁(1 + i)⁴, другий платіж у кінці строку становитиме величину R₂(1 + i)³, третій — R₃(1 + i)², четвертий —
R₄(1 + i)¹ і п’ятий R₅. Усі платежі дорівнюють один одному R₁ =
= R₂ = R₃= R₄= R₅. Уявимо цей процес графічно (рис. 13.1).

Рис. 13.1. Процес нарощення рентних платежів

У кінці п’ятого року вкладник матиме суму R₅ + R₄(1 + i) +
+ R₃(1 + i)² + R₂(1 + i)³ + R₁(1 + i)⁴. Цей ряд являє собою геометричну прогресію з першим членом R і знаменником прогресії
(1 + i). Якщо узагальнити цю ситуацію, то отримаємо такий послідовний ряд платежів: R (1 + i)^n–1; R(1 + i)^n–2; R(1 + i)^n–3;...;
R(1 + i); R. Цей ряд також являє собою геометричну прогресію з першим членом R і знаменником прогресії (1 + i). Сума членів скінченої геометричної прогресії обчислюється за формулою:

,

де а₁ — перший член прогресії; q — знаменник прогресії. Підставивши відповідні позначення ренти, отримаємо формулу нарощеної суми річної звичайної постійної ренти:

,де — коефіцієнт нарощення ренти, значення якого подаються в додатках.

Приклад 1. Визначити суму, яка буде в кінці п’ятирічного періоду на рахунку в банку, якщо на депозит у кінці кожного періоду вносять по 200 грн. Банк нараховує відсотки за ставкою 10 % річних.

Розв’язання:

грн.

Річна рента, нарахування відсотків m разів на рік. Розглянемо випадок, коли відсотки нараховуються m разів на рік на платежі, які вносяться один раз на рік, а відсотки нараховуються за ставкою j/m. Отже, платежів з нарахованими відсотками буде в m разів більше, і вони утворять послідовний ряд геометричної прогресії:

... ; R.

Сума членів цієї зростаючої скінченої геометричної прогресії дорівнюватиме:

.

Приклад 2. Знайти нарощену суму ренти за умови, що відсотки нараховуються щоквартально. Внески робляться протягом 5 років наприкінці року по 20 тис. грн. На зібрані кошти нараховуються відсотки за ставкою 12 % річних.

Рента р-термінова (m=1). Визначимо нарощену суму за умови, що рента виплачується р разів на рік рівними платежами,
а відсоток нараховується один раз наприкінці року. Якщо річна сума платежу R, то щоразу виплачується R/p. Формула для знаходження нарощеної суми р-термінової ренти буде такою:

.

Приклад 3. Визначити суму, яка буде в кінці п’ятирічного періоду на рахунку в банку, якщо на депозит у кінці кожного місяця робляться внески. Загальна сума надходжень протягом року становить 200 грн. Банк нараховує відсотки за ставкою 10 % річних.

Розв’язання: грн.

Нарощена сума при щомісячних внесках буде більшою, ніж платежі, що здійснюються один раз наприкінці року.

Існує також формула нарощеної суми ренти за умови, що плате­жі робляться стільки разів, скільки разів нараховуються відсотки.

Ренти р-термінові (p = m). Число членів ренти на рік дорівнює числу нарахувань відсотків протягом року p = m:

.

Усі вищерозглянуті формули нарощеної суми ренти можна отримати, використовуючи формулу для знаходження нарощеної суми ренти, коли платежі робляться р-разів протягом року, а відсотки нараховуються m-разів.

Рента р-термінова . Загальний випадок р-термінової ренти з нарахуванням відсотків m разів на рік:

.

Приклад 4. На рахунок банку щомісячно робляться внески по 100 грн. Банк нараховує 12 % річних за ставкою складних відсотків. Необхідно знайти суму, яка буде нагромаджена на рахунку через 5 років, якщо банк нараховує відсотки щоквартально.

Розв’язання: У даному разі річна сума внесків дорівнюватиме
1200 грн., тобто R = 1200.

грн..

Умови здійснення платежів і нарахування відсотків (їх частота) суттєво впливають на розмір нарощеної суми ренти. Для одних і тих самих річних виплат, тривалості ренти і ставок відсотків справедливі нерівності:

S (1; 1) < S (1; m) < S (p; 1) < S (p; m) < S (p; m) < S (p; m);

m > 1 p > 1 p > m > 1 p = m >1 1 < p < m.

Ці нерівності можуть бути використані при розробці умов контрактів.