Дәріс 5. Басқару үрдісінің сапасы. Орнықтылық критериясы.

Орнықтылық.

Автоматты реттеу жүйесінің негізгі көрсеткіші болып орнықтылық болып табылады. Қажетті бір заң бойынша реттелетін параметрдің орнықты мәнін ұстап тұру оның негізі жұмысы болады. Берілген тапсырмадан реттелетін шаманың ауытқуы кезінде (мысалы, тапсырманың өзгерісі мен әрекеттердің қозғалысынан), жүйеге реттегіш осы ауытқулардын болдырмауына әсер береді. Егер де осы әрекеттерден кейін жүйе бастапқы жағдайына келіп немесе басқа теңгерілген жағдайға өтсе, мұндай жүйені орнықты деп атайды. Егер де ұлғаю амплитудамен немесе біртектес қателіктердің ұлгаю кезінде ауытқулар пайда болса бұл жүйені орнықсыз деп атайды.

Жүйенің орнықтылығын анықтау үшін орнықтылық критерияларын қолданады:

1) түбір критериясы,

2) Стодол критериясы,

3) Гурвиц критериясы,

4) Найквист критерийсы,

5) Михайлов критериясы т.б.

Алғашқы екі критерия тұйықталған жүйеде және жеке тізбектерде қажетті болып табылады. Гурвиц критериясы кешігусіз тұйықталған жүйенің орнықтылығын анықтау үшін алгебралық түрде анықталған. Соңғы екі критерясы жиліктік критеряның тобына енеді, ол жиіліктік сипаттамалар бойынша тұйықталған жүйенің орнықтылығын анықтайды.

Түбірлі критериясы

Бұл түбірдің критерясының сипаттама теңдеулері өтпелі процес жүйесінің түрін сипаттайды. Жүйенің динамикалық сипаттамасы айнымалы функцияның бөлімінде болады. Бөлімін нөлге теңестіру жолымен сипаттама теңдеуді аламыз, оның түбірі арқылы орнықтылығын анықтауға болады.

Сипаттама теңдеудің түбірі жазық бетте орнықтылықты анықтау үшін қажет. (сурет. 1.34).

Re

Im

5.1-сурет

( белгісімен теңдеутүбірін бергілейді).

Сипаттама теңдеудің түбірлерінің түрлері:

- Шынайы:

туар (түбір № 1);

кері (2);

нөлдік (3);

- Кешендік

Кешенді комплексные байланыстылық (4);

Таза жалғандық (5);

Қысқалығы бойынша түбірлер келесі түрде болады:

Бірілікте, жалғыз (1, 2, 3);

байланысқан (4, 5): s_i = a ± jw;

қысқа (6) s_i = s_i+1 = …

Түбірлі критериялар келесі түрде қалыптасады:

Сызықты АРЖорнықты болады, егер де барлық сипаттама теңдеулердің түбірі сол жартыжазықтықта жатса. Егер де түбірдің біреуі жалған осьте жатса, онда жүйе орнықтылықта болады. Ал түбірдің біреуі оң жақта жатса ол тұрақсыз болып табылады.

Басқа сөзбен айтқанда, барлық шынайы түбір мен кешенді түбірдің шынайы бөлігі кері болу қажет. Жүйе орнықсыз.

Мысал 7.Жүйенің айнымалыфункциясы келесі түрде:

.

Сипаттамалы теңдеу: s³ + 2s² + 2.25s + 1.25 = 0.

Түбірі: s₁ = -1; s₂ = -0,5 + j; s₃ = -0,5 - j.

Әрине, жүйе орнықты болады.

Стодол критериясы

Бұл критерий алдынғы критерияның жалғасы болып табылады. Ол келесі түрде қалыптасады: Сызықты жүйе орнықты, егер де барлық коэффициенттердің полиномы тура болса.

Гурвиц критериясы.

Гурвиц критериясы тұйықталған жүйеде ситпаттама полиномымен біргежұмыс істейді. АРЖ құрылымдық сызбасы қателік бойынша келесі түрде боладыд (суретке қара)

W_p – реттегіштің айнымалы функциясы

Wp

Wy

x

e

u

y

f

Сурет 5.2

W_y – басқару нысанаісінің айнымалы функциясы.

Тура байланыс үшін айнымалы функцияны анықтайық (тұйықталған жүйеде айнымалы функция п. 2.6.4): W_¥ = W_p W_y.

Кері байланысты есепке алып, тұйықталған жүйенің айнымалы функциясын аламыз:

.

Талапқа сай, тұйықталған жүйенің айнымалы функциясы бөлшекті-рационалды түрде болады:

.

Онда түрлендіруден кейін алатынымыз:

.

Бұдан, ТЖСТ (тұйықталған жүйенің сипаттама теңдеуі) полиномы алымы мен бөлімінің қосындысы ретінде анықтауға болады W_¥:

D_з(s) = A(s) + B(s).

Гурвиц бойынша орнықтылықты анықтау үшін матрица құрылады, оның бастпақы диаганалы бойымен ТЖСТ a_n+1 по a₀ коэффициенттерімен құрылады. Оңнан солға қарай 2 индексі арқылы (a₀, a₂, a₄… или a₁, a₃, a₅ …) жазылады.Жүйені тұрақтандыру үшін басты матрицаның диагоналды миноры нөлден жоғары болуы тиіс.

Егер де бір анықтауыш нөлге тең болса, онда жүйе орнықтылық аумағында болады.

Ерег де бір анықтауыш теріс болса, онда жүйе тұрақсыз.

Мысал 8.Тұйықталған жүйенің айнымалы функциясы берілген

.

Гурвиц бойынша тұйықталған жүйенің орнықтылығын анықтау қажет. Ол ұшін ТЖСТ анықталынады

D(s) = A(s) + B(s) = 2s⁴ + 3s³ + s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

ТЖСТ дәрежесі n = 4 тең болса, онда матрица 4х4 өлшемде болады. ТЖСТ коэффициенті а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

Матрица келесі түрде:

(1 б 3 және 2 б 4 матрица қатарының ұқсастығына көңіл аударыңыз:). Анықтауыштар:

Δ₁ = 5 > 0,

,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.

Барлық анықтауыштар орнықты болғандықтан АРЖ орнықты.

Михайлов критериясы

Жоғарыда көрсетілген критериялар орнықты болмайды ,егер айнымалы функция кешігуі болса, ол келесі түрде жазылуы тиіс

,

мұнда t - кешігу.

Бұл жағдай да ТЖСТ полиномы анықталмай оның түбірін таба алмасақ. Орнықтылықты анықтау үшін жилікті критериялары Михайлов пен Найквиста пайдаланады.

Михайлов критерясын қолдану тәсілі:

1) Тұыйқталған жүйенің сипаттама теңдеуі жазылады:

D_з(s) = A(s) + B(s)^.e^-ts.

2) s = jw: орнына койып D_з(jw) =Re(w) + Im(w).

3) Михайлова D_з(jw) годограф теңдеуі мен жазықбетте қисықтары құрылады.

Re

Im

уст.

неуст.

граница уст.

5.3-сурет

Орнықты АРЖ үшін Михайлов годографы w = 0жарты осте басталып, қарама қарсы бағытты да айналып өтіп (сағат тіліне қарсы) w пен 0 ден ¥ n квадратына дейін өседі. Мұнда n – полиномның сипаттама дәрежесі.

Михайлов годографы координат басынан басталса, онда жүйе орнықты шекарада болады.

Найквист критериясы.

Бұл критерий Михайлов критерясына ұқсас, бірақ та АЖС жүйесімен жұмыс істейді, сондықтан да есептеу үшін күрделі.

Үйлестілігі:

1) Тұйықталған жүйенің айнымалы функциясы анықталынады .

2) m оң түбірінің саны анықталынады.

3) Орын басу s = jw: W_¥(jw).

4) Тұйықталған жүйенің АЖС құрылады.

АРЖ орнықтылығы үшін w тен 0 дейінгі ¥ АФХ W_¥(jw) m ұлғаюы кезінде (-1; 0) нүктесін қамтып, мұнда m-тұйықталған жүйенің оң саны болады.

Re

Im

-1

неуст.

уст.

5.4-сурет

Егер де АЖС (-1; 0) нүктесі арқылы өтсе, тұйықталған жүйе тұрақтандыру шекарасында болады.

Сипаттама теңдеуі A(s) = 0 түбірі (т.е. m = 0) болмаса, критериге байланысты тұйықталған жүйе орнықты , тұйықталған жүйеде АЖС W_¥(jw) , (-1; 0) нүктесінде жатпаса, жүйе орнықсыз.