Charakteristiky variability 7 страница

lze k výpočtu aritmetického průměru rovněž použít vztah (1.21). Jestliže aritmetické průměry v jednotlivých intervalech neznáme, což je v praxi častější případ, nemůžeme celkový aritmetický průměr spočítat přesně a musíme jej proto pouze odhadnout. Jsou-li všechny intervaly ohraničeny, budeme předpokládat, že aritmetický průměr v každém intervalu odpovídá středu tohoto intervalu a jednotlivé intervaly nehradíme jejich středy. Výpočet aritmetického průměru za všechny intervaly dohromady pak provedeme stejným způsobem jako výpočet váženého aritmetického průměru v prostém rozdělené četností, přičemž středy jednotlivých intervalů dosazujeme do vzorce (1.13) za obměny proměnné. V případě, že jsou krajní intervaly neuzavřené, potom se buď neuzavřený krajní interval považuje za stejně široký, jako je interval bezprostředně sousedící, a takto pomyslně vytvořené krajní intervaly se nahradí svými středy, nebo se určí minimální, resp. maximální, hodnota proměnné ve statistickém souboru a tato hodnota slouží jako odhad hranice intervalu, který potom stejným způsobem nahradíme jeho středem. Výpočet potom provedeme opět pomocí vztahu (1.13), kde za obměny proměnné opět dosazujeme středy jednotlivých intervalů, v případě krajních neuzavřených intervalů dosadíme odhadnuté středy intervalů.

Geometrický průměr

Prostý geometrický průměr n kladných hodnot x₁, x₂, ..., x_n, které opět nemusí být uspořádány, vypočteme jako

(1.22)

kde řecké písmeno P představuje symbol používaný pro součin hodnot. Jsou-li hodnoty proměnné již setříděny do tabulky rozdělení četností, použijeme raději vážený geometrický průměr

(1.23)

Geometrický průměr má smysl tehdy, má-li nějaký informační smysl součin hodnot proměnné.

Harmonický průměr

Prostý harmonický průměrn kladných hodnot x₁, x₂, ..., x_n, které nemusí být uspořádány, lze vypočítat jako

(1.24)

Máme-li hodnoty proměnné uspořádány do tabulky rozdělení četností, je lepší použít vážený harmonický průměr

(1.25)

Harmonický průměr má smysl tehdy, má-li nějaký informační smysl součet převrácených hodnot proměnné. Jak plyne ze vzorce (1.24), je převrácená hodnota harmonického průměru

(1.26)

aritmetickým průměrem převrácených hodnot proměnné.

Kvadratický průměr

Prostý kvadratický průměr n hodnot x₁, x₂, ..., x_n, které opět nemusí být uspořádány, vypočteme jako

(1.27)

Jsou-li hodnoty proměnné již setříděny do tabulky rozdělení četností, použijeme raději vážený kvadratický průměr

(1.28)

Kvadratický průměr má smysl tehdy, má-li nějaký informační smysl součet čtverců hodnot proměnné. Ze vzorce (1.27) plyne, že čtverec kvadratického průměru

(1.29)

je aritmetickým průměrem čtverců hodnot proměnné.

Pro kladné hodnoty x₁, x₂, ..., x_n platí mezi uvedenými čtyřmi typy průměrů těchto hodnot relace nerovnosti

(1.30)

Znaménko rovnosti ve vztahu (1.30) platí pouze v případě, jestliže jsou všechny hodnoty číselné proměnné ve statistickém souboru stejné.

Příklad 1.9

U sedmi skupin studentů bydlících na koleji byla zjišťována výše měsíčního kapesného od rodičů. Průměrné měsíční kapesné od rodičů v i-té skupině budeme značit

viz tabulka 1.26.

	Tabulka 1.26
		1 600 − 3 000 1 160 2 440 2 000 1 400	−

Určete chybějící údaje v tabulce, víte-li, že bylo provedeno šetření u 200 studentů a že průměrná výše měsíčního kapesného od rodičů je 1 747 Kč.

Řešení:

Průměrné měsíční kapesné od rodičů za všech k = 7 skupin studentů dohromady je a celkový počet studentů, u kterých bylo provedeno šetření, za všech k = 7 skupin dohromady n = 200. Vypočteme

Protože

vypočteme chybějící hodnotu n₅ jako

tj. získáváme

K výpočtu hodnoty

použijeme vztah (1.21), který lze napsat jako

takže

a protože k = 7

získáváme

takže další chybějící údaj v tabulce je

Příklad 1.10

V akciové společnosti je průměrný plat 34 000 Kč, přičemž 60 % pracovníků s nejnižším platem má průměrně 20 000 Kč. Na začátku roku došlo ke zvýšení platů pracovníků této skupiny jednotně o 2 000 Kč. O kolik procent vzrostl průměrný plat v celé společnosti následkem tohoto zvýšení nejnižších platů?

Řešení:

Celkový aritmetický průměr platu v celé akciové společnosti je Relativní četnost pracovníků s nejnižším platem p_N = 0,6 a aritmetický průměr platu pracovníků s nejnižším platem

Relativní četnost ostatních pracovníků je potom p_O = 1 − p_N = 1 − 0,6 = 0,4 (tedy 40 %). Nejprve vypočteme aritmetický průměr platu ostatních pracovníků. Opět využijeme vztah (1.21), přičemž máme zde k = 2 skupiny, tj. pracovníky s nejnižším platem (značíme N) a ostatní pracovníky (značíme O). Tentokrát využijeme vztahu (1.21) vyjádřeného pomocí relativních četností, neboť neznáme absolutní četnosti pracovníků v jednotlivých skupinách, nýbrž pouze relativní četnosti. Ze vztahu (1.21) získáváme

odtud

Po dosazení bude aritmetický průměr platu ostatních pracovníků

Z vlastnosti aritmetického průměru číslo pět plyne, že jestliže všem zaměstnancům akciové společnosti s nejnižším platem jednotně přidáme 2 000 Kč, aritmetický průměr platu zaměstnanců této skupiny vzroste o 2000 Kč, neboli po zvýšení platů bude aritmetický průměr platu pracovníků s nejnižším platem

Jestliže přidáme na platu pracovníkům s nejnižším platem jednotně 2 000 Kč, vzroste tím rovněž aritmetický průměr platu pracovníků celé akciové společnosti. Opět využijeme vztah (1.21) a vypočteme nový průměrný plat za celou akciovou společnost dohromady.

Nyní vypočteme, o kolik procent vzrostl průměrný plat v celé společnosti následkem zvýšení nejnižších platů

tj. průměrný plat v celé společnosti vzrostl o 3,53 %.

Příklad 1.11

Je dáno intervalové rozdělení četností, viz tabulka 1.27.

	Tabulka 1.27
	Interval	Relativní četnost
	121 − 125 126 − 130 131 − 135 136 − 140 141 − 145 146 − 150 151 − 155 156 − 160 161 − 165 166 − 170	0,03 0,05 0,08 0,19 0,17 0,27 0,13 0,04 0,03 0,01

Vypočítejte aritmetický průměr.

Řešení:

Všechny intervaly jsou ohraničeny, jednotlivé intervaly nahradíme jejich středy. Výpočty shrneme do tabulky 1.28. K výpočtu použijeme vztah (1.13). Protože známe pouze relativní četnosti v jednotlivých intervalech a nikoliv četnosti absolutní, použijeme vztah (1.13) vyjádřený pomocí relativních četností. Proto si v tabulce 1.28 ještě připravíme sloupeček x_i ∙ p_i.

	Tabulka 1.28
	Střed intervalu	Relativní četnost
	xi	pi	xi ∙ pi
		0,03 0,05 0,08 0,19 0,17 0,27 0,13 0,04 0,03 0,01	3,69 6,40 10,64 26,22 24,31 39,96 19,89 6,32 4,89 1,68
	Celkem	1,00

Aritmetický průměr vypočteme následovně

Příklad 1.12

V tabulce 1.29 jsou uvedeny koeficienty růstu prodeje automobilů značky Škoda a značek dovezených zahraničních automobilů v jednom autosalonu v letech 2001 až 2006. Koeficienty růstu jsou indexy, kde v čitateli je hodnota z období t a ve jmenovateli je hodnota z období t − 1.

Tabulka 1.27
	Rok
Automobily
Škoda	−	1,136	1,217	1,154	0,819	0,934
Zahraniční automobily	−	1,421	1,568	1,047	0,825	1,146

Určete, zda byl v uvedeném období vyšší průměr z těchto koeficientů u značky Škoda nebo u značek zahraničních automobilů.

Řešení:

Koeficienty růstu představují relativní změny prodeje automobilů v období t oproti období t − 1. Tyto hodnoty nelze proto sčítat, smysl má však shrnutí součinem, jinými slovy průměrný koeficient růstu (průměr z koeficientů růstu) je vždy geometrický průměr. Protože je zde každý koeficient růstu obsažen pouze jednou, použijeme prostý geometrický průměr (1.22). Vždy se jedná o geometrický průměr z pěti hodnot, tudíž n = 5. Výpočet provedeme následovně

a

Získáváme

Příklad 1.13

Cena jedné akcie banky na burzovním trhu vzrostla od úterý 16. května 2006 do čtvrtka 18. května 2006 z 1 552 Kč na 1 612 Kč. Jaký byl průměrný relativní denní přírůstek ceny této akcie?

Řešení:

Relativní denní přírůstky ceny této akcie udávají koeficienty růstu. Označme:

x₁₆…cena akcie v úterý 16. května 2006, x₁₆ = 1 552 Kč,

x₁₇…cena akcie ve středu 17. května 2006,

x₁₈…cena akcie ve čtvrtek 18. května 2006, x₁₈ = 1 612 Kč.

Koeficient růstu k_t je index

kde x_t je hodnota v období t a x_{t − 1} je hodnota v období t − 1. Koeficient růstu z úterý 16. května 2006 na středu 17. května 2006 je

a koeficient růstu ze středy 17. května 2006 na čtvrtek 18. května 2006 je

Průměrný relativní denní přírůstek ceny této akcie vypočteme opět jako geometrický průměr. Jedná se opět o prostý geometrický průměr, neboť každý z uvedených dvou koeficientů růstu je zde pouze jednou, n = 2

(Poznámka: Výraz je zde použit pro zdůraznění, že se jedná o druhou odmocninu)

Chceme-li vědět o kolik procent

tj. denní přírůstek v průměru o 1,91 %.

Příklad 1.14

Řidič zkušebního automobilu jel do cílového místa průměrnou rychlostí 60 km/h a zpět průměrnou rychlostí 80 km/h. Předpokládáme, že trasa tam i zpět je totožná. Jakou průměrnou rychlost dosáhl řidič na celé trase?

Řešení:

Označíme x₁ = 60 km/h a x₂ = 80 km/h. Podíl

představuje, „kolik hodin (jako desetinné číslo) jel řidič v průměru jeden kilometr při cestě tam“, obdobně podíl

představuje, „kolik hodin jel řidič v průměru jeden kilometr při cestě zpět“. Protože obě trasy jsou stejně dlouhé a obě jel řidič pouze jednou, použijeme při výpočtu prostý vzorec. Trasy jsou dvě, tedy n = 2. Protože má smysl součet převrácených hodnot

použijeme při výpočtu vzorec prostého harmonického průměru (1.24)

Na celé trase řidič dosáhl rychlosti v průměru 68,571 km/h.

Příklad 1.15

Automobil jel z města A do města B průměrnou rychlostí 60 km/h, z města B do města C průměrnou rychlostí 70 km/h a z města C do města D průměrnou rychlostí 80 km/h. Vypočítejte, jakou průměrnou rychlost dosáhl automobil na celé trase, jestliže:

a) vzdálenost města A a města B je 5 km, vzdálenost města B a města C je 8 km a vzdálenost města C a města D je 10 km,

b) vzdálenost města A a města B představuje 10 % celkové trasy, vzdálenost města B a města C představuje 40 % celkové trasy a vzdálenost města C a města D představuje 50 % celkové trasy.

Řešení:

a) Označme x₁ = 60 km/h, x₂ = 70 km/h a x₃ = 80 km/h, přičemž x₁ = 60 je zde n₁ = 5-krát (touto rychlostí jel automobil 5 km), x₂ = 70 je zde n₂ = 8-krát (touto rychlostí jel automobil 8 km) a x₃ = 80 je zde n₃ = 10-krát (touto rychlostí jel automobil 10 km). Tedy k = 3.Podíl

představuje „kolik hodin (jako desetinné číslo) jel automobil v průměru jeden kilometr z města A do města B“. Protože z města A do města B je n₁ = 5 km, získáváme podíl

Analogickou úvahou získáváme podíly

Pro výpočet použijeme vzorec váženého harmonického průměru (váženého proto, že x₁ = 60 je zde n₁ = 5-krát, x₂ = 70 je zde n₂ = 8-krát a x₃ = 80 je zde n₃ = 10-krát), protože má smysl součet podílů

Dosadíme do vzorce (1.25)