При­ме­ры эк­ви­ва­лент­ных дро­бей

1. Путь от го­ро­да до де­рев­ни – 7 км.

Мы идем по до­ро­ге и опре­де­ля­ем прой­ден­ный путь по ки­ло­мет­ро­вым стол­би­кам. Прой­дя три стол­би­ка, три ки­ло­мет­ра, мы по­ни­ма­ем, что про­шли пути.

Но если мы не видим стол­би­ков (может, их не уста­но­ви­ли), можно путь счи­тать по элек­три­че­ским стол­бам вдоль до­ро­ги. Их 20 штук на каж­дый ки­ло­метр. То есть всего 140 на всем пути. Три ки­ло­мет­ра – стол­бов. То есть мы про­шли 60 из 140 стол­бов, .

2. Дробь на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти можно от­ме­чать точ­кой. Чтобы изоб­ра­зить дробь от­ме­тим точку с ко­ор­ди­на­той 3 по оси и 4 по оси . Про­ве­дем пря­мую из на­ча­ла ко­ор­ди­нат через нашу точку.

На этой же пря­мой будет ле­жать и точка, со­от­вет­ству­ю­щая дроби .

Они яв­ля­ют­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми: (см. Рис. 1)

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

3. На ри­сун­ке 2 два дома. Пер­вый – вы­со­той 6 мет­ров и ши­ри­ной 4, а вто­рой – вы­со­той 12 мет­ров и ши­ри­ной 8. Раз­ме­ры раз­ные, но дома по форме по­хо­жи. У них оди­на­ко­вые про­пор­ции, оди­на­ко­вое от­но­ше­ние вы­со­ты к ши­рине.

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Сокращение дроби

Дробь можно было по­лу­чить из умно­же­ни­ем чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля на 4:

или из умно­же­ни­ем на 2:

Но точно так же можно и вер­нуть­ся назад.

У дроби можно чис­ли­тель и зна­ме­на­тель раз­де­лить на 2, по­лу­чить :

Или чис­ли­тель и зна­ме­на­тель раз­де­лить на 4, по­лу­чить :

Вот такой пе­ре­ход от одной дроби к дру­гой с по­мо­щью де­ле­ния чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля на одно и то же число на­зы­ва­ет­ся со­кра­ще­ни­ем дроби.

У дроби можно раз­де­лить чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 100. По­лу­чим .

Это эк­ви­ва­лент­ная за­пись, но она ко­ро­че. Мы со­кра­ти­ли за­пись. Со­кра­ти­ли дробь:

Сократимые и несократимые дроби

По­смот­рим еще раз на це­поч­ку эк­ви­ва­лент­ных дро­бей.

Дробь можно со­кра­тить на 2 и по­лу­чить или со­кра­тить на 4 и по­лу­чить .

Дробь нам не по­лу­чит­ся со­кра­тить до или , зато легко со­кра­тить на 5 и по­лу­чить .

Толь­ко одну дробь из пред­став­лен­ных мы не можем со­кра­тить: .

Такая дробь на­зы­ва­ет­ся несо­кра­ти­мой. Ее нель­зя со­кра­тить.

Осталь­ные со­кра­ти­мые. Их можно со­кра­тить.

Пример 1

Рас­смот­рим дробь .

Чтобы по­нять, можно ли ее со­кра­тить, нужно узнать, су­ще­ству­ет ли число, на ко­то­рое де­лит­ся и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель, есть ли общий де­ли­тель.

42 де­лит­ся на 2, но 273 на 2 не де­лит­ся.

42 де­лит­ся на 3 (сумма цифр 6 де­лит­ся на 3), и 273 де­лит­ся на три (сумма цифр 12).

Зна­чит, мы можем по­де­лить чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 3, со­кра­тить дробь на 3.

Можно ли со­кра­тить по­лу­чен­ную дробь даль­ше?

14 де­лит­ся на 2 и на 7.

91 не де­лит­ся на 2, но на 7 де­лит­ся.

Зна­чит, дробь можно со­кра­тить на 7.

Для чисел 2 и 13 нам уже не найти об­ще­го де­ли­те­ля.

Дробь несо­кра­ти­ма.

Не все­гда легко, глядя на дробь, по­нять, можно ее со­кра­тить или нет.

Что нам может по­мочь в этом?

Чтобы со­кра­тить дробь, нужно найти общий де­ли­тель для чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля.

Но де­ли­те­ли числа и его мно­жи­те­ли – это одно и то же.

2 и 5 – это мно­жи­те­ли, но на них можно раз­де­лить. По­это­му они же и де­ли­те­ли.

То есть раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли – это и раз­ло­же­ние на де­ли­те­ли.

Вер­нем­ся к на­ше­му при­ме­ру.

Если бы чис­ли­тель и зна­ме­на­тель были раз­ло­же­ны на мно­жи­те­ли, мы бы сразу по­ня­ли, как со­кра­тить дробь.

Общие мно­жи­те­ли (де­ли­те­ли) – 3 и 7. На них и со­кра­ща­ем.

Пример 2

Со­кра­тить дробь, раз­ло­жив на мно­жи­те­ли чис­ли­тель и зна­ме­на­тель.

Раз­ло­жим 60 на мно­жи­те­ли:

Раз­ло­жим 126 на мно­жи­те­ли:

Со­кра­тим на общие мно­жи­те­ли, на 2 и на 3. Боль­ше общих мно­жи­те­лей (де­ли­те­лей) нет. Пе­ре­мно­жим остав­ши­е­ся мно­жи­те­ли:

Задача

В школе 4 пер­вых клас­са, и в каж­дом учит­ся 27 уче­ни­ков.

Есть 12 ко­ро­бок ман­да­ри­нов, в каж­дой по 45 штук. Сколь­ко каж­до­му пер­во­класс­ни­ку до­ста­нет­ся ман­да­ри­нов, если их по­де­лить по­ров­ну?

По­нят­но, что надо ко­ли­че­ство ман­да­ри­нов раз­де­лить на ко­ли­че­ство пер­во­класс­ни­ков.

Най­дем и то и дру­гое.

пер­во­класс­ни­ков.

ман­да­ри­нов.

Оста­лось раз­де­лить.

ман­да­ри­нов на пер­во­класс­ни­ка.

Но можно было и упро­стить себе за­да­чу, ведь у нас уже было раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли:

Не будем сразу счи­тать, сколь­ко ман­да­ри­нов и сколь­ко уче­ни­ков. Сна­ча­ла со­кра­тим нашу дробь. 12 и 4 де­лят­ся на 4. 3 и 27 де­лят­ся на 3.

Это ре­ше­ние ока­за­лось проще.

Задание 1

Сей­час са­мо­сто­я­тель­но со­кра­ти­те сле­ду­ю­щие дроби:

Про­вер­ка:

Задача 2

До­ка­жи­те, что дробь несо­кра­ти­ма:

Про­вер­ка:

раз­ло­жим на про­стые мно­жи­те­ли чис­ли­тель и зна­ме­на­тель:

Общих мно­жи­те­лей (общих де­ли­те­лей) нет. Зна­чит, со­кра­тить невоз­мож­но. Дробь несо­кра­ти­ма.

Такие числа, как 220 и 273, не име­ю­щие общих де­ли­те­лей, кроме 1, мы на­зы­ва­ем вза­им­но про­сты­ми.

То есть можно ска­зать про несо­кра­ти­мую дробь сле­ду­ю­щее: дробь несо­кра­ти­ма, если ее чис­ли­тель и зна­ме­на­тель – вза­им­но про­стые числа.

Заключение

Под­ве­дем итог.

1. Со­кра­тить дробь – озна­ча­ет раз­де­лить ее чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на одно и то же число (не рав­ное нулю). В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ем рав­ную (эк­ви­ва­лент­ную) дробь, но с мень­ши­ми чис­ли­те­лем и зна­ме­на­те­лем.

2. Чтобы со­кра­тить дробь, нужно по­сле­до­ва­тель­но про­ве­рять, на что де­лят­ся чис­ли­тель и зна­ме­на­тель. Если на­хо­дят­ся общий де­ли­тель, то на него и со­кра­щать.

3. Если раз­ло­жить чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на мно­жи­те­ли, то это упро­стит со­кра­ще­ние.