Математическая модель задачи

Целевая функция:

(3)

Система ограничений задачи имеет вид:

(4)

Решение. Решим задачу линейного программирования (3), (4) с помощью возможностей табличного процессора MS Excel.

1. Запускаем MS Excel.

2. На листе в ячейки зарезервированные для управляемых переменных , , , соответственно, введём любые начальные значения. Пусть это будет

3. В ячейку В1 введём формулу =0*А1+1*А2+2*А3+3*А4.

4. В ячейку В2 – формулу =5*А1+3*А2+2*А3+0*А4.

5. В ячейку – формулу =А1+А2+А3+А4.

6. Запускаем надстройку Поиск решения (Сервис Поиск решения).

7. В появившемся диалоговом окне введём информацию:

- Установить целевую ячейку:

- Равной: минимальному значению;

- Изменяя ячейки:

- Ограничения: $B$1>=900; $B$2>=1500; $A$1:$A$4>=0; $A$1:$A$4 – целые.

8. Нажимаем кнопку Выполнить. В результате получаем следующее:

Интерпретация полученного результата. Оптимальное значение целевой функции Это значит, что нужно разрезать, как минимум, 570 заготовок, чтобы получить 300 комплектов столбов.

Переменные при оптимальном плане разрезания принимают значения: Это означает, что по 1-му варианту нужно разрезать 120 заготовок, по 3-му – 450 заготовок, 2-й и 4-й варианты не используются как экономически невыгодные.

Задача 3.В исправительной колонии решили построить деревянную часовню из круглых брёвен. Имеются брёвна из дорогостоящей древесины длиной 10 метров. Для строительства нужны брёвна длиной 2,5 м, 3,5 м и 4,5 м в количестве 30, 40 и 60 штук соответственно.

Требуется найти такие сочетания различных вариантов разрезания стандартных брёвен, чтобы полностью удовлетворить потребность строительства с минимальными потерями (отходами).

Построение математической модели. Рассмотрим все возможные варианты распила стандартного бревна длиной 10 м, соответствующие данные приведем в таблице.

Длина бревна (м)	Варианты разрезания	Минимальное количество брёвен
2,5
3,5
4,5
Отходы (м)		1,5	0,5		0,5

Определим переменные:

– количество брёвен, разрезаемых по варианту . Ограничения непосредственно связаны с требованием обеспечить изготовление требуемого количества нестандартных бревен. Используя данные таблицы, получим:

– число столбов длиной 2,5 м;

– число столбов длиной 3,5 м;

– число столбов длиной 3,5 м.

Выражение для суммарной величины отходов (обрезки) имеет вид:

.

Таким образом, математическая модель рассматриваемой задачи в общем виде выглядит следующим образом:

(1)

(2)

Решение. Решим задачу линейного программирования (1), (2) с помощью возможностей табличного процессора MS Excel.

1. Запускаем MS Excel.

2. На листе в ячейки А1:А6, зарезервированные для управляемых переменных соответственно, введём любые начальные значения. Пусть во всех ячейках будет 1.

3. В ячейку В1 введём формулу
=0*А1+2*А2+2*А3+4*А4+1*А5+0*А6.

4. В ячейку В2 – формулу =1*А1+1*А2+0*А3+0*А4+2*А5+0*А6.

5. В ячейку В3 – формулу =1*А1+0*А2+1*А3+0*А4+0*А5+2*А6.

6. В ячейку – формулу =2*А1+1,5*А2+0,5*А3+0*А4+0,5*А5+1*А6.

7. Запускаем надстройку Поиск решения (Сервис Поиск решения).

8. В появившемся диалоговом окне введём информацию:

- Установить целевую ячейку:

- Равной: минимальному значению;

- Изменяя ячейки: $A$1:$A$6;

- Ограничения: $B$1=30; $B$2=40; $B$3=60; $A$1:$A$6>=0; $A$1:$A$6 – целые.

9. Нажимаем кнопку Выполнить. В результате получаем следующее:

Интерпретация полученного результата. Оптимальное значение целевой функции Переменные при оптимальном плане разрезания принимают значения:

Это означает, что по 1-му, 2-му и 4-му вариантам нужно распилить по 2 бревна, по 5-му – 18 брёвен, по 6-му – 29 брёвен, 3-й вариант не используется как экономически невыгодный. При таком плане разрезания брёвен количество отходов (суммарная длина обрезков) будет минимальным и составит 45 м.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 16.5