Раздел 1.2 проекции прямой

Цели и задачи: зафиксировать информацию, формирующую диалектическое мышление, позволяющее представить прямую линию трехмерного изображения в двухмерном пространстве.

1.2.1 Проецирование прямой на три плоскости проекции

Прямую можно рассматривать как результат пересечения двух плоскостей (рисунок 1.2.1, 1.2.2.).

Рисунок 1.2.1 – Проекция прямой на плоскость П₁

Рисунок 1.2.2 – Проекция прямой на плоскости П₁ и П_2.

Прямая в пространстве безгранична. Ограниченная часть прямой называется отрезком.

Проецирование прямой сводится к построению проекций двух произвольных ее точек, так как две точки полностью определяют положение прямой в пространстве. Опустив из точки А и В (рисунок 1.2.2) перпендикуляры до пересечения с плоскостью П₁, определяют их ух горизонтальные проекции А₁ и В₁. Отрезок А₁В₁ – горизонтальная проекция прямой АВ. Аналогичный результат получают, проведя перпендикуляры к П₁ из произвольных точек прямой АВ. Совокупность этих перпендикуляров (проецирующих лучей) образует горизонтально проецирующую плоскость a, которая пересекается с плоскостью П₁ по прямой А₁В₁ – горизонтальной проекции прямой АВ. Исходя из тех же соображений, получают фронтальную проекцию А₂В₂ прямой АВ (рисунок 1.2.2).

Одна проекция прямой не определяет ее положение в пространстве. Действительно, отрезок А₁В₁ (рисунок 1.2.1) может быть проекцией произвольного отрезка, лежащего в проецирующей плоскости a. Положение прямой в пространстве однозначно определяется совокупностью двух ее проекций. Восставляя из точки горизонтальной А₁В₁ и фронтальной П₁ и П₂, получают две проецирующие плоскости a и b, пересекающиеся по единственной прямой АВ.

Рисунок 1.2.3 Комплексный чертеж отрезка прямой АВ

На комплексном чертеже (рисунок 1.2.3) изображен отрезок АВ прямой общего положения, где А₁В₁ – горизонтальная, А₂В₂ – фронтальная и А₃В₃ – профильная проекции отрезка. Для построения третьей проекции отрезка. Для построения третьей проекции отрезка прямой по двум данным можно использовать те же способы, что и для построения третьей проекции точки: проекционный (рисунок 1.2.4.), координатный (рисунок 1.2.5.) и с использованием постоянной прямой чертежа (рисунок 1.2.6).

Рисунок 1.2.4 – Проекционный способ построения третей проекции отрезка.

Рисунок 1.2.5 – Координатный способ построения третей проекции отрезка

Рисунок 1.2.6 – Построения третей проекции отрезка с использованием постоянной прямой чертежа

1.2.2 Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок прямой занимает общее положение, то ни на одной основной плоскости проекций нельзя определить его истинную длину (рисунок 1.2.7). Построить изображение отрезка в истинную величину на комплексном чертеже можно способом прямоугольного треугольника.

Рисунок 1.2.7 – Изображение отрезка в истинную величину на комплексном чертеже

Возьмем отрезок АВ (АÎП₁) и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекции (рисунок 1.2.8). В пространстве при этом образуется прямоугольный треугольник А₁ВВ₁, в которой гипотенузой является сам отрезок, одним катетом – разность высот точек А и В отрезка. Так как по чертежу прямой определить разность высот точек её отрезка не составляет труда. То можно построить на горизонтальной проекции отрезка прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом превышение одной точки над второй. Гипотенуза этого треугольника и будет натуральной величиной отрезка АВ (рисунок 1.2.9)

Рисунок 1.2.8 – Определение натуральной величины отрезка на горизонтальной плоскости проекции

Рисунок 1.2.9 – Определение натуральной величины отрезка на фронтальной плоскости проекции

1.2.3 Следы прямой

На рисунок 1.2.10 изображен в пространстве отрезок АВ прямой общего положения. Если отрезок продлить в обе стороны от точек А и В, то в точках М и N он встретится с плоскостями проекций П₁ и П₂.

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой.

Точка М – горизонтальный след прямой, а точка N – фронтальный. Проекции следов на чертеже соответственно обозначены М₁ и М₂, N₁ и N₂. На рисунке 1.2.11 прямая АВ и ее след изображены на комплексном чертеже.

Рисунок 1.2.10 – Отрезок прямой в пространстве общего положения.

Рисунок 1.2.11 – Комплексный чертеж прямой и ее следы

Из условия, что след является точкой, одновременно принадлежащей данной прямой и плоскости проекций, вытекает правило нахождения следов прямой. Для построения на комплексном чертеже горизонтального следа прямой АВ нужно:

а) продлить фронтальную проекцию А₂В₂ до пересечения с осью Ох в точке М₂ (точка М₂ – фронтальная проекция искомого следа М);

б) провести из М₂ вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией А₁В₁ в точке М₁ (точка М₁ – горизонтальная проекция следа и сам след М).

Аналогично определяют горизонтальный след прямой.

1.2.4. Взаимное положение прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными и скрещиваться.

Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на любую плоскость также взаимно параллельны. Представим себе, что через параллельные прямые АВ и CD (рисунок 1.2.12) проведены две горизонтально проецирующие плоскости α и β, которые пересекает третья горизонтальная плоскость П₁. В результате пересечения получим параллельные между собой горизонтальные проекции А₁В₁ и С₁D₁ этих прямых. На комплексном чертеже (рисунок 1.2.13) изображены параллельные прямые общего положения; одноименные проекции этих прямых параллельны между собой, т.е. А₁В₁ ׀׀ С₁D₁; А₂В₂ ׀׀ С₂D₂. На рисунке 1.2.14 параллельные прямые MN и KF лежат в плоскости, перпендикулярно к плоскости проекций П₁, а на рисунке 1.2.15 параллельны прямые перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций.

Рисунок 1.2.12 – Параллельные прямые общего положения в пространстве

Рисунок 1.2.13 – Комплексный чертеж параллельных прямых общего положения

Рисунок 1.2.14 – Комплексный чертеж параллельных прямых лежащих в плоскости, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций.

Рисунок 1. 2.15 – Комплексный чертеж параллельных прямых перпендикулярных к фронтальной плоскости проекций.

Для профильных прямых параллельность определяется по профильной проекции рисунок 1.2.16.

Рисунок 1.2.16 – Комплексный чертеж профильных прямых

Пересекающие прямые. Если две прямые в пространстве пересекаются, то их одноименные проекции также пересекаются в точках К₁ иК₂, лежащих на общей линии связи. На рисунке 1.2.17 изображены пересекающиеся прямые общего положения, на рисунке 1.2.18 пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций П₂, а на рисунке 1.2.19 – прямые частного положения, которые пересекаются и лежат в горизонтальной плоскости.

Рисунок 1.2.17 – Комплексный чертеж пересекающихся прямых общего положения.

Рисунок 1.2.18 -Комплексный чертеж пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций П₂

Рисунок 1.2.19 – Комплексный чертеж прямых частного положения, которые пересекаются и лежат в горизонтальной плоскости

Скрещивающиеся прямые. Если две прямые в пространстве не параллельны между собой и не пересекаются, то они скрещиваются. Точка пересечения одноименных проекций этих прямых не находятся на одной линии проекционной связи. На рисунке 1.2.20 изображены скрещивающиеся прямые общего положения.

Рисунок 1.2.20 – Скрещивающиеся прямые общего положения

1.2.5 Конкурирующие точки

Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит первой, а другая – второй из этих скрещивающихся прямых. Например, на рисунке 1.2.21 точка с проекциями К₂ иК₁ принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями L₂ и L₁ принадлежит прямой СD. Эти точки одинаково удалены от плоскости П₂, но расстояние их от плоскости П₁ различны: точка с проекциями L₂ и L₁ дальше от плоскости П₁ чем точка с проекциями К₂ иК₁ (рисунок 1.2.20).

Рисунок 1.2.21- Конкурирующие точки

Определение видимости точки. Точки с проекциями М₂, М₁ и N₂, N₁ одинаково удалены от плоскости П₁, но расстояние этих точек от плоскости П₂ различны.

Точка с проекциями L₂ и L₁ принадлежащая прямой CD, закрывает собой точку с проекциями К₂ иК₁ прямой АВ по отношению к плоскости П₂, соответствующее направление взгляда показано стрелкой у проекции L₂. По отношению к плоскости П₂ точка с проекцией N₂, N₁ прямой CD закрывает собой точку с проекциями М₂, М₁ прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N₁.

Точки М₂ ≡ N₂,v K₁ ≡ L₁ – называются конкурирующими и с их помощью определяется видимость

1.2.6 Теорема о проецировании прямого угла

1. Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии.

2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее в виде прямого же угла.

Рисунок 1.2.22 – Проецирование прямого угла.

Положим, что сторона ВС прямого угла АВС (рисунок 1.2.22) параллельна плоскости проекций. В таком случае прямая СВ параллельна С₁В₁. Пусть вторая сторона (АС) прямого угла пересекает свою проекцию А₁С₁ в точке К. Проводим в плоскости проекций через точку К прямую параллельно С₁В₁. Прямая KL так же параллельна СВ, и угол CKL получается прямым. Согласно тереме о трех перпендикулярах угол С₁KL также прямой. Следовательно, и угол А₁С₁В₁ прямой.

Рисунок 1.2.23 – Комплексный чертеж прямого угла

Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратных.

1. Если проекция плоскости угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций. (рисунок 1.2.23).

2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.

3. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, то угол не может равняться проектируемому углу.